1、1.2 1.2 乘法乘法公式公式第一章第一章 整式整式的乘法的乘法知知1 1讲讲感悟新知感悟新知知识点知识点平方差公式平方差公式11.平方差平方差公式公式：(x+y)(xy)=x2y2.即多项式即多项式x+y 与与x-y 的乘积的乘积，等于多项式，等于多项式x2-y2.感悟新知感悟新知知知1 1讲讲特别解读特别解读公式的特征：公式的特征：1.等号左边等号左边是两个是两个二项式二项式相乘，这两个相乘，这两个二项式中二项式中 有有 一项完全相同，另一一项完全相同，另一 项互为相反项互为相反数数.2.等号右边等号右边是乘式中是乘式中两项两项的平方差，即的平方差，即相同项相同项的平的平方减去相反方减去
2、相反项的项的平方平方.3.理解字母理解字母 x，y 的意义，平方差公式中的的意义，平方差公式中的x，y 既既可代表一个单项式，也可代表一个多项式可代表一个单项式，也可代表一个多项式.感悟新知感悟新知2.平方差公式的推导平方差公式的推导(1)代数代数运算证明法运算证明法：(a+b)(a b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.知知1 1讲讲感悟新知感悟新知(2)几何图形几何图形证明法：图证明法：图1.2-1 中阴影部分的面积中阴影部分的面积为为a2-b2，把它分割并拼接成图把它分割并拼接成图1.2-1 中的长方形，长中的长方形，长为为(a+b)，宽宽为为(a b)，故阴影部分的面积故阴影部分的
3、面积为为(a+b)(a b).故故(a+b)(a b)=a2-b2.知知1 1讲讲感悟新知感悟新知3.平方差公式的几种常见变化形式及应用：平方差公式的几种常见变化形式及应用：知知1 1讲讲变化形式变化形式 应用举例应用举例位置变化位置变化(b+a)(b+a)=(a+b)(ab)=a2b2符号变化符号变化(ab)(ab)=(ba)(b+a)=(b)2a2=b2a2感悟新知感悟新知知知1 1讲讲系数系数变化变化(3a+2b)(3a 2b)=(3a)2(2b)2=9a2 4b2指数指数变化变化(a3+b2)(a3b2)=(a3)2(b2)2=a6b4增增项变化项变化(ab+c)(abc)=(ab)2
4、c2连用连用公式公式(a+b)(ab)(a2+b2)=(a2b2)(a2+b2)=a4b4知知1 1练练感悟新知感悟新知易错易错警示警示1.平方差公式的平方差公式的右边是右边是平方差，不是差平方差，不是差的平方的平方，不要，不要把把x2-y2 与与(x-y)2 混淆混淆.2.只要多项式的只要多项式的乘法符合乘法符合公式的结构公式的结构特征特征，就可以运，就可以运用这用这一公式一公式简化计算简化计算.知知1 1练练感悟新知感悟新知例1考向：利用平方差公式进行乘法计算考向：利用平方差公式进行乘法计算题型题型1 平方差公式在整式运算中的应用平方差公式在整式运算中的应用知知1 1练练感悟新知感悟新知解
5、：解：(1)(5m3n)(5m+3n)=(5m)2 (3n)2=25m2 9n2.(2)(2a2+5b)(2a25b)=(2a2)2 (5b)2=4a4 25b2.解题秘方解题秘方：先确定公式中的先确定公式中的“x”和和“y”，然后然后根据根据平方差公式平方差公式(x+y)(xy)=x2y2 进行计算进行计算.知知1 1练练感悟新知感悟新知先把原式调整先把原式调整为为(x+y)(x y)的的形式，再用平方差公式进行计算形式，再用平方差公式进行计算.知知1 1练练感悟新知感悟新知解法提醒解法提醒运用平方差公式计算运用平方差公式计算的三的三个关键步骤个关键步骤：第第1步：利用步：利用加法的加法的交
6、换律调整两个交换律调整两个二项式二项式中项的位置，使之中项的位置，使之与公式左边相对应，已与公式左边相对应，已对应对应的就不需调整，的就不需调整，如如(3)(4)就就必须调整必须调整.第第2步：找准步：找准哪个单项式哪个单项式或多项式分别或多项式分别代表代表公式中的公式中的“x”和和“y”.第第3步：套用步：套用公式计算公式计算，注意将底数带，注意将底数带上括号上括号.如如(1)中中(5m)2不能不能写成写成5m2.知知1 1练练感悟新知感悟新知计算：计算：(1)10.39.7；(2)2 0242 026 2 0252.例2 解题秘方解题秘方：找出平方差公式的模型，利用平方差找出平方差公式的模
7、型，利用平方差公式公式进行计算进行计算.题型题型2 平方差公式在数的巧算中的应用平方差公式在数的巧算中的应用知知1 1练练感悟新知感悟新知解：解：(1)10.3 9.7=(10+0.3)(10 0.3)=102 0.32=100 0.09=99.91.(2)2 024 2 026 2 0252=(2 025 1)(2 025+1)2 0252=2 0252 1 2 0252=1.知知1 1练练感悟新知感悟新知方法点拨方法点拨运用平方差公式计算运用平方差公式计算两数乘积时，两数乘积时，关键是关键是找到这两找到这两个个的平均数的平均数，再将原数与这个，再将原数与这个平均平均 数进行比较数进行比较，
8、变成两变成两 数数的和与差的积的形式的和与差的积的形式.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲知识点知识点完全平方公式完全平方公式21.完全完全平方公式平方公式：完全平方公式完全平方公式1：(x+y)2=x2+2xy+y2.即多项式即多项式x+y的平方等于的平方等于x与与y的平方和加上的平方和加上x与与y的积的的积的2倍倍.完全平方公式完全平方公式2：(x y)2=x2 2xy+y2.即多项式即多项式x-y的平方等于的平方等于x与与y的平方和减去的平方和减去x与与y的积的的积的2倍倍.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲2.完全平方公式的推导：完全平方公式的推导：(1)代数运算证明法代数运算证明法(a+b)
9、2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2感悟新知感悟新知知知2 2讲讲(2)几何图形几何图形证明法（数形结合思想证明法（数形结合思想）图图1.2-2：大正方形的面积：大正方形的面积为为(a+b)2=a2+b2+2 ab；图图1.2-2：左下角正方形的面积：左下角正方形的面积为为(a-b)2=a2+b2-2 ab.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲3.完全平方公式的几种常见变形公式：完全平方公式的几种常见变形公式：(1)a2+b2=(a+b)2 2ab=(a b)2+2ab；(2)(a+b)2=
10、(a b)2+4ab；(3)(a-b)2=(a+b)2 4ab；(4)(a+b)2+(a b)2=2(a2+b2)；(5)(a+b)2 (a b)2=4ab；感悟新知感悟新知知知2 2讲讲知知2 2讲讲感悟新知感悟新知特别解读特别解读1.弄清公式的特征弄清公式的特征：公式公式的左边是一个的左边是一个二项式二项式的平方，公的平方，公式的式的右边右边是一个三项式，是一个三项式，包括包括左边二项式的左边二项式的各项各项的平方的平方和，另一和，另一项是项是这两项的乘积这两项的乘积的的2倍倍.2.理解理解字母字母x，y的的意义意义：公式：公式中的中的字母字母x，y可以可以表示具体的表示具体的数，数，也可
11、以也可以表示含字母的表示含字母的单项式单项式或多项式或多项式.3.口诀记忆口诀记忆：头平方和尾平方头平方和尾平方，头，头(乘乘)尾尾两倍在中央两倍在中央，中间，中间符号照原样符号照原样.感悟新知感悟新知知知2 2练练计算计算：(1)(x+7y)2；(2)(4a+5b)2；(3)(2m n)2；(4)(2x+3y)(2x 3y).例3两个二项式相乘两个二项式相乘，若有一项相同，另一，若有一项相同，另一项相反，则用平方差公式计算；若两项都相项相反，则用平方差公式计算；若两项都相同或都相反，则用完全平方公式计算同或都相反，则用完全平方公式计算.考向：利用完全平方公式进行计算考向：利用完全平方公式进行
12、计算题型题型1 完全平方公式在整式运算中的应用完全平方公式在整式运算中的应用知知2 2练练感悟新知感悟新知解：解：(1)原原式式=x2+2 x(7y)+(7y)2=x2+14xy+49y2.(2)原原式式=(5b 4a)2=(5b)2 2(5b)(4a)+(4a)2=25b2 40ab+16a2.解题秘方解题秘方：先确定公式中的先确定公式中的“x”和和“y”，再利再利用用完全完全平方平方公式公式进行计算即可进行计算即可.知知2 2练练感悟新知感悟新知(3)原原式式=(2m+n)2=(2m)2+2(2m)n+n2=4m2+4mn+n2.(4)原原式式=(2x+3y)2=(2x)2+2(2x)(3
13、y)+(3y)2=(4x2+12xy+9y2)=4x2 12xy 9y2.知知2 2练练感悟新知感悟新知方法点拨方法点拨1.利用完全平方公式利用完全平方公式进行整式运算的基本步骤进行整式运算的基本步骤：(1)确确 定定 公公 式式 中中 的的“x”和和“y”；(2)确定确定和差关系和差关系；(3)选择选择公式；公式；(4)计算计算结果结果.2.两个易错点：两个易错点：(1)套用公式时千万套用公式时千万不能漏掉不能漏掉“2xy”这这一项；一项；(2)两个平方项的底数两个平方项的底数要带上括号要带上括号.感悟新知感悟新知知知2 2练练例4解题秘方解题秘方：将原数转化成符合完全平方公式的形式，将原数
14、转化成符合完全平方公式的形式，再再利用利用完全平方公式完全平方公式展开计算即可展开计算即可.题型题型2 完全平方公式在数的巧算中的应用完全平方公式在数的巧算中的应用知知2 2练练感悟新知感悟新知解：解：(1)9992=(1 0001)2=1 00022 1 000 1+12=1 000 0002 000+1=998 001.知知2 2练练感悟新知感悟新知方法点拨方法点拨利用完全平方利用完全平方公式公式进行数值运算时，进行数值运算时，主要主要是将是将底数拆成两底数拆成两个数的个数的和或差，拆分时和或差，拆分时主要有主要有两种形式：两种形式：一是一是将与整十、将与整十、整百整百或整千接近的数或整千
15、接近的数拆分成拆分成整整十、整百或整千十、整百或整千的数的数与相差的数的和或差；与相差的数的和或差；二是二是将带分数将带分数拆分拆分成整数与真分数的成整数与真分数的和或和或差差.感悟新知感悟新知知知3 3讲讲知识点知识点运用乘法公式进行计算和推理运用乘法公式进行计算和推理3遇到多项式与多项式相乘时，要先观察式子的特征，遇到多项式与多项式相乘时，要先观察式子的特征，看看能否能否运用乘法公式运用乘法公式.对于一些题目，虽然原题不符合公式对于一些题目，虽然原题不符合公式的结的结构构特点，不能直接运用乘法公式进行计算，但经过整理特点，不能直接运用乘法公式进行计算，但经过整理后能后能够够运用乘法公式运用
16、乘法公式.有的可以连续运用公式，有的可部分有的可以连续运用公式，有的可部分运用运用公公式，但都能起到由繁化简、迅速解题的作用式，但都能起到由繁化简、迅速解题的作用.运用运用乘法公式乘法公式还还可以解决代数推理问题，多为数学问题可以解决代数推理问题，多为数学问题.知知3 3讲讲感悟新知感悟新知特别解读特别解读为了体现乘法为了体现乘法公式公式的结构特征，常的结构特征，常运用运用交换律交换律和结合律和结合律进行进行转化转化.知知3 3练练感悟新知感悟新知计算计算：(1)(b 3)(b2+9)(b+3)；(2)(x+2y 3)(x 2y+3)；(3)(a+2b+c)2.例5考向：利用乘法公式计算和推理
17、考向：利用乘法公式计算和推理题型题型1 乘法公式在计算中的应用乘法公式在计算中的应用知知3 3讲讲感悟新知感悟新知方法点拨方法点拨三招利用乘法公式三招利用乘法公式简化计算简化计算:1.移位置移位置:有时交换有时交换位置位置，改变运算顺序，改变运算顺序，可，可利用利用乘法公式乘法公式简化计算简化计算.2.整体整体:有时将其中有时将其中几项几项看成一个整体看成一个整体，从而，从而构造构造出特殊的结构出特殊的结构，利，利 用用 乘法公式简化计算乘法公式简化计算.3.转化转化:将较复杂的将较复杂的未知未知问题，经过问题，经过变形，转化变形，转化为为可轻易解决可轻易解决或已或已解决的问题解决的问题.知知
18、3 3练练感悟新知感悟新知解：解：(1)原式原式=(b 3)(b+3)(b2+9)=(b2 9)(b2+9)=b4 81.解题秘方解题秘方：紧扣多项式之间的特征，运用移位置、紧扣多项式之间的特征，运用移位置、整体整体或转化或转化的方法的方法寻找乘法公式寻找乘法公式，进，进行计算行计算.知知3 3练练感悟新知感悟新知(2)原原式式=x+(2y 3)x (2y 3)=x2 (2y 3)2=x2 (4y2 12y+9)=x2 4y2+12y 9.(3)原原式式=(a+2b)+c 2=(a+2b)2+2(a+2b)c+c2=a2+4ab+4b2+2ac+4bc+c2.知知3 3练练感悟新知感悟新知观察
19、：观察：(2+3)2-22=73；(4+3)2-42=113.嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3 的数与此偶的数与此偶数的数的平方差平方差能被能被3 整除整除.验证验证：(1)(6+3)2-62 的结果是的结果是3 的的_倍倍；(2)设设偶数为偶数为2n，试说明比，试说明比2n 大大3 的数与的数与2n 的平的平方差能方差能被被3 整除整除.例6题型题型2 乘法公式在整除问题中的应用乘法公式在整除问题中的应用知知3 3讲讲感悟新知感悟新知思路思路点拨点拨 乘法乘法公式在公式在整除问题整除问题中的应用，关键中的应用，关键在于在于通通过公式将复杂过公式将复杂的表达式的表
20、达式转化为易于转化为易于判断判断整除性的形整除性的形式，式，熟练掌握熟练掌握各种乘法公式各种乘法公式及其及其变形，并灵活运用变形，并灵活运用在整除在整除问题中是求解问题中是求解此类此类题的关键题的关键.知知3 3练练感悟新知感悟新知解：解：(1)因为因为(6+3)2-62=8 1-3 6=4 5=3 1 5，所以所以(6+3)2-62 的结果是的结果是3 的的15 倍倍.答案：答案：1 5解题秘方：解题秘方：(1)(1)计算出计算出(6+3)2-62 的结果即可；的结果即可；(2)由由题意得偶数为题意得偶数为2 n，比，比2 n 大大3 的数的数为为(2 n+3)，再再利用平方差利用平方差公式计算即可公式计算即可.知知3 3练练感悟新知感悟新知(2)由由题意得偶数为题意得偶数为2 n，比，比2 n 大大3 的数的数为为(2 n+3)，所以所以(2 n+3)2-(2 n)2=(2 n+3+2 n)(2 n+3-2 n)=3(4 n+3).因为因为4 n+3 为整数，为整数，所以所以3(4 n+3)能能被被3 整除整除.课堂小结课堂小结乘法公式乘法公式应用乘法公应用乘法公式进行计算式进行计算乘法公式乘法公式平方差公式平方差公式完全平方公式完全平方公式
