1、数学 函数的概念及其表示 01 基础知识 自主回顾 02 学科素养 探究提升 03 高效演练 分层突破 一、知识梳理一、知识梳理 1函数的概念函数的概念 函数函数 两集合两集合 A， B A，B 是两个是两个_ 对应关系对应关系 f： AB 如果按照某种确定的对应关系如果按照某种确定的对应关系 f， 使对于集合使对于集合 A 中的中的_ 一个数一个数 x，在集合在集合 B 中都有中都有_的数的数 f(x)与之对应与之对应 名称名称 称称_为从集合为从集合 A 到集合到集合 B 的一个函数的一个函数 记法记法 yf(x)，xA 非空数集非空数集 任意任意 唯一确定唯一确定 f：AB 2.函数的有
2、关概念函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域函数的定义域、值域 在函数在函数 yf(x)，xA 中中，x 叫做自变量叫做自变量，x 的取值的取值范围范围 A 叫做函数的叫做函数的_；与；与 x 的值相对应的的值相对应的 y 值叫做函数值值叫做函数值，函数值的集合函数值的集合f(x)|xA叫做函数的叫做函数的_显显 然然，值域是集合值域是集合 B 的的_ (2)函数的三要素：函数的三要素：_、_和和_ (3)函数的表示法函数的表示法 表示函数的常用方法有：表示函数的常用方法有：_、_、_ 定义域定义域 值域值域 子集子集 定义域定义域 值域值域 对应关系对应关系 解析法解析法 图象法图象法 列
3、表法列表法 注意注意 函数图象的特征： 与函数图象的特征： 与 x 轴垂直的直线与其最多有一个公共点轴垂直的直线与其最多有一个公共点. .利用这个特征可以利用这个特征可以 判断一个图形能否作为一个函数的图象判断一个图形能否作为一个函数的图象. 3分段函数分段函数 若函数在其定义域的若函数在其定义域的_子集上子集上，因对应关系不同而分别用因对应关系不同而分别用几个几个_ 来表来表示，这种函数称为分段函数示，这种函数称为分段函数 不同不同 不同的式子不同的式子 注意注意 分段函数是一个函数分段函数是一个函数，而不是几个函数而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的分段函数的定义域是各段定义域的
4、 并集并集，值域是各段值域的并集值域是各段值域的并集 常用结论常用结论 几种常见函数的定义域几种常见函数的定义域 (1)f(x)为分式型函数时为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合定义域为使分母不为零的实数集合 (2)f(x)为偶次根式型函数时为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合定义域为使被开方式非负的实数的集合 (3)f(x)为对数式时为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为 1 的实数集合的实数集合 (4)若若 f(x)x0，则定义域为则定义域为x|x0 (5)指数函数的底数大于指数函数的底数大于 0 且不等于且
5、不等于 1. (6)正切函数正切函数 ytan x 的定义域为的定义域为 x|xk 2， ，kZ . 二、教材衍化二、教材衍化 1下列函数中下列函数中，与函数与函数 yx1 是相等函数的是是相等函数的是 ( ) Ay( x1)2 By3x31 Cyx 2 x 1 Dy x21 答案：答案：B 2函数函数 yf(x)的图象如图所示的图象如图所示，那么那么 f(x)的定义域是的定义域是_；值域是；值域是_；其；其 中只有唯一的中只有唯一的 x 值与值与之对应的之对应的 y 值的范围是值的范围是_ 答案：答案：3，02，3 1，5 1，2)(4，5 3函数函数 y x2 x2的定义域是的定义域是_
6、解析：解析： x 20， x20， x2. 答案：答案：2，) 4已知函数已知函数 f(x) x 1，x0， x2，x0， 则则 f(2)_，ff(2)_ 解析：解析：f(2)(2)24，ff(2)f(4)415. 答案：答案：4 5 一、思考辨析一、思考辨析 判断正误判断正误(正确的打正确的打“”“”，错误的打错误的打“”“”) (1)对于函数对于函数 f：AB，其值域是集合其值域是集合 B ( ) (2)函数函数 f(x)x22x 与与 g(t)t22t 是同一函数是同一函数 ( ) (3)若两个函数的定义域与值域相同若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数则这两个函数是相等函
7、数 ( ) (4)函数函数 f(x)的图象与直线的图象与直线 x1 最多有一个交点最多有一个交点 ( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的分段函数是由两个或几个函数组成的 ( ) 二、易错纠偏二、易错纠偏 常见误区常见误区 (1)对函数概念理解不透彻； 对函数概念理解不透彻； (2)对分段函数解不等式时忘记范围；对分段函数解不等式时忘记范围； (3)换元法求解析式换元法求解析式，反解忽视范围反解忽视范围 1已知集合已知集合 Px|0 x4，Qy|0y2，下列从下列从 P 到到 Q 的各对应关系的各对应关系 f 中不是中不是 函数的是函数的是_(填序号填序号) f：xy1 2x； ；f：x
8、y1 3x； ；f：xy2 3x； ；f：xy x. 解析：解析：对于对于，因为当因为当 x4 时时，y2 3 48 3 Q， ，所以所以不是函数不是函数 答案：答案： 2 设函数设函数f(x) （ （x1）2，x1， 4 x1，x1，则使得 则使得 f(x)1的自变量的自变量 x的取值范围为的取值范围为_ 解析：解析：因为因为 f(x)是分段函数是分段函数，所以所以 f(x)1 应分段求解当应分段求解当 x1 时时，f(x)1(x1)21 x2 或或 x0， 所以所以 x2 或或 0 x0， x11， 解得解得1x0 或或 00 且且 1x1， 解得解得 x1 且且 x0， 所以函数所以函数
9、 g(x)的定义域为的定义域为(0， 1)， 故选故选 B 【答案答案】 (1)B (2)B 求函数定义域的两种方法求函数定义域的两种方法 方法方法 解读解读 适合题型适合题型 直接法直接法 构造使解析式有意义的不等式构造使解析式有意义的不等式(组组)求解求解 已知函数的具体表达已知函数的具体表达 式式，求求 f(x)的定义域的定义域 转移法转移法 若若 yf(x)的定义域为的定义域为(a，b)，则解不等式则解不等式 ag(x)0， ， m24m0， 解得解得 00， 2xx20， 解得解得 1x0， 所以所以 x1) (2)(待定系数法待定系数法)设设 f(x)ax2bxc(a0)， 又又
10、f(0)c3. 所以所以 f(x)ax2bx3， 所以所以 f(x2)f(x)a(x2)2b(x2)3(ax2bx3)4ax4a2b4x2. 所以所以 4a 4， 4a2b2， 所以所以 a 1， b1， 所以所求函数的解析式为所以所求函数的解析式为 f(x)x2x3. (3)(解方程组法解方程组法)因为因为 2f(x)f(x)2x， 将将 x 换成换成x 得得 2f(x)f(x)2x， 由由消去消去 f(x)，得得 3f(x)6x， 所以所以 f(x)2x. 【答案答案】 (1)f(x)lg 2 x1(x 1) (2)f(x)x2x3 (3)f(x)2x 求函数解析式的求函数解析式的 4 种
11、方法种方法 1(一题多解一题多解)已知二次函数已知二次函数 f(2x1)4x26x5，则则 f(x)_ 解析：解析：法一法一(换元法换元法)：令：令 2x1t(tR)， 则则 xt 1 2 ， 所以所以 f(t)4 t1 2 2 6 t1 2 5t25t9(tR)， 所以所以 f(x)x25x9(xR) 法二法二(配凑法配凑法)： 因为： 因为 f(2x1)4x26x5(2x1)210 x4(2x1)25(2x1)9， 所以所以 f(x)x25x9(xR) 法三法三(待定系数法待定系数法)：因为：因为 f(x)是二次函数是二次函数，所以设所以设 f(x)ax2bxc(a0)，则则 f(2x1)
12、 a(2x1)2b(2x1)c4ax2(4a2b)xabc. 因为因为 f(2x1)4x26x5， 所以所以 4a4， 4a2b6， abc5， 解得解得 a1， b5， c9， 所以所以 f(x)x25x9(xR) 答案：答案：x25x9(xR) 2定义在定义在 R 上的函数上的函数 f(x)满足满足 f(x1)2f(x)若当若当 0 x1 时时，f(x)x(1x)，则当则当 1x0 时时，f(x)_ 解析：解析：因为因为1x0，所以所以 0 x11，所以所以 f(x)1 2f(x 1)1 2(x 1)1(x1) 1 2x(x 1)故当故当1x0 时时，f(x)1 2x(x 1) 答案：答案
13、：1 2x(x 1) 考点三考点三 分段函数分段函数(基础型基础型) 复习复习 指导指导 通过具体实例 通过具体实例，了解简单的分段函数了解简单的分段函数，并能简单应用并能简单应用 核心素养：核心素养：数学抽象、数学运算数学抽象、数学运算 角度一角度一 求分段函数的函数值求分段函数的函数值 (1)(2020 合肥一检合肥一检)已知函数已知函数 f(x) x 1 x2， ，x2， x22，x2， 则则 f(f(1) ( ) A1 2 B2 C4 D11 (2)(2020 山西太原三中模拟山西太原三中模拟)设函数设函数 f(x) x2 1（x2）， log2x（0x2），若 若 f(m)3，则则
14、f 5 2 m _ 【解析解析】 (1)因为因为 f(1)1223，所以所以 f(f(1)f(3)3 1 32 4.故选故选 C (2)当当 m2 时时，m213，所以所以 m2 或或 m2(舍舍)； 当当 0m2 时时，log2m3，所以所以 m8(舍舍) 所以所以 m2.所以所以 f 5 2 m f 1 2 log21 2 1. 【答案答案】 (1)C (2)1 分段函数的求值问题的解题思路分段函数的求值问题的解题思路 (1)求函数值：求函数值：先确定要求值的自变量属于哪先确定要求值的自变量属于哪一段区间一段区间，然后代入该段的解析式求值然后代入该段的解析式求值， 当出现当出现 f(f(a
15、)的形式时的形式时，应从内到外依次求值应从内到外依次求值 (2)求自变量的值：求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变然后求出相应自变 量的值量的值，切记要代入检验切记要代入检验 角度二角度二 分段函数与方程、不等式问题分段函数与方程、不等式问题 (1)(一题多解一题多解)设设 f(x) x，0x0 ，则满足则满足 f(x1)f(2x)的的 x 的取值范围是的取值范围是 ( ) A(，1 B(0，) C(1，0) D(，0) 【解析解析】 (1)法一：法一：当当 0a1 时时，a11， 所以所以 f(a) a，f(a1)2
16、(a11)2a. 由由 f(a)f(a1)得得 a2a， 所以所以 a1 4. 此时此时 f 1 a f(4)2(41)6. 当当 a1 时时，a11， 所以所以 f(a)2(a1)，f(a1)2(a11)2a. 由由 f(a)f(a1)得得 2(a1)2a，无解无解 综上综上，f 1 a 6，故选故选 C 法二：法二：因为当因为当 0 x1 时时，f(x) x，为增函数为增函数， 当当 x1 时时，f(x)2(x1)，为增函数为增函数， 又又 f(a)f(a1)，所以所以 a2(a11)， 所以所以 a1 4. 所以所以 f 1 a f(4)6. (2)法一：法一：当当 x 10， 2x0，
17、 即即 x1 时时，f(x1)f(2x)即为即为 2 (x1) 2 2x， ，即即(x1) 2x，解得解得 x1. 因此不等式的解集为因此不等式的解集为(，1 当当 x 10， 2x0 时时，不等式组无解不等式组无解 当当 x 10， 2x0， 即即1x0 时时， f(x1)f(2x)即即 12 2x， ， 解得解得 x0.因此不等式的解因此不等式的解 集为集为(1，0) 当当 x 10， 2x0， 即即 x0 时时，f(x1)1，f(2x)1，不合题意不合题意 综上综上，不等式不等式 f(x1)f(2x)的解集为的解集为(，0)故选故选 D 法二：法二：因为因为 f(x) 2 x， ，x0，
18、 1，x0， 所以函数所以函数 f(x)的图象如图所示的图象如图所示 由图可知由图可知，当当x10 且且2x0 时时，函数函数f(x)为减函数为减函数，故故f(x1)f(2x)转化为转化为x12x. 此时此时 x1. 当当 2x0 且且 x10 时时，f(2x)1，f(x1)1， 满足满足 f(x1)f(2x) 此时此时1x0. 综上综上，不等式不等式 f(x1)f(2x)的解集为的解集为(，1(1，0)(，0) 故选故选 D 【答案答案】 (1)C (2)D 有关分段函数不等式问题有关分段函数不等式问题，要按照分段函数的要按照分段函数的“分段分段”进行分类讨论进行分类讨论，从而将问题转从而将
19、问题转 化为简单的不等式组来化为简单的不等式组来解解 1已知函数已知函数 f(x) x2 x，x0， 3x，x0，则实数则实数 a 的取值范围为的取值范围为 ( ) A(1，) B(2，) C(，1)(1，) D(，2)(2，) 解析：解析：选选 D当当 a0 时时，不等式不等式 af(a)f(a)0 可化为可化为 a2a3a0，解得解得 a2.当当 a0 可化为可化为a22a0，解得解得 a2.综上所述综上所述，a 的取值的取值 范围为范围为(，2)(2，) 2(2020 安徽安庆二模安徽安庆二模)已知函数已知函数 f(x) x1，1x0. 当当 0a1 时时，由由 f(a)f(a1)，即即
20、 2a a. 解得解得 a1 4， ，则则 f 1 a f(4)8， 当当 a1 时时，由由 f(a)f(a1)，得得 2a2(a1)，无解无解 答案：答案：8 考点四考点四 函数的新定义问题函数的新定义问题(创新型创新型) 复习指导复习指导 所谓 所谓“新定义新定义”函数函数，是相对于高中教材而言是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现指在高中教材中不曾出现 或尚未介绍的一类函数函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概或尚未介绍的一类函数函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概 念、 新的运算法则念、 新的运算法则， 或者给出一个抽象函数的性质等或者给出一个抽象函
21、数的性质等， 然后让学生按照这种然后让学生按照这种“新定义新定义” 去解决相关的问题去解决相关的问题 (2020 广东深圳广东深圳 3 月模拟月模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点 称为整点，若函数称为整点，若函数 f(x)的图象恰好经过的图象恰好经过 n(nN*)个整点个整点，则称函数则称函数 f(x)为为 n 阶整点函阶整点函 数给出下列函数：数给出下列函数： f(x)sin 2x；g(x)x3； h(x) 1 3 x； ；(x)ln x. 其中是一阶整点函数的是其中是一阶整点函数的是 ( ) A B C D 【解析解析】 对于
22、函数对于函数 f(x)sin 2x，它的图象它的图象(图略图略)只经过一个整点只经过一个整点(0，0)，所以它是一所以它是一 阶整点函数阶整点函数，排除排除 D； 对于函数对于函数 g(x)x3，它的图象它的图象(图略图略)经过整点经过整点(0，0)，(1，1)，所以它不是一阶整所以它不是一阶整 点函数点函数，排除排除 A； 对于函数对于函数 h(x) 1 3 x， ，它的图象它的图象(图略图略)经过整点经过整点(0，1)，(1，3)，所以它不是一阶所以它不是一阶 整点函数整点函数，排除排除 B故选故选 C 【答案答案】 C 本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养破
23、解新本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养破解新 定义函数题的关键是： 紧扣新定义的函数的含义定义函数题的关键是： 紧扣新定义的函数的含义， 学会语言的学会语言的翻译、 新旧知识的转化翻译、 新旧知识的转化， 便可使问题顺利获解便可使问题顺利获解如本例如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数若能把新定义的一阶整点函数转化为函数 f(x)的的图象图象 恰好经过恰好经过 1 个整点个整点，问题便迎刃而解问题便迎刃而解 1若一系列函数的解析式相同若一系列函数的解析式相同，值域相同值域相同，但定义域不同但定义域不同，则称这些函数为则称这些函数为“同族函同族函 数数”，则
24、函数解析式为则函数解析式为 yx21，值域为值域为1，3的同族函数有的同族函数有 ( ) A1 个个 B2 个个 C3 个个 D4 个个 解析：解析：选选 C由由 x211 得得 x0，由由 x213 得得 x 2，所以函数的定义域可以所以函数的定义域可以 是是0, 2，0， 2，0， 2， 2，故值域为故值域为1，3的同族函数共有的同族函数共有 3 个个 2若函数若函数 f(x)同时满足下列两个条件同时满足下列两个条件，则称该则称该函数为函数为“优美函数优美函数” ： (1)xR，都有都有 f(x)f(x)0； (2)x1，x2R，且且 x1x2，都有都有f（ （x1）f（x2） x1x2
25、0. f(x)sin x；f(x)2x3；f(x)1x； 以上三个函数中以上三个函数中，_是是“优美函数优美函数” 解析：解析： 由条件由条件(1)， 得得 f(x)是是 R 上的奇函数上的奇函数， 由条件由条件(2)， 得得 f(x)是是 R 上的单调递减函数 对上的单调递减函数 对 于于，f(x)sin x 在在 R 上不单上不单调调，故不是故不是“优美函数优美函数”；对于；对于，f(x)2x3既是奇既是奇 函数函数，又在又在 R 上单调递减上单调递减，故是故是“优美函数优美函数”；对于；对于，f(x)1x 不是奇函数不是奇函数，故故 不是不是“优美函数优美函数” 答案：答案： 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
