1、 1利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点，主要以 选择题、填空题为主； 2在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数问题时常利用不等式进行求解，难度较 大 1不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 一元二次不等式 ax2bxc0(或0)， 如果 a 与 ax2bxc 同号， 则其解集在两根之外； 如果 a 与 ax2bxc 异号，则其解集在两根之间 (2)简单分式不等式的解法 f（x） g（x）0(0(0，b0) (4)2(a2b2)(ab)2(a，bR，当 ab 时等号成立) 3利用基本不等式求最值 (1)如果 x0，y0，x
2、yp(定值)，当 xy 时，xy 有最小值 2 p(简记为：积定，和有最小值) (2)如果 x0，y0，xys(定值)，当 xy 时，xy 有最大值 2 1 4 s(简记为：和定，积有最大值) 4简单的线性规划问题 解决线性规划问题首先要找到可行域， 再根据目标函数表示的几何意义， 数形结合找到目标函数达到最值时可 知识与技巧的梳理知识与技巧的梳理 考向预测考向预测 专题一专题一 第第 2 2 讲讲 不等式不等式 函数、导数与不等式函数、导数与不等式 行域上的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决 热点一 不等式的性质及解法 【例 1】(1)(2018 武汉联考)已知
3、函数? ?f x是?0,?上的减函数，若 ? 2 3f aaf a?，则实数 a 的取值范 围为_ (2)(2017 江苏卷)已知函数 f(x)x32xex 1 ex，其中 e 是自然对数的底数，若 f(a1)f(2a2)0，则实数 a 的取值范围是_ 解析 (1)因为? ?f x是?0,?上的减函数，若 ? 2 3f aaf a?， 所以 2 2 3 0 30 aaa aa a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，解不等式组得?1,01,3a? ?， (2)f(x)3x22ex 1 ex3x 222 ex 1 ex3x 20 且 f(x)不恒为 0，所以 f(x)为单调递增函数 又 f(x
4、)x32xe xex(x32xex1 ex)f(x)，故 f(x)为奇函数， 由 f(a1)f(2a2)0，得 f(2a2)f(1a)， 2a21a，解之得1a1 2， 故实数 a 的取值范围是? ? ? ? 1，1 2 答案 (1)C (2)? ? ? ? 1，1 2 探究提高 1解一元二次不等式：先化为一般形式 ax2bxc0(a0)，再结合相应二次方程的根及二次函数 图象确定一元二次不等式的解集 2(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化 (2)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论 【训练 1】(1)(2018 七宝中学)若 ? 2 1 2 log420axxa?
5、对任意x?R恒成立，则实数a的取值范围是_ (2)已知不等式 2 x1 1 5|a 2a|对于 x2，6恒成立，则 a 的取值范围是_ 解析 (1) 由已知得不等式 ? 2 11 22 log42log 1axxa?对任意x?R恒成立， 所以不等式 2 421axxa?对 任意x?R恒成立，即不等式 2 430axxa?对任意x?R恒成立，当0a ?时，则不等式430x?对任意 x?R不恒成立， 所以0a ?。 所以 ? 2 0 4430 a a a? ? ? ? ? ? ? ， 即 2 0 34 0 a aa ? ? ? ? ? ， 所以 0 14 a aa ? ? ? ? ? 或 解得4a
6、 ? 热点题型热点题型 (2)设 y 2 x1， ? 2 2 0 1 y x ? ? ? ? ? ， 故 y 2 x1在 x2，6上单调递减，则 ymin 2 61 2 5， 故不等式 2 x1 1 5|a 2a|对于 x2，6恒成立等价于1 5|a 2a|2 5恒成立，化简得? ? ? ? ?a2a20， a2a20， 解得1a2，故 a 的取值范围是1，2 答案 (1)R (2)1，2 热点二 基本不等式 【例 2】(1)(2018 天津期末)已知0,0xy?，且 41 1 xy ?，若 2 3xymm?恒成立，则实数m的取值范围 是_ (2)(2016 江苏卷改编)已知函数 f(x)2x
7、? ? ? ? 1 2 x ，若对于任意 xR，不等式 f(2x)mf(x)6 恒成立，则实数 m 的最大值为_ 解析 (1)0x ?，0y ?，? 2 min 3xymm?恒成立，且 41 1 xy ?， ? 4144 5529 yxyx xyxy xyxyxy ? ? ? ? ， 因为? 2 min 3xymm?恒成立， 2 39mm?， 32m? ? 故答案为?3,2? (2)由条件知? ? ? 22 22 2222222 xxxx fxf x ? ? f(2x)mf(x)6 对于 xR 恒成立，且 f(x)0， ? ? ? ? 2 4f x m f x ? ?对于 xR 恒成立 又 ?
8、 ? ? ? 2 4f x f x ? f(x) 4 f（x）2 f（x） 4 f（x）4，且 ? ? ? ? 2 04 4 0 f f ? ?， m4，故实数 m 的最大值为 4 答案 (1)8 (2)4 探究提高 1利用基本不等式求最值，要注意“拆、拼、凑”等变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑 出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值，等号能够取得 2特别注意：(1)应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，则应结合函数的单调性求解 (2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则会出错 【训练 2】 (1) (2018 新泰一中)若直线?10,0 xy ab
9、 ab ?过点?2,1，则3ab?的最小值为_ (2)若实数 a，b 满足1 a 2 b ab，则 ab 的最小值为( ) A 2 B2 C2 2 D4 解析 (1)直线?10,0 xy ab ab ?过点?2,1， 21 1 ab ?， 故? 212323 3377272 6 baba abab ababab ? ? ? ? ， 当且仅当 23ba ab ?， 即23ba?时取等号， 结合 21 1 ab ?可解得 66 3 a ? ?且61b ?，故答案为72 6? (2)依题意知 a0，b0，则1 a 2 b2 2 ab 2 2 ab，当且仅当 1 a 2 b，即 b2a 时， “”成立
10、 1 a 2 b ab， ab 2 2 ab，即 ab2 2， ab 的最小值为 2 2 答案 (1)C (2)C 热点三 简单的线性规划问题 【例 3】 (1) (2018 张家口期中)已知x，y满足 0 0 2 y xy xy ? ? ? ? ? ? ? ，则3zxy?的最大值为_ (2) (2017 池州模拟)已知 x， y 满足约束条件 ? ? ? ? ?xy20， axy4， x2y30， 目标函数 z2x3y 的最大值是 2， 则实数 a( ) A1 2 B1 C3 2 D4 解析 (1) 根据题中所给的约束条件，画出可行域，如图所示： 由 0 2 y xy ? ? ? ? 解得
11、?2,0B， 目标函数3zxy?可看做斜率为 3 的动直线，其纵截距越小，z越大， 由图可知，当动直线过点B时，z最大，最大值为3 26z ? ?， 故答案是 6. (2)解析 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示， 目标函数 z2x3y 的最大值是 2， 由图象知 z2x3y 经过平面区域的 A 时目标函数取得最大值 2 由 ? ? ? ?xy20， 2x3y2， 解得 A(4，2)， 同时 A(4，2)也在直线 axy40 上， 4a2，则 a1 2 答案 (1)D (2)A 探究提高 1线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想需要注意的是：一，准确无误地作 出可行域；二
12、，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一 般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得 2对于线性规划中的参数问题，需注意： (1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化 (2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及 最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可 【训练 3】 (1) (2019 贵州联考)设实数x，y满足不等式组40 1 yx xy y ? ? ? ? ? ? ? ， 则zxy
13、?的最小值是_ (2)(2017 新乡模拟)若实数 x，y 满足 ? ? ? ? ?2xy20， 2xy60， 0y3， 且 zmxy(m0，则a 44b41 ab 的最小值为_ 【解题思路】 直接用两次均值不等式，本题恰好能同时取等号 【答案】 a，bR，ab0，a 44b41 ab 4a 2b21 ab 4ab 1 ab2 4ab 1 ab4， 当且仅当 ? ? ? ? ?a 22b2， 4ab 1 ab， 即 ? ? ?a2 2 2 ， b2 2 4 时取得等号故填 4 高频易错题 1(2018 南阳期中)已知正项等比数列? ? n a的公比为 2，若 2 2 4 mn a aa?，则
14、21 2mn ?的最小值等于（ ） A 3 4 B 1 2 C 1 3 D 1 6 【解题思路】根据等比数列的性质求出6mn?，由乘“1”法求出代数式的最小值即可 【答案】正项等比数列? ? n a的公比为 2，若 2 2 4 mn a aa?， 故 222 222 422 nm m n a aaaa ? ?, 故6mn?，1 66 mn ?, 故 2121553 2 226612312123124 mnnmnm mnmnmnmn ? ? ? ? 当且仅当 312 nm mn ?即2mn?时“”成立， 故选 A 2(2017 全国卷)设 x，y 满足约束条件 ? ? ? ? ?3x2y60，
15、x0， y0， 则 zxy 的取值范围是( ) A3，0 B3，2 C0，2 D0，3 【解题思路】 画出可行域，确定取最小值和最大值时的点 【答案】 画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)， 结合目标函数的几何意义可得函数在点 A(0，3)处取得最小值 z033，在点 B(2，0)处取得最大值 z2 02故选 B 3已知当 x0 时，2x2mx10 恒成立，则 m 的取值范围为( ) A2 2，) B(，2 2 C(2 2，) D(，2 2) 【解题思路】 利用分离参数法分离出 m，转化为求最值问题 【答案】 由 2x2mx10，得 mx2x21， 因为 x0，所以 m2x 21 x 2x1 x 又 2x1 x? ? ? ? （2x） 1 （x） 2（2x） 1 （x）2 2 当且仅当2x1 x，即 x 2 2 时取等号， 所以 m2 2故选 C 4已知函数? ? 3 log,0, 1 ,0, 3 x x x f x x ? ? ? ? ? ? 那么不等式 f(x)1 的解集为_ 【解题思路】 分类讨论代入不同的函数解析式，进而求出 x 的范围 【答案】 当 x0 时，由 3 log1x可得 x3，当 x0 时，由? ? ? ? 1 3 x 1 可得 x0， 不等式 f(x)1 的解集为(，03，)故填(，03，) 5设x，y
