1、第三章第三章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算复数代数形式的四则运算 3.2 综合拔高练综合拔高练 五年高考练五年高考练 考点考点 1 1 复数的加、减运算复数的加、减运算 1.(2015 福建,1,5 分,)若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,bR R,i 是虚数单位),则 a,b 的值分别等于( ) A.3,-2 B.3,2 C.3,-3 D.-1,4 考点考点 2 2 复数的乘法运算复数的乘法运算 2.(2018 课标全国,2,5 分,)(1+i)(2-i)=( ) A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i 3.(2017 课标
2、全国,3,5 分,)下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A.i(1+i) 2 B.i2(1-i) C.(1+i) 2 D.i(1+i) 4.(2017 山东,2,5 分,)已知 i 是虚数单位,若复数 z 满足 zi=1+i,则 z 2=( ) A.-2i B.2i C.-2 D.2 5.(2017 北京,2,5 分,)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限, 则实数 a 的取值范围是( ) A.(-,1) B.(-,-1) C.(1,+) D.(-1,+) 6.(2019 江苏,2,5 分,)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为 0,其中 i 为虚数单位, 则实数 a 的
3、值是 . 7.(2017 江苏,2,5 分,)已知复数 z=(1+i)(1+2i),其中 i 是虚数单位,则 z 的 模是 . 8.(2017 浙江,12,6 分,)已知 a,bR,(a+bi) 2=3+4i(i 是虚数单位),则 a 2+b2= ,ab= . 考点考点 3 3 复数的除法运算复数的除法运算 9.(2019 课标全国,2,5 分,)若 z(1+i)=2i,则 z= ( ) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 10.(2018 课标全国,1,5 分,) - =( ) A.- - i B.- + i C.- - i D.- + i 11.(2018 课标全国,2,5
4、 分,)设 z= - +2i,则|z|=( ) A.0 B. C.1 D. 12.(2017 课标全国,1,5 分,) =( ) A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i 13.(2017 天津,9,5 分,)已知 aR,i 为虚数单位,若 - 为实数,则 a 的值 为 . 考点考点 4 4 共轭复数共轭复数 14.(2019 课标全国,2,5 分,)设 z=-3+2i,则在复平面内 对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 15.(2019 北京,1,5 分,)已知复数 z=2+i,则 z =( ) A. B. C.3 D.5 16.(2018
5、北京,2,5 分,)在复平面内,复数 - 的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 17.(2018 浙江,4,4 分,)复数 - (i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 18.(2017 山东,2,5 分,)已知 aR,i 是虚数单位.若 z=a+ i,z =4,则 a=( ) A.1 或-1 B. 或- C.- D. 19.(2017 课标全国,3,5 分,)设有下面四个命题: p1:若复数 z 满足 R,则 zR; p2:若复数 z 满足 z 2R,则 zR; p3:若复数 z1,z2满足 z1
6、z2R,则 z1= ; p4:若复数 zR,则 R. 其中的真命题为( ) A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4 三年模拟练三年模拟练 一、选择题 1.(2020 重庆西南大学附中高三月考,)已知复数 z 满足(3-4i)z=|25i|(i 为 虚数单位),则 z 的虚部为( ) A.3 B.4 C.4i D.-4 2.(2019 甘肃兰州一中高三月考,)若复数 z= ,其中 i 为虚数单位,则下列 结论正确的是( ) A.z 的虚部为-i B.|z|=2 C.z 2为纯虚数 D.z 的共轭复数为-1-i 3.(2020 江西南昌二中高二期末,)若 aR,则“复数 z
7、= - 在复平面内对应的 点在第三象限”是“a3”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(2019 辽宁省实验中学期末,)若复数 z= - ,且 zi 30,则实数 a 的值等于 ( ) A.1 B.-1 C. D.- 5.(2019 山东潍坊高三三模,)设复数 z 满足 =i,则|z|=( ) A.1 B. C.3 D.5 6.()已知 m,nR R,i 是虚数单位,若(1+mi)(1-i)=n,则|m+ni|的值为( ) A.1 B. C. D. 二、填空题 7.(2019 江苏南通高二上期末,)已知 aR R,若(1+ai)(2-i
8、)为实数,则 a= . 8.(2019 江苏南通高三四模,)已知复数 z= +2i(i 是虚数单位),则 z 的共轭 复数为 . 9.(2019 甘肃临夏中学高二下期中,)若复数 z= - ,则| +3i|= . 10.(2020 北京一一中学高三期中,)已知复数 z 满足 z+ =0,则 |z|= . 11.()已知 x、yR,i 是虚数单位,若 x-yi 与 互为共轭复数,则 x- y= . 三、解答题 12.()已知复数 =1-(10-a 2)i,z 2=(2a-5)i(a0),z1-z2R. (1)求实数 a 的值; (2)若 zC,|z-z2|=2,求|z|的取值范围. 13.()已
9、知 z 是虚数,z+ 是实数.求 z 为何值时,|z+2-i| 有最小值,并求出 |z+2-i|的最小值. 答案全解全析答案全解全析 五年高考练五年高考练 1.A (1+i)+(2-3i)=3-2i=a+bi,由复数相等的充要条件可知 a=3,b=-2,故选 A. 2.D (1+i)(2-i)=2-i+2i-i 2=3+i,故选 D. 3.C A.i(1+i) 2=i 2i=-2; B.i 2(1-i)=-(1-i)=-1+i; C.(1+i) 2=2i; D.i(1+i)=-1+i.故选 C. 4.A 由 zi=1+i 得 zi 2=(1+i)i=i-1, 所以 z=1-i, 所以 z 2=
10、(1-i)2=-2i,故选 A. 5.B 复数(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i 在复平面内对应的点在第二象限, - a3, 所以“复数 z= - 在复平面内对应的点在第三象限”是“a3”的充要条件. 4.A z= - = - = - ,zi 3= - =- - , zi 30,zi3为实数,即- - =0,可得 a=1,此时 zi 3=10,符合题意.故选 A. 5.B =i,z= = +1= +1=1-2i,|z|= = ,故选 B. 6.D (1+mi)(1-i)=n, 1+m+(m-1)i=n, - 解得 |m+ni|=|1+2i|= . 二、填空题 7.答案答案 解析解析 因
11、为(1+ai)(2-i)=2-i+2ai+a=2+a+(2a-1)i,且(1+ai)(2-i)为实数, 所以 2a-1=0,即 a= . 8.答案答案 1-i 解析解析 z= +2i= - - +2i=1-i+2i=1+i, =1-i. 9.答案答案 解析解析 由题得 z= - = - = - =-1+i, +3i=-1-i+3i=-1+2i, | +3i|= - = . 10.答案答案 解析解析 由 z+ =0,得 =0,所以 z 2=-3,设 z=a+bi(a,bR),则(a+bi)2=a2-b2+2abi=- 3,即 - - 解得 所以 z= i,则|z|= . 11.答案答案 2 解析
12、解析 = - - = - = - i, 因为 x-yi 与 互为共轭复数, 所以 x-yi= + i,所以 - 则 x-y= + =2. 三、解答题 12.解析解析 (1)因为 =1-(10-a 2)i,z 2=(2a-5)i(a0), 所以 z1-z2=1+(10-a 2)i-(2a-5)i=1-(a2+2a-15)i, 因为 z1-z2R,所以 a 2+2a-15=0, 解得 a=-5 或 a=3, 因为 a0,所以 a=3. (2)由(1)知 z2=i, 因为|z-z2|=2,所以 z 在复平面内对应的点的轨迹是以(0,1)为圆心,2 为半径的圆, 故|z|在复平面内表示 z 对应的点到坐标原点的距离, 所以|z|的取值范围是以(0,1)为圆心,2 为半径的圆上的点到坐标原点的距离, 所以 2-1|z|2+1,即 1|z|3. 故|z|的取值范围为1,3. 13.解析解析 设 z=a+bi(a,bR 且 b0),则 z+ =a+bi+ =a+bi+ - =( )+( - )i, 因为 z+ 为实数,所以 b- =0,又 b0,所以 a 2+b2=1, |z+2-i|=|(a+2)+(b-1)i|= - ,表示点(a,b)到点 A(-2,1)的距离, 所以|z+2-i|的最小值为 AO-1= -1(如图). 解方程组 - 并结合图形得 z=- + i.
