1、 2 图图 图图 1 构造全等构造全等 倍长类中线倍长类中线 倍长中线倍长中线 E A F B D C D B A C D B A C F E D C B A F D B A C E 第第八章八章 中点四大模型中点四大模型 模型模型 1 1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形 模型模型分析分析 如图，AD 是ABC 的中线，延长 AD 至点 E 使 DE=AD，易证：ADCEDB （SAS）。如图，D 是 BC 中点，延长 FD 至点 E 使 DE=FD，易证： FDBFDC（SAS）。当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线
2、或类中线， 构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移。 模型实例模型实例 例例 1 1如图，已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，连接 BE 并延长 AC 于点 F，AF=EF。求证：AC=BE。 热搜热搜精练精练 1如图，在ABC 中，AB=12，AC=20，求 BC 边上中线 AD 的范围。 D B A C N M D B A C 连接中线连接中线 D A B C D B A C 2如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，DMDN，如果 2222 BMCNDMDN。 求证： 222 1 4 ADABAC。 模型模型 2 2 已知等已知等腰三角形底边中
3、点，可以考腰三角形底边中点，可以考 虑与顶点连接用虑与顶点连接用“三线合一”“三线合一” N M B A C F D B A C E 模型模型分析分析 等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线 合一”的性质得到角相等或边相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三 角形的时候，就应想到：“边等、角等、三线合一”。 模型实例模型实例 例例 1 1如图，在ABC 中，AB=AC-5，BC=6，M 为 BC 的中点，MNAC 于点 N， 求 MN 的长度。 热搜精练热搜精练 1如图，在ABC 中，AB=AC，D 是 BC 的中点，AEDE，AFDF，且 AE=AF。 求证：EDB=
4、FDC。 2已知 RtABC 中，AC=BC，C=90，D 为 AB 边的中点，EDF=90， EDF 绕点 D 旋转，它的两边分别交 AC、CB（或它们的延长线）于 E、F。 （1）当EDF 绕点 D 旋转到 DEAC 于 E 时（如图）， 求证： 1 2 DEFCEFABC SSS； 图图 3 2 图图1 图图 A E C F D B A E C F D B F D B A C E 构造中位线构造中位线 取另一边中点取另一边中点 D B A C D B A C E （2）当EDF 绕点 D 旋转到 DE 和 AC 不垂直时，在图和图这两种情况下， 上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不
5、成立， DEF S、 CEF S、 ABC S又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。 模型模型 3 3 已知三角形一边的中点，可以考虑中位线定理已知三角形一边的中点，可以考虑中位线定理 模型模型分分析析 在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线 F N M E C A B D A ED B C N 3图图 图图2 G F A DE B C 1图图 E C A B D N M 2图图 G E C A B D F O E C A B D F N M 图图1 的性质定理：DEBC，且 1 2 DEBC来解题，中位线定理既有线段之间的位 置关系又有数量关系，该模型可以解决
6、相等，线段之间的倍半、相等及平行 问题。 模型实例模型实例 例例 1 1如图，在四边形 ABCD 中，AB=CD，E、F 分别是 BC、AD 的中点，连接 EF 并延长，分别与 BA、CD 的延长线交于点 M、N。 求证：BME=CNE。 热搜精练热搜精练 1（1）如图，BD、CE 分别是ABC 的外角平分，过点 A 作 ADBD、 AECE，垂足分别为 D、E，连接 DE。 求证：DEBC， 1 2 DEABBCAC； （2）如图，BD、CE 分别是ABC 的内角平分，其它条件不变。上述结论是 否成立？ （3）如图，BD 是ABC 的内角平分，CE 是ABC 的外角平分，其它条件不 变。DE
7、 与 BC 还平行吗？它与ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想， 并对其中一种情况进行证明。 2问题一：如图，在四边形 ACBD 中，AB 与 CD 相交于点 O，AB=CD，E、F 分 别是 BC、AD 的中点，连接 EF 分别交 DC、AB 于点 M、N，判断OMN 的形状，请直 接写出结论； 问题二：如图，在ABC 中，ACAB，点 D 在 AC 上，AB=CD，E、F 分别是 BC、 AD 的中点，连接 EF 并延长，与 BA 的延长线交于点 G，若 EFC=60， 连接 GD，判断AGD 的形状并证明。 D C A B C A B 构造直角三角形斜边上的中线构造直角三角形斜
8、边上的中线D 模型模型 4 4 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线 模型模型分析分析 在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直 M E C A B D F M C A B D C M E A B D 角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即 1 2 CDAB，来证明线段间的数量关 系，而且可以得到两个等腰三角形：ACD 和BCD，该模型经常会与中位线定理一起 综合应用。 模型实例模型实例 例例 1 1如图，在ABC 中，BE、CF 分别为 AC、AB 上的高，D 为 BC 的中点， DMEF 于点 M。求证：FM=EM。
9、 热搜精练热搜精练 1如图，在ABC 中，B=2C，ADBC 于点 D，M 为 BC 的中点，AB=10。 求 DM 的长度。 2已知，ABD 和ACE 都是直角三角形，且ABD=ACE=90，连接 DE， M 为 DE 的中点，连接 MB、MC。求证：MB=MC。 3图图 A D B E M F C 图图2 M A D B E C F 1图图 E C A B D F M 3问题 1：如图，ABC 中，点 D 是 AB 边的中点，AEBC，BFAC，垂足 分别为点 E、F，AE、BF 交于点 M，连接 DE、DF。若DEkDF，则k的值 为 ； 问题 2：如图，ABC 中，CB=CA，点 D 是 AB 边的中点，点 M 在ABC 内部， 且MAC=MBC。过点 M 分别作 MEBC，MFAC，垂足分别为点 E、F，连接 DE、DF。 若 DE=DF； 问题 3：如图，若将上面问题中的条件“CB=CA”变为“CBCA”，其它条 件不变，试探究 DE 与 DF 之间的数量关系，并证明你的结论。
