1、2.3 2.3 实数实数第二章第二章 实数实数知识点知识点实数实数知知1 1讲讲感悟新知感悟新知11.定义:有理数和无理数统称实数定义:有理数和无理数统称实数.在在实数范围内,一实数范围内,一个数个数不是有理数,不是有理数,那么它那么它一定是无理数,一定是无理数,反之反之亦成立亦成立.感悟新知感悟新知2.分类:分类:(1)按按定义分类:定义分类:整整数数有有理理数数实实数数分分数数无无理理数数有限小数或有限小数或无限循环小数无限循环小数.无限不循环小数无限不循环小数.知知1 1讲讲感悟新知感悟新知(2)按按性质分类:性质分类:正正有有理理数数正正实实数数正正无无理理数数对对象象 零零负负有有理
2、理数数负负实实数数负负无无理理数数0既不是正实数,也不是负实数既不是正实数,也不是负实数.知知1 1讲讲感悟新知感悟新知特别解读特别解读1.实数的分类有实数的分类有不同的不同的方法,但不论用方法,但不论用哪一哪一种分类的方法,种分类的方法,都要都要按同一标准,按同一标准,做到不重复不遗漏做到不重复不遗漏.2.对实数进行分类时对实数进行分类时,应,应先对某些数先对某些数进行计算进行计算或化简,然或化简,然后后根据根据最后结果进行最后结果进行分类分类.不能看到带不能看到带根号的根号的数,就认为数,就认为是是无理数无理数,也不能看到有,也不能看到有分数线分数线的数,就认为的数,就认为是有理数是有理数
3、.知知1 1讲讲感悟新知感悟新知例1考向:利用实数中各类数的特征进行分类考向:利用实数中各类数的特征进行分类知知1 1讲讲感悟新知感悟新知有理数有理数:;无理数:无理数:;分数:分数:;负实数:负实数:.知知1 1讲讲感悟新知感悟新知解:有理数:解:有理数:;无理数:无理数:;分数:分数:;负实数:负实数:.知知1 1讲讲解法提醒解法提醒判断一个实数判断一个实数的类别的类别(如有理数、(如有理数、无理数无理数)应)应遵循:一化简遵循:一化简,二,二辨析,三判断辨析,三判断.所有的有理数所有的有理数都可以都可以化成有限小数化成有限小数或无限或无限循环循环小数,而小数,而无理数无理数只能化成无限只
4、能化成无限不循环小数不循环小数知知1 1讲讲知识点知识点实数与数轴实数与数轴感悟新知感悟新知21.实数与数轴上的点的关系:实数和数轴上的点一一对应实数与数轴上的点的关系:实数和数轴上的点一一对应.特别提醒特别提醒1.在数轴上表示在数轴上表示无理数无理数时,一般只能时,一般只能通过通过估算估算标出其对应标出其对应点的点的大致位置大致位置.2.借助数轴上的点借助数轴上的点可以把可以把实数直观地表示实数直观地表示出来出来,数轴上的任意,数轴上的任意一点一点表示的数,不表示的数,不是是有理数有理数就是无理数就是无理数.知知2 2讲讲感悟新知感悟新知(1)“一一对应一一对应”包含着两层含义:包含着两层含
5、义:每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;数轴上的每一个点都表示一个实数数轴上的每一个点都表示一个实数.(2)数轴数轴上两点间的距离可用两点所表示的实数来表示上两点间的距离可用两点所表示的实数来表示.即若即若点点A,点,点B 在数轴上表示的数为在数轴上表示的数为x1,x2,则,则AB=|x1x2|.知知2 2讲讲感悟新知感悟新知2.利用数轴比较实数的大小:对于数轴上的任意两个点,利用数轴比较实数的大小:对于数轴上的任意两个点,右边右边的点的点表示的实数总比左边的点表示的实数大表示的实数总比左边的点表示的实数大.知知2 2讲讲感悟新知感悟新知解题秘方:解
6、题秘方:比较一组实数的大小和比较一组有理数的比较一组实数的大小和比较一组有理数的大小大小一样,可先将这些数在数轴上表示出来,然后根一样,可先将这些数在数轴上表示出来,然后根据据“在在数轴上数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大的数大”进行比较进行比较.例 2考向:利用数轴比较实数的大小考向:利用数轴比较实数的大小知知2 2讲讲感悟新知感悟新知解解:将表示各数的点的大致位置在数轴上表示出来,:将表示各数的点的大致位置在数轴上表示出来,如图如图2.3-1 所示所示.知知2 2讲讲方法方法点拨点拨根据根据“实数和实数和数轴上数轴上的点一一对应的点一一对应”,
7、并且并且“在数在数轴上,右边轴上,右边的点的点表示的数总比表示的数总比左边的左边的点表示的数大点表示的数大”,我们我们可以利用数形可以利用数形结合思想结合思想比较实数的大小比较实数的大小.知知2 2讲讲感悟新知感悟新知知识点知识点实数的性质实数的性质感悟新知感悟新知3知知3 3讲讲感悟新知感悟新知知知3 3讲讲特别提醒特别提醒1.在有理数范围在有理数范围内的内的一些基本一些基本概念概念(如相反如相反数、倒数、倒数、数、绝对值绝对值)和和性质在实数范围性质在实数范围内依然内依然适用适用.2.对实数的对实数的有关概念有关概念进行辨析时,进行辨析时,错误错误的说法只的说法只需举一需举一个反例个反例即
8、可即可.感悟新知感悟新知知知3 3讲讲感悟新知感悟新知解题秘方:解题秘方:利用实数的性质求相反数、倒数和绝对值利用实数的性质求相反数、倒数和绝对值.例3考向:利用实数的性质解决相关问题考向:利用实数的性质解决相关问题知知3 3讲讲感悟新知感悟新知感悟新知感悟新知特别特别提醒提醒1.求一个数的相反数求一个数的相反数,就是,就是在这个数在这个数前面添前面添上上“-”.2.求一个数的绝对值时求一个数的绝对值时,首先要判断所,首先要判断所求数求数的符号,的符号,然后然后根据根据“正数的绝对值正数的绝对值等于它等于它本身,负数的本身,负数的绝对值绝对值等等于它的相反数于它的相反数,0的绝对值等于的绝对值
9、等于0”写出写出这个数的绝对值这个数的绝对值.知知3 3讲讲知识点知识点实数的运算实数的运算感悟新知感悟新知41.在实数范围内,进行加、减、乘、除、乘方和开方运算在实数范围内,进行加、减、乘、除、乘方和开方运算时时,有理数,有理数的运算法则和运算律仍然适用;实数混合运的运算法则和运算律仍然适用;实数混合运算的运算算的运算顺序顺序与有理数混合运算的运算顺序一样,即先与有理数混合运算的运算顺序一样,即先算乘方、开方,算乘方、开方,再算再算乘除,最后算加减,同级运算按照乘除,最后算加减,同级运算按照自左向右的顺序进行,自左向右的顺序进行,有括号有括号先算括号里面的先算括号里面的.知知4 4讲讲感悟新
10、知感悟新知2.实数的运算律:实数的运算律:(1)加法交换律:加法交换律:ab=ba;(2)加法结合律:加法结合律:(ab)c=a(bc);(3)乘法交换律:乘法交换律:ab=ba;(4)乘法结合律:乘法结合律:(ab)c=a(bc);(5)乘法对加法的分配律:乘法对加法的分配律:a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ab+ac;知知4 4讲讲感悟新知感悟新知知知4 4讲讲感悟新知感悟新知知知4 4讲讲感悟新知感悟新知4.实数也可以比较大小,对于实数实数也可以比较大小,对于实数a,b:若若a-b0,则称,则称a 大于大于b(或者或者b 小于小于a),记作记作ab(或或ba);若若a-b0,则称
11、,则称a 小于小于b(或者或者b 大于大于a),记作记作aa);若若a-b=0,则称,则称a 等于等于b,记作,记作a=b.知知4 4讲讲感悟新知感悟新知要注意的是,对于任何实数要注意的是,对于任何实数a,b,在,在ab,a=b,a b 这这三种三种关系中,有且只有一种成立,对于实数有:正实数大关系中,有且只有一种成立,对于实数有:正实数大于于一切一切负实数;两个负实数,绝对值大的数反而小;数轴负实数;两个负实数,绝对值大的数反而小;数轴上上右边的右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大点表示的实数比左边的点表示的实数大.知知4 4讲讲感悟新知感悟新知知知4 4讲讲感悟新知感悟新知特别提醒特别
12、提醒有理数的运算律有理数的运算律在实数在实数范围内仍然适用范围内仍然适用,在,在进行进行实数运算的实数运算的过程中过程中,要做到:,要做到:一一“看看”看看算式的算式的结构特点,能否结构特点,能否运用运算运用运算律或公式;律或公式;二二“用用”运用运用运算运算律或公式律或公式;三三“查查”检查检查过程过程和结果是否正确和结果是否正确.知知4 4讲讲感悟新知感悟新知考向:利用实数的运算法则及运算律进行计算考向:利用实数的运算法则及运算律进行计算题型题型1 实数大小的比较实数大小的比较解题秘方:解题秘方:先求出这两个数的差,再与先求出这两个数的差,再与0 比较大小比较大小.例 4知知4 4讲讲感悟
13、新知感悟新知知知4 4讲讲方法点拨方法点拨实数大小比较的方法实数大小比较的方法:(1)估算法)估算法;(;(2)作差法;)作差法;(3)分析法)分析法;(;(4)平方法;)平方法;(5)开方法)开方法;(;(6)特殊值法;)特殊值法;(7)作商法)作商法.知知4 4讲讲感悟新知感悟新知题型题型2 实数的估算实数的估算例 5知知5 5讲讲感悟新知感悟新知知知5 5练练答案:答案:B思路思路点拨点拨先先根据平方根根据平方根和立方根和立方根估算出估算出a,b的范围的范围,再确定再确定a,b的的最小最小整数值,即可解答整数值,即可解答.知知5 5讲讲感悟新知感悟新知题型题型3 实数的运算实数的运算解题秘方:解题秘方:在进行实数的运算时,有理数的运算法在进行实数的运算时,有理数的运算法则及则及运算运算律同样适用律同样适用.例 6知知5 5讲讲感悟新知感悟新知知知5 5讲讲特别特别提醒提醒实数的运算实数的运算顺序和顺序和有理数的运算有理数的运算顺序相同顺序相同.实数运算中实数运算中无理数无理数可取近似值转化可取近似值转化为有理数为有理数参参与计算,与计算,中间结果中间结果所取的近似值所取的近似值要比要比结果要求结果要求的的近似值多近似值多一位小数一位小数.知知5 5讲讲课堂小结课堂小结实数实数实数实数有理数有理数数轴数轴性质性质运算运算定义定义无理数无理数