1、 北京北京 101 中学中学 2017-2018 学年上学学年上学期高二年级期末考试数学试卷（文科）期高二年级期末考试数学试卷（文科） （本试卷满分 120 分，考试时间 100 分钟） 一、选择题共 8 小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1. 如果命题 pq 为真命题，pq 为假命题，那么（ ） A. 命题 p，q 均为真命题 B. 命题 p，q 均为假命题 C. 命题 p，q 有且只有一个为真命题 D. 命题 p 为真命题，q 为假命题 2. 已知函数 y=f（x）的图象在点（1，f（1） ）处的切线方程为 x-2y+1=0，则 f（1）+2f（1）的 值是（ ）
2、A. 2 1 B. 1 C. 2 3 D. 2 3. 已知 AB 是抛物线 y2=2x 的一条焦点弦，|AB|=4，则 AB 的中点 M 的横坐标是（ ） A. 2 B. 2 1 C. 2 3 D. 2 5 4. 函数 f（x）=xex的最小值是（ ） A. -1 B. -e C. - e 1 D. 不存在 5. “a1”是“函数 f（x）=ax+cosx 在（-，+）上单调递增”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知双曲线的一个焦点为 F，点 P 在双曲线的一条渐近线上，点 O 为双曲线的对称中心。若 OFP 为等
3、腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. 6 B. 2 C. 2 D. 3 7. 函数 f（x）=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ） A. a0，b0，d0 B. a0，b0，c0 C. a0，b0，d0 D. d0，b0，c0，d0，x2+x0 的否定是_。 10. 若椭圆1 m y 4 x 22 （m4）的离心率为 2 1 ，则 m=_。 11. 函数 f（x）=x3-3x+1 在闭区间-3，0上的最大值是_，最小值是_。 12. 若命题“xR，使得 x2+（1-a）x+1b0）的离心率为 2 2 ，右焦点为 F（1，0） 。 （1）求椭圆 E 的方程；
4、 （2）设点 O 为坐标原点，过点 F 作直线 l 与 椭圆 E 交于 M，N 两点，若 OMON，求直线 l 的方程。 17. 已知函数 f（x）=lnx。 （1）求曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （2）求证：当 x0 时，f（x）l- x 1 ； （3）若 x-1alnx 对任意 x1 恒成立，求实数 a 的最大值。 18. 已知椭圆 C： 2 2 2 2 b y a x =1（ab0）上的点到它的两个焦点的距离之和为 4，以椭圆 C 的短轴 为直径的圆 O 经过这两个焦点，点 A，B 分别是椭圆 C 的左、右顶点。 （1）求圆 O 和椭圆 C 的方程； （2）已知
5、 P，Q 分别是椭圆 C 和圆 O 上的动点（P，Q 位于 y 轴两侧） ，且直线 PQ 与 x 轴平行， 直线 AP，BP 分别与 y 轴交于点 M，N。求证：MQN 为定值。 参考答案参考答案 1. C 2. D 3. C 4. C 5. A 6. B 7. A 8. C 9. x0，x2+x0 10. 3 11. 3，-17 12. （-，-1）（3，+） 13. 22 14. （1）2； （2） （-，-1） 。 15. （1）a=b=4，y=4x+c； （2） （0， 27 32 ） 。 16. （1）根据题意得 c=l，所以 , 1 , 2 21 22 ba a 解得 a=2，b=
6、1， 所以椭圆 E 的方程为1y 2 x 2 2 。 （2）设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） 。 当 MN 垂直于 x 轴时，MN 的方程为 x=1，不符题意； 当 MN 不垂直于 x 轴时，设 MN 的方程为 y=k（x-1） ， 由 ) 1k(xy 1y 2 x 2 2 ,得（1+2k2）x2-4k2x+2（k2-l）=0， 所以 x1+x2= 2 2 k21 k4 ，x1x2= 2 2 k21 1k2 ）（ ， 所以 y1y2=k2（x1-1） （x2-1）=k2x1x2-(x1+x2）+1= 2 2 k21 k 。 又因为 OMON，所以ONOM=0， 所以 x1x2+y1y2
7、=0 k21 2k 2 2 ， 计算得 k=2， 所以直线 l 的方程为 y=2（x-1） 。 17. （1）f（x）= x 1 ，f（1）=1， 又 f（1）=0，所以切线方程为 y=x-1。 （2）由题意知 x0，令 g（x）=f（x）-（1- x 1 ）=lnx-l+ x 1 。 g（x）= x 1 - 2 x 1 = 2 x 1x ， 令 g（x）= 2 x 1x =0，解得 x=1。 易知当 xl 时，g（x）0，易知当 0xl 时，g（x）l，h（x）0 恒成立。 h（x）=1- x a = x ax ， al 时，h（x）0，h（x）在1，+）上单调递增， 当 xl 时，h（x）
8、h（1）=0，满足题意。 a1 时，随 x 变化，h（x） ，h（x）的变化情况如下表： x （1，a） a （a，+） h（x） - 0 + h（x） 极小值 h（x）在（1，a）上单调递减，所以 h（a）1 时，总存在 h（a）0，不合题意。 综上所述，实数 a 的最大值为 1。 18. （1）依题意得 . , , 222 cba bc 4a2 解得：a=2，b=c=2。 所以圆 O 的方程为 x2+y2=2，椭圆 C 的方程为1 2 y 4 x 22 。 （2）如图所示， 设 P（x0，y0） （y00） ，Q（xQ，y0） ，则 , , 2yx 1 2 y 4 x 2 0 2 Q 2
9、0 2 0 即 . , 2 0 2 Q 2 0 2 0 y2x y24x 又由 AP：y= 2x y 0 0 （x+2）得 M（0， 2x y2 0 0 ） 。 由 BP：y= 2 0 0 x y （x-2）得 N（0，- 2x y2 0 0 ） 。 所以QM=（-xQ， 2x y2 0 0 -y0）=（-xQ，- 2x yx 0 00 ） ，QN=（-xQ，- 2x y2 0 0 -y0）=（-xQ，- 2x yx 0 00 ）. 所以QMQN= 4x yx x 2 0 2 0 2 0 2 Q =2- 2 0 y+0 y2 yy24 2 0 2 0 2 0 ）（ . 所以 QMQN，即MQN=90。
