1、 连云港 20202021 学年第一学期期中考试 高二数学试题 用时: 120 分钟满分: 150 分 一单项选择题: 共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请 将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上. 1.命题 2 ,310 xxax + R的否定是 2 .,310Axxax + R B.x 2 ,310Rxax+ R D. 2 ,310 xxax + R 2.双曲线 2 2 1 4 y x=的渐近线方程是 A. y=4x 4 1 .Byx= C.y=2x 2 1 .Dyx= 3.设 aR,则“ 2 aa”是“a1的 A.充分不
2、必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.公元 13 世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作 算盘书 中记载着这样一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34, 满足 21 (1), nnn aaa n + =+那么 2462020 1aaaa+L 2021 . Aa 2022 .Ba 2023 .Ca 2024 .Da 5.焦点为(0,2)的抛物线标准方程是 2 .8Axy= 2 .4Bxy= 2 .4Cyx= 2 .8Dyx= 6.已知数列 n a中, 12 1,2,aa=对 * nN 都有 333 12 2, nnn aaa + =+则 10 a等于
3、 A.10 3 .10B C.64 .4D 7.已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab +=的左右焦点分别为 12 ,F F过 1 F作x轴垂线交椭圆于P,若 12 60 ,FPF = 则该椭圆的离心率是 .3A 3 . 2 B 1 . 2 C 3 . 3 D 8.数学著作孙子算经中有这样一个问题:“今有物不知其数,三三数之剩二(除以 3 余 2),五五数之剩三(除 以 5 余 3),问物几何?”现将 1 到 2020 共 2020 个整数中,同时满足“三三数之剩二,五五数之剩三”的数按从 小到大的顺序排成一列, 构成数列, n a则该数列共有 A.132 项 B.133 项 C.1
4、34 项 D.135 项 二多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的 得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分. 9.若 ab0,则 22 . Aacbc 22 .Baabb 2 . ab Cab ab 10.下列命题正确的是 A.xR, 2 log1x = B. x=1 是 2 1x =的充分不必要条件 C. 32 ,xxx N D.若 ab,则 22 ab 11. 下列有关双曲线 22 28xy=的性质说法正确的是 A.离心率为3 B.顶点坐标为(0,2) C.实轴长为 4 D.虚轴长为4 2 12.已知数
5、列 n a是等差数列,前 n 项和为, n S且 135 22,aaS+=下列结论中正确的是 7 .AS最小 13 .0Bs= 49 .CSS= 7 .0Da = 三填空题:共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13.已知 x1,则 1 3 1 x x + 的最小值是_. 14.已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab +=过点(1,2),其长轴长的取值范围是4,6,则该椭圆离心率的取值范围是 _. 15. 等差数列 n a的前 n 项和为, n S公差为 d,满足 * 1 3,9,(), k aakd k=0,b0 且 a+b+8=ab.
6、(1)求 ab 的最小值; (2)求 a+ 2b 的最小值. 18. (本小题满分 12 分) 已知等比数列 n a中, 1 1,a =且 2 2a是 3 a和 1 4a的等差中项. (1)求数列 n a的通项公式; (2)若数列 n b满足 2* 2(), nn bnan=+N求 n b的前 n 项和S . n 19. (本小题满分 12 分) 已知函数 22 ( )24, ( )2f xxxk g xxx=+= (1)若对任意 x-3,3,都有 f(x)g(x)成立,求实数 k 的取值范围; (2)若存在 12 , 3,3,x x 使 12 ( )()f xg x成立,求实数 k 的取值范
7、围. 20. (本小题满分 12 分) 如图,过抛物线 2 4yx=的焦点 F 任作直线 l,与抛物线交于 A,B 两点,AB 与 x 轴不垂直,且点 A 位于 x 轴上方. AB 的垂直平分线与 x 轴交于 D 点. (1)若2,AFFB= uuu ruu u r 求 AB 所在的直线方程; (2)求证: | | AB DF 为定值. 21. (本小题满分 10 分) 在 123 ,a a a成等差数列, 2112 4(3) nnnnn aaaaa n + +=， 3 6(1) nn aan + =这三个条件中任 选一个,补充到下面问题中. 问题:已知在数列 n a中,满足 11 4(2),
8、 nn aan + =且_,若数列 n a等差数列,请证明;若数列 n a不是等差数列,请举例说明. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 22. (本小题满分 12 分) 如图,在平面直角坐标系xOy中,A, B是椭圆 22 22 1(0) xy ab ab +=的左右顶点,2 2,AB =离心率 2 . 2 e = F 是右焦点,过 F 点任作直线 l 交椭圆于 M,N 两点. (1)求椭圆的方程; (2)试探究直线 AM 与直线 BN 的交点 P 是否落在某条定直线上?若是,请求出该定直线的方程;若不是,请说明 理由. 1 20202021 学年第学年第一一学期期中考试学期期
9、中考试 高高二二数学数学参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一、单项选择题：共单项选择题：共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分 1D 2C 3B 4A 5A 6D 7D 8D 二、多项选择题：共多项选择题：共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9AC 10AB 11ACD 12BCD 三、三、填空题：共填空题：共 4 小题，每小题小题，每小题
10、5 分，共分，共 20 分分 136 14 33 , 32 15 2 3n 1636 四四、解答题：共解答题：共 6 小题，共小题，共 70 分解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤分解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12 分） 解： （1）由8ababab8+2， 整理得280abab ，(4)(2)0abab ， 所以ab4，故ab最小值为 16，当4ab时取得最小 6 分 （2）由8abab ，得 8 1 b a b ，由0a ，0b 得1b 8 分 所以 89 222(1)336 2 11 b abbb bb ， 10 分 当且仅当 9 2(1)
11、1 b b ，即 3 2 1 2 b 时， 2ab的最小值为36 2 12 分 18 （本小题满分 12 分） 解： （1）设等比数列 n a的公比为q，又 1 1a 则 21 aa qq， 22 31 aa qq， 2 分 由于 2 2a是 3 a和 1 4a的等差中项， 得 231 44aaa，即 2 44qq ，解得2q. 4 分 2 所以， 111 1 1 22 nnn n aa q 6 分 （2） 21 224n nn bnan 0121 123 24446424n nn Sbbbbn 212 221 441 24621444 21 43 nn n nn nnn 12 分 19 （本
12、小题满分 12 分） 解： （1）依题意得( )( )0g xf x对任意 3,3x 恒成立， 即 2 6kxx对任意 3,3x 恒成立， 则 2 max (6 ),3,3kxxx ， 当3x 时， 2 max (6 )27xx， 所以27k 5 分 （2）因存在 1 x， 2 3,3x ，使 12 ()()f xg x成立 则有 minmax ( ) ( )f xg x， 8 分 因 2 ( )24f xxxk 2 2(1)2xk ， 2 ( )2g xxx 2 (1)1x ， 3,3x 所以 minmax ( )( 1), g( )( 3)f xfxg 10 分 于是1( 3)fg， 即
13、22 2( 1)4( 1)( 3)2( 3)k ， 解得17k 12 分 20 （本小题满分 12 分） 解： （1）直线l斜率不为0，(1,0)F :1l xty设直线 112212 ( ,), (,).A0,0A x yB x yxyy设点在 轴上方 2 2 1, 440 4 , xty yty yx 由得 1212 4 ,4yyt y y 3 分 3 112212 2(1, y )2(1,)2AFFBxxyyy 由 121 122 4 ,8 , 2,4 , yytyt yyyt 代入 12 4y y ， 因 1 0y ，所以0t ，解得 1 2 2 t ， 2 22 20ABxy所在直线
14、方程为 6 分 （2）ABN NN xy设中点为 （,）， 2 12 + =2 ,=21 2 NN yy yt xt 2 (21,2 )Ntt 所以AB中垂线 2 :2(21)lytt xt 2 (23,0)Dt 22 23 122DFtt 9 分 22 2121 = ()()ABxxyy 22 2121 = ()()tytyyy 22 1212 1()4tyyy y 22 11616tt 2 44t 2 2 44 2( 22 ABt DFt 定值） 12 分 21 （本小题满分 10 分） 解：选择条件选择条件：由 11 4(2) nn aan ， 得数列 21n a 和 2n a成公差为
15、4 的等差数列， 2 分 则有 2111 4(1)44 n aanna ， 222 4(1)44 n aanna， 4 分 当2n 时， 31 4aa，又 123 ,a a a成等差数列， 所以其公差为 2，则有 21 2aa， 所以 2221 4(1)4442 n aannana， 6 分 则当n为奇数时， 1 22 n ana； 当n为偶数时， 1 22 n ana， 4 所以 1 22 n ana，()nN. 8 分 则 1 2(1) nn aan ，所以数列 n a是等差数列. 10 分 选择条件选择条件：因为 2112 4(3) nnnnn aaaaan ，所以 2112 ()()2
16、(3) nnnnnnn aaaaaaan ， 又 11 4(2) nn aan ， 所以 2 4(3) nn aan ， 2 4() nn aan 1 ， 所以 11 2(3) nnn aaan ， 6 分 所以数列 n a从第二项开始等差，设公差为d， 因 42 42aad，所以 32 2aad， 又 313221 ()()4aaaaaa，所以 21 2aa， 综上有数列 n a是公差为 2 的等差数列. 10 分 选择条件选择条件：因为 11 4(2) nn aan ， 所以 2 4() nn aan 1，又 3 61 nn aan （ ）， 两式相减得 32 21 nn aan （ ），
17、 所以数列 n a从第三项开始等差. 6 分 将3n 带入 11 4 nn aa 得 42 4aa， 因为 43 2aa，所以 42433232 ()()2()4aaaaaaaa， 所以 32 2aa，同理 21 2aa. 综上有数列 n a是公差为 2 的等差数列. 10 分 22 （本小题满分 12 分） 解（1） 2 222 22ABaa 设焦距为2c， 22 1 22 c ec a 离心率 222 1bac 5 所以，所求的椭圆方程为 2 2 1 2 x y 3 分 （2）设直线MN方程为1xmy，设 11 M x y（ , ） ， 22 N xy（ , ） 由 2 2 1, 2 1,
18、 x y xmy 22 (2)210mymy 得 1212 22 21 +=,= 22 m yyy y mm 5 分 1 1 (2) 2 y AMyx x 直线方程是 ， 2 2 (2) 2 y BNyx x 直线方程是 1 1 2 2 (2), 2 (2), 2 y yx x y yx x 由 7 分 2121122 1212121 (2)(12)(12)2 = 2(2)(12)(12) y xy mymy yyx xy xy mymy yy 可得 2 1 22 1 2 1 1 2 12 ()(12)() (12)2(2) 22 1 (12)(2) ()(12) 2 m my mmmy mm mmy my m 2 1 2 1 2 1 2 1 (32 2)(12)(2) (12)(2) (32 2)(12)(2)(12) (12)(2)(12) mmy mmy mmy mmy 2 1 2 1 (32 2)(12)(2)(12) (12)(2) mmy mmy 22 1 2 1 2 (12)(2)(12) (12)(2) (12)32 2 mmy mmy 11 分 2 =3+2 2=2 2 x x x ，解得 =2.AMBNx因此直线与直线的交点P落在定直线上 12 分
