1、4.5 4.5 垂线垂线第四章第四章 平面内的两条直线平面内的两条直线知知1 1讲讲感悟新知感悟新知知识点知识点垂线与斜线垂线与斜线11.垂线垂线：在同一平面内的两条直线相交所成的四个角中，：在同一平面内的两条直线相交所成的四个角中，若若有有一个角是直角（此时可知其余三个角也是直角），则称一个角是直角（此时可知其余三个角也是直角），则称这两这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂垂线线，它们的交点叫作垂足，垂直用符号，它们的交点叫作垂足，垂直用符号“”表示表示.知知1 1讲讲感悟新知感悟新知如图如图4.5-1，直线，直线AB 与与CD 互相
2、垂直互相垂直(O 为垂足为垂足)，记作，记作“AB CD”，读作，读作“AB 垂直于垂直于CD”.感悟新知感悟新知知知1 1讲讲特别提醒特别提醒垂直和垂线是两垂直和垂线是两个不同个不同的概念，的概念，垂直是垂直是两条两条直直线的位置关系线的位置关系，是相交是相交的一种特殊情况的一种特殊情况，特殊，特殊在夹在夹角为直角，角为直角，而垂线而垂线是一条直线是一条直线.感悟新知感悟新知2.推理格式：推理格式：如图如图 4.51，因为，因为 AOC=90(已知已知)，所以所以 AB CD(垂直的定义垂直的定义).反过来：因为反过来：因为 AB CD(已知已知)，所以所以 AOC=90(垂直的定义垂直的定
3、义).知知1 1讲讲感悟新知感悟新知3.斜线斜线：若两条直线相交所成的四个角中没有直角，：若两条直线相交所成的四个角中没有直角，则称则称其中其中一条直线为另一条直线的斜线一条直线为另一条直线的斜线.如图如图4.5-2，直线，直线CD 是是AB 的斜线，同样，直线的斜线，同样，直线AB 也也是是CD 的斜线的斜线.知知1 1讲讲知知1 1练练感悟新知感悟新知中考中考雅安雅安 如图如图4.5-3，直线，直线AB，CD 交于点交于点O，OE AB 于于O，若，若 1=35，则，则 2 的度数的度数是是()A.55 B.45 C.35 D.30例1考向：利用垂直的定义解决问题考向：利用垂直的定义解决问
4、题题型题型1 利用垂直的定义求角的度数利用垂直的定义求角的度数知知1 1练练感悟新知感悟新知解法提醒解法提醒两条直线互相两条直线互相垂直垂直，所夹的四个角，所夹的四个角都等于都等于90，为求，为求角的度数提供了四个已知角的度数提供了四个已知角的角的度数，为从未知度数，为从未知角向角向已知角已知角的转化的转化创造了创造了条件条件.知知1 1练练感悟新知感悟新知解：解：因为因为OE AB，所以所以 AOE=90.所以所以 AOC=AOE-1=90-35=55.所以所以 2=AOC=55.解题秘方解题秘方：利用利用垂直的定义及对顶角的性质将要垂直的定义及对顶角的性质将要求的角求的角向已知向已知角转化
5、角转化.答案答案：A知知1 1练练感悟新知感悟新知将一张长方形纸片按如图将一张长方形纸片按如图 4.54 所示的方式折叠所示的方式折叠，EF，EG 为折痕，判断为折痕，判断 EF 与与 EG 的位置关系的位置关系.例2 知知1 1练练感悟新知感悟新知解解：因为因为 A EF 是是由由AEF 折叠得到的，折叠得到的，四边形四边形 B EGC是由四边形是由四边形 BEGC 折叠得到的折叠得到的，所以所以 AEF=A EF，BEG=B EG.解题秘方解题秘方：利用折叠的性质求出两线的夹角，根利用折叠的性质求出两线的夹角，根据夹角据夹角是是90判断两线的位置关系判断两线的位置关系.知知1 1练练感悟新
6、知感悟新知知知1 1练练感悟新知感悟新知知识储备知识储备折叠后，点折叠后，点A与点与点 A，点，点B与点与点 B，点，点C与点与点C 重合，重合，所以所以三角形三角形AEF 与与三角形三角形AEF 大小、形状大小、形状完全完全相同，四相同，四边形边形BEGC与与四边形四边形BEGC大小大小、形状、形状完全相同，完全相同，所以所以 AEF=AEF，BEG=BEG.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲知识点知识点垂线的性质垂线的性质2垂线垂线的性质：的性质：(1)在在同一平面内同一平面内，垂直于同一条直线垂直于同一条直线的两条直线平行的两条直线平行.表达方式：表达方式：如图如图 4.5 5，直线直线 a
7、，b，c 在同一平面内在同一平面内.因为因为 a b，a c，所以，所以 b c.知知2 2讲讲感悟新知感悟新知特别解读特别解读1.三条直线三条直线“在同一在同一平面平面内内”是前提是前提，丢掉这个丢掉这个前前提，结论提，结论不一定不一定成立成立.2.本结论可看成是本结论可看成是平行线平行线判定方法判定方法 1，2，3的的推论，推论，因为它可因为它可由判定由判定方法方法1，2，3得到得到.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲(2)在在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的中的一条，一条，那么这条直线垂直于另一条那么这条直线垂直于另一条.表达方式：表达方式
8、：如图如图 4.55，直线直线 a，b，c 在同一平面内在同一平面内.因为因为 b c，a b，所以，所以 a c.感悟新知感悟新知知知2 2练练如如 图图 4.56，E 是是 BC 上上 一一 点，点，EF AB 于于 点点 F，CD AB 于点于点 D，1=2.试说明：试说明：DG BC.例3考向：利用垂线的性质说明两直线平行考向：利用垂线的性质说明两直线平行知知2 2练练感悟新知感悟新知解题秘方解题秘方：根据垂线的性质及平行线的判定方法，根据垂线的性质及平行线的判定方法，选用选用合适合适的判定方法进行说明的判定方法进行说明.知知2 2练练感悟新知感悟新知解解：因为：因为 EF AB，CD
9、 AB(已知已知)，所以所以 EF CD(在在同一平面内，垂直于同一条直同一平面内，垂直于同一条直线的两线的两条直线平行条直线平行).所以所以 2=3(两两直线平行，同位角直线平行，同位角相等相等).因为因为 1=2(已知已知)，所以所以 1=3(等量代换等量代换).所以所以 DG BC(内错角内错角相等，两直线相等，两直线平行平行).知知2 2练练感悟新知感悟新知解法提醒解法提醒判定两直线平行的方法：判定两直线平行的方法：方法一方法一：平行线：平行线的定义的定义：在同一平面内：在同一平面内，没有，没有公共点公共点的两条的两条直线叫做直线叫做平行线平行线.方法二方法二：平行线：平行线基本基本事
10、实的推论：如果事实的推论：如果两条两条直线都与直线都与第三条第三条直线平行直线平行，那么这两条，那么这两条直线也直线也互相平行互相平行.方法三方法三：同位角：同位角相等相等，两直线平行，两直线平行.知知2 2练练感悟新知感悟新知方法方法四四：内错角：内错角相等相等，两直线平行，两直线平行.方法五方法五：同旁：同旁内角互补内角互补，两直线平行，两直线平行.方法六方法六：在同一：在同一平面平面内，垂直于同一条内，垂直于同一条直线直线的两条直的两条直线平行线平行.感悟新知感悟新知知知3 3讲讲知识点知识点垂线的画法及基本事实垂线的画法及基本事实31.垂线垂线的画法的画法:经过经过一点一点(已知已知直
11、线上或直线直线上或直线外外)，画已知画已知直直线的线的垂线，垂线，步骤如下：步骤如下：感悟新知感悟新知知知3 3讲讲步骤步骤 内容内容 示图示图一落一落让三角尺的一条直角让三角尺的一条直角边落边落在已知直线上，在已知直线上，使使其与其与已知直线重合已知直线重合.过点过点 P 作直线作直线 l 的的垂线：垂线：点点 P 在直线在直线 l 外外 点点 P 在直线在直线 l 上上二移二移沿已知直线移动三角沿已知直线移动三角尺尺，使，使其另一条直角其另一条直角边边经过已知经过已知点点.三画三画沿此直角边画直线，沿此直角边画直线，则这则这条直线就是已知条直线就是已知直线的直线的垂线垂线.知知3 3讲讲感
12、悟新知感悟新知特别提醒特别提醒画一条线段或画一条线段或射线射线的垂线，就是的垂线，就是画画它们所在它们所在直直线的垂线线的垂线，垂足不一定垂足不一定在这条线段或在这条线段或射线射线上，垂足上，垂足可能在可能在线段的线段的延长线上或射线的延长线上或射线的反向反向延长线上延长线上.感悟新知感悟新知知知3 3讲讲2.垂线的基本事实：垂线的基本事实：在在同一平面同一平面内，过内，过一点一点有且只有有且只有一条一条直直线线与已知与已知直线垂直直线垂直.特别提醒：特别提醒：基本事实中的唯一性有两个关键条件不能基本事实中的唯一性有两个关键条件不能少少：一：一是是“同一平面同一平面”；二是；二是“过一点过一点
13、”，这一点可以在，这一点可以在直线直线上也上也可以在直线外可以在直线外.知知3 3练练感悟新知感悟新知在图在图 4.5 7 中，分别过点中，分别过点 P 作作 AB 的垂线的垂线.例4 考向：利用垂线的画法画垂线考向：利用垂线的画法画垂线知知3 3练练感悟新知感悟新知解题秘方解题秘方：利用三角尺根据画垂线的步骤进行操作利用三角尺根据画垂线的步骤进行操作.解解：如图：如图 4.5 8.知知3 3练练感悟新知感悟新知解法提醒解法提醒画垂线时是画实线画垂线时是画实线，如需要延长线段，如需要延长线段或反向或反向延长射线，延长射线，则要则要用虚线用虚线延长延长.感悟新知感悟新知知知4 4讲讲知识点知识点
14、垂线段及点到直线的距离垂线段及点到直线的距离41.垂线段与斜线段：垂线段与斜线段：(1)定义定义：如图：如图4.5-9，设，设PO 垂直于直线垂直于直线l，O 为垂足为垂足，线段线段PO 叫作点叫作点P 到直线到直线l 的垂线段，经过点的垂线段，经过点P 的其他的其他直线直线分分别交直线别交直线l 于点于点A，B，C，D，线段，线段PA，PB，PC，PD，都不是垂线段，称为斜线段，都不是垂线段，称为斜线段.知知4 4讲讲感悟新知感悟新知知知4 4讲讲感悟新知感悟新知特别提醒特别提醒斜线段有无数条，斜线段有无数条，但垂线但垂线段只有一条段只有一条.垂线是一条直线，垂线是一条直线，长度长度不可度量
15、，而不可度量，而垂线段垂线段是一是一条线段，条线段，长度可长度可度量度量.感悟新知感悟新知知知4 4讲讲(2)性质性质：直线外一点与直线上各点连接的所有：直线外一点与直线上各点连接的所有线线段中段中，垂线段最短，垂线段最短.简单说成：垂线段最短简单说成：垂线段最短.感悟新知感悟新知知知4 4讲讲(3)垂线、垂直与垂线段之间的区别与联系：垂线、垂直与垂线段之间的区别与联系：区别：区别：垂线是一条与已知直线垂直的直线；垂直是垂线是一条与已知直线垂直的直线；垂直是两两条直线条直线之间的位置关系；垂线段是一条与已知直线垂直之间的位置关系；垂线段是一条与已知直线垂直的线段的线段.联系：联系：垂线段所在的
16、直线是已知直线的垂线；垂线垂线段所在的直线是已知直线的垂线；垂线段段所在所在的直线与已知直线垂直的直线与已知直线垂直.感悟新知感悟新知知知4 4讲讲2.点到直线的距离：点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长从直线外一点到这条直线的垂线段的长度度，叫做，叫做点到直线的距离点到直线的距离.例如，在图例如，在图4.5-9 中，垂线中，垂线段段PO 的长度叫作点的长度叫作点P 到直线到直线l 的距离的距离.(1)垂线垂线段与点到直线的距离的区别：垂线段是一个段与点到直线的距离的区别：垂线段是一个几几何图形何图形，而点到直线的距离是一个，而点到直线的距离是一个数量数量，是垂线段的长度，是垂线
17、段的长度.感悟新知感悟新知知知4 4讲讲(2)点点到直线的距离与两点间的距离的区别：到直线的距离与两点间的距离的区别：两点间的距离两点间的距离 点到直线的距离点到直线的距离定义定义 连接两点的线段的长度连接两点的线段的长度直线外一点到这条直线的直线外一点到这条直线的垂线段的长度垂线段的长度性质性质 两点之间，线段最短两点之间，线段最短 垂线段最短垂线段最短感悟新知感悟新知知知4 4练练(1)如如图图 4.510，在，在 ABC 中，中，ACB=90，CD AB，垂足为垂足为 D.若若 AC=8 cm，BC=6 cm，AB=10 cm，则，则点点 A 到直线到直线 BC 的距离为的距离为 _cm
18、，点，点 B 到直到直线线 AC 的的距离为距离为 _cm，点，点 C 到到直线直线 AB 的距离的距离为为_ cm.例5考向：利用垂线段考向：利用垂线段解决问题解决问题题型题型1 垂线段的长度在求点到直线的距离中的应用垂线段的长度在求点到直线的距离中的应用知知4 4练练感悟新知感悟新知解题秘方解题秘方：根据点到直线的距离的定义找出根据点到直线的距离的定义找出垂线段，求垂线段，求出垂线出垂线段的长度即可段的长度即可得到点到直线的距离得到点到直线的距离.解解：根据点到直线的距离的定义可知：根据点到直线的距离的定义可知，点点A 到直线到直线BC 的距离是线段的距离是线段AC 的长，即的长，即8 c
19、m；点点B 到直线到直线AC 的距离是线段的距离是线段BC 的长，即的长，即6 cm；点点C 到直线到直线AB 的距离是线段的距离是线段CD 的长的长.知知4 4练练感悟新知感悟新知答案答案：8；6；4.8解法解法提醒提醒1.直角三角形中斜边直角三角形中斜边上的上的高可以通过高可以通过“面积法面积法”来来求，即两求，即两直角边直角边的乘积等于斜边的乘积等于斜边乘斜边乘斜边上的高上的高.2.求点到直线的求点到直线的距离的距离的关键是找准关键是找准“垂线段垂线段”；虽；虽然垂线段然垂线段最短最短，但不是在给出，但不是在给出的线段的线段中最短的那中最短的那条就是条就是垂线段垂线段.感悟新知感悟新知知
20、知4 4练练题型题型2 垂线段最短在比较线段长短中的应用垂线段最短在比较线段长短中的应用例例6 中考中考杭州杭州 如图如图4.5-1 1，设点，设点P 是直线是直线l 外一点，外一点，PQ l，垂足为，垂足为Q，点，点T 是直线是直线l 上的一个动点，连接上的一个动点，连接PT，则，则()A.PT 2PQB.PT 2PQC.PT PQD.PT PQ解题秘方：本题考查了垂线段最短的应用，解题解题秘方：本题考查了垂线段最短的应用，解题的关键的关键是理解是理解垂线段最短的意义垂线段最短的意义.知知4 4练练感悟新知感悟新知答案答案：C 解：根据点解：根据点P 是直线是直线l 外一点，外一点，PQ l，垂足为，垂足为Q，可知可知PQ 是点是点P 到直线到直线l 的垂线段的垂线段.当点当点T 与点与点Q 重合时，重合时，PQ=PT，根据垂线段最短可知，根据垂线段最短可知，PT PQ.知知4 4练练感悟新知感悟新知解法解法提醒提醒由由已知条件可知已知条件可知，PQ 是直线是直线l 外一点外一点P到到直线直线l的垂线段的垂线段.根据根据垂线段最短垂线段最短可知可知PQPT.垂线垂线垂线段垂线段垂线的性质垂线的性质垂线垂线性质性质点到直线点到直线的距离的距离
