1、广东省广州市 2021 届高三年级阶段训练 数学试卷 一、单项选择题（本大题共 8 小题， 每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1设集合 A0，1，2，B1x x ，则 AB 的子集个数为 A2 B4 C8 D16 2已知复数 z12i，则 2 z A3 B3 C5 D5 3设 n a是公差为正数的等差数列，若 2 5a ， 13 16a a ，则 12 a A12 B35 C75 D90 4中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题： “今有牛、马、羊食人苗苗主责之 粟五斗羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半
2、牛”今欲衰偿之，问各出几 何？”翻译过来就是：现有牛、马、羊吃了人家的田里的青苗，青苗主人要求三畜的主 人一共赔偿粟米 5 斗羊主人说： “我的羊所吃数是马的一半”马主人说：“我的马所 吃数是牛的一半”现在按照三畜所吃青苗数的比例进行分配赔偿，问牛、马、羊的主 人赔偿粟米斗数分别为 A 20 7 ，10 7 ， 5 7 B 5 7 ，10 7 ， 20 7 C 20 7 ， 5 7 ，10 7 D10 7 ， 5 7 ， 20 7 5 已知( )f x，( )g x分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数， 且 32 ( )( )f xg xxxa， 则(2)g A4 B4 C8 D8 6某学校鼓
3、励学生参加社区服务，学生甲 2019 年每月参加社区服务的时长（单位：小时） 分别为 1 x， 2 x， 12 x，其均值和方差分别为x和 2 s，若 2020 年甲每月参加社区服 务的时长增加 1 小时，则 2020 年甲参加社区服务时长的均值和方差分别为 Ax， 2 s B1 x， 2 1s Cx， 2 1s D1 x， 2 s 7 6 1 ()ax x 的展开式中的常数项为 160，则 a 的值为 A2 B2 C4 D4 8在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABCC12，BC1，点 M 在正方形 CDD1C1内， C1M平面 A1CM，则三棱锥 MA1CC1的外接球表面积为 A11
4、2 B7 C11 D14 二、 多项选择题 （本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9以下四个命题中，真命题的是 A若 pq 为真命题，则 p，q 均为真命题 B “x2”是“lg(3)0 x”的必要不充分条件 C若命题 p：x R， 2 10 xx ，则p： x R， 2 10 xx D若 ab0，则 a2abb2 10已知 P 是双曲线 C： 22 1 169 xy 右支上一点，F1，F2分别是 C 的左，右焦点，O 为坐 标原点， 1 9 OPOF 4 ，则 AC 的离心率为 5
5、4 BC 的渐近线方程为 4 3 yx C点 P 到 C 的左焦点距离是 23 4 DPF1F2的面积为 45 4 11已知函数( )sincos(sincos )f xxxxx，xR，则 A( )f x在(0， 4 )上单调递增 B( )f x是周期函数，且周期为2 C( )f x有对称轴 D函数( )( ) 1g xf x在(，)上有且仅有一个零点 12 已知直线2yx 分别与函数 1 e 2 x y 和ln(2 )yx的图像交于点 A( 1 x， 1 y)， B( 2 x， 2 y)，则 A 12 ee2e xx B 12 e 4 x x C 1 22 1 ln ln0 x xx x D
6、 1 2 eln(2)2 x x 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13已知 1 e， 2 e是互相垂直的单位向量，若 12 3ee与 12 ee的夹角为 90，则实数 的值是 14函数( )sinf xxx在点( 2 ，() 2 f )处的切线方程为 15广东省 2021 年的新高考按照“312”的模式设置， “3”为全国统一高考的语文、数 学、外语 3 门必考科目； “1”由考生在物理、历史 2 门中选考 1 门科目； “2”由考生在 思想政治、地理、化学、生物学 4 门中选考 2 门科目则甲，乙两名考生在选考科目中 恰有两
7、门科目相同的方法数为 16 已知抛物线 C： 2 2(0)ypx p的焦点为 F， 过点 F 且斜率为3的直线 l 交 C 于 A， B 两点，以线段 AB 为直径的圆交 y 轴于 M，N 两点，设线段 AB 的中点为 Q，若点 F 到 C 的准线的距离为 3，则 sinQMN 的值为 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 在acosBbsinA， b22aca2c2， sinBcosB2这三个条件中任选一个， 补充在下面的问题中，并解决该问题 问题：已知ABC 的内角 A，B，C 的
8、对边分别为 a，b，c， ，ABC 的面积 为 2，a2，求 b 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a的前 n 项和 n S满足 2 23 n Snn， 数列 3 log n b是公差为1 的等差数 列， 1 1b （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）设 2121nnn cab ，求数列 n c的前 n 项和 n T 19 （本小题满分 12 分） 某学校高三年级数学备课组的老师为了解新高三年级学生在假期的自学情况， 在开学初 进行了一次摸底测试，根据测试成绩评定“优秀”、“良好”、“要加油”三个等级，同时 对相应等级进
9、行量化：“优秀”记 10 分，“良好”记 5 分，“要加油”记 0 分现随机抽 取年级 120 名学生的成绩，统计结果如下所示： 等级 优秀 良好 要加油 得分 120，150 90，120) 0，90) 频数 12 72 36 （1）若测试分数 90 分及以上认定为优良分数段在120，150，90，120)，0，90) 内女生的人数分别为 4 人，40 人，20 人，完成下面的 22 列联表，并判断：是否有 95 以上的把握认为性别与数学成绩优良有关？ 是否优良 性别 优良 非优良 总计 男生 女生 总计 （2）用分层抽样的方法，从评定为“优秀”、“良好”、“要加油”的三个等级的学 生中选取
10、 10 人进行座谈，现再从这 10 人中任选 2 人，所选 2 人的量化分之和记为 X，求 X 的分布列及数学期望 E(X) 附表及公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd P( 2 0 Kk) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 20 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 EABCD 中，底面 ABCD 为菱形，BE平面 ABCD，G 为 AC 与 BD 的交点 （1）证明：平面 AEC平面 BED； （2）若BAD60，AEEC，求直线 EG
11、与平面 EDC 所成角的正弦值 21 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)经过点 P(1， 2 2 )，且两焦点与短轴的两个端点 的连线构成一正方形 （1）求椭圆 C 的方程； （2）过椭圆 C 的右焦点 F 的直线 l（与 x 轴不重合）与椭圆 C 交于 M，N 两点是否 存在一定点 E(t，0)，使得 x 轴上的任意一点（异于点 E，F）到直线 EM，EN 的距离相等？ 若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由 22 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 1 ( )()ln1 2 f xxaxxaxa （1）若 a1，求函数( )f x的单调区间； （2）若 2 1 ( )ln2 2 f xaxxx在(1，)上恒成立，求整数 a 的最大值
