1、第第2828讲讲 概率概率 第八单元第八单元 2021 内 容 索 引 01 02 03 考点梳理整合考点梳理整合 安徽真题体验安徽真题体验 考法互动研析考法互动研析 安徽真题体验安徽真题体验 命题点1 概率的计算 1.(2016 安徽,21,12分)一袋中装有形状大小都相同的四个小球,每个小球上 各标有一个数字,分别是1,4,7,8.现规定从袋中任取一个小球,对应的数字作 为一个两位数的个位数;然后将小球放回袋中搅拌均匀,再任取一个小球, 对应的数字作为这个两位数的十位数. (1)写出按上述规定得到所有可能的两位数; (2)从这些两位数中任取一个,求其算术平方根大于4且小于7的概率. 解 (
2、1)用列表法分析所有可能的结果: 所得的两位数可能为11,14,17,18,41,44,47,48,71,74,77,78,81,84,87,88,共16 个数. (2)算术平方根大于4且小于7的共6个,分别为17,18,41,44,47,48,则所求概率 1 4 7 8 1 11 14 17 18 4 41 44 47 48 7 71 74 77 78 8 81 84 87 88 P= 6 16 = 3 8. 2.(2014 安徽,21,12分) 如图,管中放置着三根同样的绳子AA1,BB1,CC1, (1)小明从这三根绳子中随机选一根,恰好选中绳子AA1的概率是多少? (2)小明先从左端A
3、,B,C三个绳头中随机选两个打一个结,再从右端A1,B1,C1 三个绳头中随机选两个打一个结,求这三根绳子能连接成一根长绳的概率. 解 (1)共有三种等可能的情况, 则恰好选中绳子 AA1的概率是1 3. (2)画树状图如下: 所有等可能的情况有 9 种,其中这三根绳子能连接成一根长绳的情况有 6 种, 则所求概率 P=6 9 = 2 3. 命题点2 概率的应用 3.(2015 安徽,19,10分)A,B,C三人玩篮球传球游戏,游戏规则是:第一次传球 由A将球随机地传给B,C两人中的某一人,以后的每一次传球都是由上次的 传球者随机地传给其他两人中的某一人. (1)求两次传球后,球恰在B手中的概
4、率; (2)求三次传球后,球恰在A手中的概率. 解 (1)画树状图如下: 两次传球后,一共有4种等可能的情况出现, 而出现球恰在B手中的情况有1种, 所以 P(球恰在 B 手中)=1 4. (2)画树状图如下: 三次传球后,一共有8种等可能的情况出现, 而出现球恰在A手中的情况有2种, 所以 P(球恰在 A 手中)=2 8 = 1 4. 命题点3 概率与统计相结合 4.提示:见第27讲第4题. 5.(2019安徽,21,12分)为监控某条生产线上产品的质量,检测员每隔相同时 间抽取一件产品,并测量其尺寸,在一天的抽检结束后,检测员将测得的各 数据按从小到大的顺序整理成如下表格: 编号 尺寸(c
5、m) 8.72 8.88 8.92 8.93 8.94 8.96 8.97 8.98 编号 尺寸(cm) a 9.03 9.04 9.06 9.07 9.08 b 按照生产标准,产品等次规定如下: 尺寸(单位:cm) 产品等次 8.97x9.03 特等品 8.95x9.05 优等品 8.90 x9.10 合格品 x9.10 非合格品 注:在统计优等品个数时,将特等品计算在内;在统计合格品个数时,将优等 品(含特等品)计算在内. (1)已知此次抽检的合格率为80%,请判断编号为的产品是否为合格品,并 说明理由. (2)已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为9 cm. 求a的值; 将这些优等品分成两
6、组,一组尺寸大于9 cm,另一组尺寸不大于9 cm,从 这两组中各随机抽取1件进行复检,求抽到的2件产品都是特等品的概率. 解 (1)不合格.因为 15 80%=12,不合格的有 15-12=3个,给出的数据只有 两个不合格. (2)优等品有,中位数在8.98和a之间, 8.98+ 2 =9,解得 a=9.02. 大于 9 cm的有,小于 9 cm的有 ,其中特等品为.画树状图为: 共有九种等可能的情况,其中抽到 2件产品都是特等品的情况有 4种.抽 到 2件产品都是特等品的概率 P=4 9. 6.(2018 安徽,21,12分)“校园诗歌大赛”结束后,张老师和李老师将所有参赛 选手的比赛成绩
7、(得分均为整数)进行整理,并分别绘制成扇形统计图和频 数直方图,部分信息如下: 扇形统计图 频数直方图 (1)本次比赛参赛选手共有_人,扇形统计图中“69.579.5”这 一组人数占总参赛人数的百分比为_; (2)赛前规定,成绩由高到低前60%的参赛选手获奖.某参赛选手的比赛成绩 为78分,试判断他能否获奖,并说明理由; (3)成绩前四名是2名男生和2名女生,若从他们中任选2人作为获奖代表发 言,试求恰好选中1男1女的概率. 解 (1)50 30% (2)不能.由频数分布直方图可得“89.599.5”这一组人数为12 人,1250=24%,则79.589.5和89.599.5两组占参赛选手的6
8、0%,而78-1 D.打开电视机,它正在播广告 答案 B 对应练2(2020 湖北武汉)两个不透明的口袋中各有三个相同的小球,将每 个口袋中的小球分别标号为1,2,3.从这两个口袋中分别摸出一个小球,则下 列事件为随机事件的是( ) A.两个小球的标号之和等于1 B.两个小球的标号之和等于6 C.两个小球的标号之和大于1 D.两个小球的标号之和大于6 答案 B 考法2概率的计算 例2(2020 安徽合肥蜀山一模)为了考查学生的综合素质,某市决定:九年级 毕业生统一参加中考实验操作考试,根据今年的实际情况,中考实验操作考 试科目为:P(物理)、C(化学)、B(生物),每科试题各为2道,考生随机抽
9、取其 中1道进行考试,小明和小丽是某校九年级学生,需参加实验考试. (1)小明抽到化学实验的概率为_. (2)若只从考试科目考虑,小明和小丽抽到不同科目的概率为多少? 解 (1)小明抽到化学实验的概率为1 3,故答案为 1 3. (2)画树状图如下: 由树状图知,共有 9 种等可能结果,其中小明和小丽抽到不同科目的有 6 种结 果,小明和小丽抽到不同科目的概率为6 9 = 2 3. 方法总结 注意画树状图法与列表法可以不重复、不遗漏地列出所有可能 的结果,列表法适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成 的事件.注意概率等于所求情况数与总情况数之比. 对应练3(2020 江苏宿迁)将
10、4张印有“梅”“兰”“竹”“菊”字样的卡片(卡片的 形状、大小、质地都相同)放在一个不透明的盒子中,将卡片搅匀. (1)从盒子中任意取出1张卡片,恰好取出印有“兰”字的卡片的概率为 _; (2)先从盒子中任意取出1张卡片,记录后放回并搅匀,再从中任意取出1张 卡片,求取出的两张卡片中,至少有1张印有“兰”字的概率(请用画树状图或 列表等方法求解). 解 (1)从盒子中任意取出 1 张卡片,恰好取出印有“兰”字的卡片的概率为1 4. (2)画树状图如下: 由树状图知,共有 16 种等可能结果,其中至少有 1 张印有“兰”字的有 7 种结 果,至少有 1 张印有“兰”字的概率为 7 16. 对应练
11、4(2020 山东东营)东营市某中学对2020年4月份线上教学学生的作 业情况进行了一次抽样调查,根据收集的数据绘制了如图不完整的统计图 表. 作业情况 频数 频率 非常好 _ 0.22 较好 68 _ 一般 _ _ 不好 40 _ 请根据图表中提供的信息,解答下列问题: (1)本次抽样共调查了多少名学生? (2)将统计表中所缺的数据填在表中横线上; (3)若该中学有1 800名学生,估计该校学生作业情况“非常好”和“较好”的学 生一共约多少名? (4)某学习小组4名学生的作业本中,有2本“非常好”(记为A1,A2),1本“较 好”(记为B),1本“一般”(记为C),这些作业本封面无姓名,而且
12、形状、大小、 颜色等外表特征完全相同,从中抽取一本,不放回,从余下的3本中再抽取一 本,请用“列表法”或“画树状图”的方法求出两次抽到的作业本都是“非常好” 的概率. 解 (1)根据题意得40 =200(名),则本次抽样共调查了200名学生. (2)填表如下: 故答案为:44;48;0.34;0.24;0.20. (3)根据题意得,1 800(0.22+0.34)=1 008(名),则该校学生作业情况“非常 好”和“较好”的学生一共约1 008名. 作业情况 频数 频率 非常好 44 0.22 较好 68 0.34 一般 48 0.24 不好 40 0.20 72 360 (4)列表如下: 由
13、列表可以看出,一共有12种结果,且它们出现的可能性相等,其中两次抽 到的作业本都是“非常好”的有2种,则P(两次抽到的作业本都是“非常好”) A1 A2 B C A1 (A1,A2) (A1,B) (A1,C) A2 (A2,A1) (A2,B) (A2,C) B (B,A1) (B,A2) (B,C) C (C,A1) (C,A2) (C,B) = 2 12 = 1 6. 考法3用频率估计概率 例3(2020 安徽安庆宿松模拟)在课堂上,老师将除颜色外都相同的1个黑球 和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀,让全班同学依次进行摸球试 验,每次随机摸出一个球,记下颜色再放回搅匀,下表是试验得到
14、的一组数 据. 摸球的次数n 100 150 200 500 800 摸到黑球的次数m 26 37 49 124 200 摸到黑球的频率 0.26 0.247 0.245 0.248 0.25 (1)估算口袋中白球的个数; (2)用画树状图或列表的方法计算连续两名同学都摸出白球的概率. 解 (1)由表格中数据可得出,摸到黑球的频率稳定在0.25,故10.25- 1=3(个).答:口袋中白球的个数为3个. (2)画树状图得: 共有16种等可能的结果,两次都摸到白球的有9种情况,两次都摸到白 球的概率为 . 9 16 方法总结 此题既考查了模拟实验以及频率求法,又考查了树状图法与列 表法求概率.
15、对应练5(2020 江苏泰州)一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球,这些球 除颜色外都相同,某课外学习小组做摸球试验:将球搅匀后从中任意摸出1个球, 记下颜色后放回、搅匀,不断重复这个过程,获得数据如下: 摸球的次数 200 300 400 1 000 1600 2 000 摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667 摸到白球的频率 0.360 0 0.310 0 0.325 0 0.334 0 0.332 5 0.333 5 (1)该学习小组发现,摸到白球的频率在一个常数附近摆动,这个常数是 _.(精确到0.01),由此估出红球有_个. (2)现从该袋中摸出2个球,请用树
16、状图或列表的方法列出所有等可能的结果,并 求恰好摸到1个白球,1个红球的概率. 解 (1)观察表格发现,随着摸球次数的增多,摸到白球的频率逐渐稳定在 0.33附近,由此估出红球有2个. (2)画树状图为: 由图可知,共有9种等可能的结果数,其中恰好摸到1个白球、1个红球的结 果数为4,所以从该袋中摸出2个球,恰好摸到1个白球、1个红球的结果的概 率为 . 4 9 对应练6(2020 浙江台州)新冠疫情期间,某校开展线上教学,有“录播”和“直播”两 种教学方式供学生选择,每人只选择其中一种教学公式.为分析该校学生线上学 习情况,在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度,数据 整
17、理结果如表(数据分组包含左端值不包含右端值). 参与度人数方式 0.20.4 0.40.6 0.60.8 0.81 录播 4 16 12 8 直播 2 10 16 12 (1)你认为哪种教学方式学生的参与度更高?简要说明理由. (2)从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生,估计该学生的参与度在0.8 及以上的概率是多少? (3)该校共有800名学生,选择“录播”和“直播”的人数之比为13,估计参与度在 0.4以下的共有多少人? 解 (1)“直播”教学方式学生的参与度更高理由,“直播”参与度在 0.6以上的人 数为 28人,“录播”参与度在 0.6以上的人数为 20人,参与度在 0.6以上
18、的“直 播”人数远多于“录播”人数,所以“直播”教学方式学生的参与度更高. (2)12 40=0.3.答:估计该学生的参与度在 0.8及以上的概率是 0.3. (3)“录播”总学生数为 800 3 1+3=200(人),“直播”总学生数为 800 1 1+3=600(人),所以“录播”参与度在 0.4以下的学生数为 2004 40=20(人),“直播”参与度在 0.4以下的学生数为 600 2 40=30(人),所以参 与度在 0.4以下的学生共有 20+30=50(人). 考法4概率的应用 例4(2020 安徽淮北一模)某校九年级获得一个到高校体验的名额,从前期 的选拔中,小明和小刚从众多报
19、名者中脱颖而出:为公平起见,学校设计了 如下的游戏:四张大小、质地相同的卡片上分别标有数字1,2,3,4.将标有数 字的一面朝下,洗匀后从中抽取一张卡片,记下上面的数字,不放回,再从剩 余的卡片中抽取一张卡片,记下上面的数字如果两次抽取卡片上数字之和 是奇数,小明获胜;如果两次抽取卡片上数字之和是偶数,小刚获胜,获胜的 同学将代表学校参加“高校体验”活动.请问:学校设计的这个游戏是否公平? 说明理由. 解 这个游戏不公平,画树状图如下: 由树状图知,共有 12 种等可能结果,其中和为奇数的有 8 种结果,和为偶数的 有 4 种结果,小明获胜的概率为 8 12 = 2 3,小刚获胜的概率为 4
20、12 = 1 3. 2 3 1 3,此游戏不公平. 方法总结 此题考查游戏的公平性,如果一个事件有n种可能,而且这些事件 的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)= ,注意本 题是不放回实验.解决本题的关键是得到相应的概率,概率相等就公平,否 则就不公平. 对应练7(2020 云南昆明)有一个可自由转 动的转盘,被分成了三个大小相同的扇形, 分别标有数字2,4,6;另有一个不透明的瓶 子,装有分别标有数字1,3,5的三个完全相 同的小球.小杰先转动一次转盘,停止后记下指针指向的数字(若指针指在 分界线上则重转),小玉再从瓶子中随机取出一个小球,记下小球上的数字. (1)请用列表或画树状图的方法(选其中一种)表示出所有可能出现的结果; (2)若得到的两数字之和是3的倍数,则小杰贏;若得到的两数字之和是7的 倍数,则小玉赢,此游戏公平吗?为什么? 解 (1)用列表法表示所有可能出现的结果情况如下: (2)由(1)的表格可知,共有9种可能出现的结果,其中“和为3的倍数”的有3 种,“和为7的倍数”的有3种, 转盘 摸球 2 4 6 1 2+1 4+1 6+1 3 2+3 4+3 6+3 5 2+5 4+5 6+5 P(小杰胜)=3 9 = 1 3,P( 小玉胜)=3 9 = 1 3,因此游戏是公平的.
