1、数学 函数的奇偶性 01 基础知识 自主回顾 02 学科素养 探究提升 03 高效演练 分层突破 一、知识梳理一、知识梳理 1函数的奇偶性函数的奇偶性 奇偶性奇偶性 定义定义 图象特点图象特点 偶函数偶函数 如果对于函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个的定义域内任意一个 x， 都都 有有_，那么函数那么函数 f(x)是偶函数是偶函数 关于关于_对称对称 奇函数奇函数 如果对于函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个的定义域内任意一个 x， 都都 有有_，那么函数那么函数 f(x)是奇函数是奇函数 关于关于_对称对称 f(x)f(x) y 轴轴 f(x)f(x) 原点原点 注意注意
2、奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称，函数的定义域关于原点对称是函函数的定义域关于原点对称是函 数具有奇偶性的必要不充分条件数具有奇偶性的必要不充分条件 2函数的周期性函数的周期性 (1)周期函数：周期函数：对于函数对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数如果存在一个非零常数 T，使得当使得当 x 取定义域内的任取定义域内的任 何值时何值时，都有都有_，那么就称函数那么就称函数 yf(x)为周期函数为周期函数，称称 T 为这个函数的为这个函数的 周期周期 (2)最小正周期：最小正周期：如果在周期函数如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个的所有周期中存
3、在一个_的正数的正数，那么那么 这个这个_正数就叫做正数就叫做 f(x)的最小正周期的最小正周期 f(xT)f(x) 最小最小 最小最小 注意注意 不是所有的周期函数都有最小正周期不是所有的周期函数都有最小正周期，如如 f(x)5. 常用结论常用结论 1函数奇偶性常用结论函数奇偶性常用结论 (1)如果函数如果函数 f(x)是偶函数是偶函数，那么那么 f(x)f(|x|) (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相偶函数在两个对称的区间上具有相 反的单调性反的单调性 (3)在公共定义域内有： 奇在公共定义域内有： 奇 奇
4、奇奇奇， 偶偶 偶偶偶偶， 奇奇奇偶奇偶， 偶偶偶偶偶偶， 奇奇偶奇偶奇 2函数周期性常用结论函数周期性常用结论 对对 f(x)定义域内任一自变量的值定义域内任一自变量的值 x： (1)若若 f(xa)f(x)，则则 T2a(a0) (2)若若 f(xa) 1 f（x）， ，则则 T2a(a0) (3)若若 f(xa) 1 f（x）， ，则则 T2a(a0) 二、教材衍化二、教材衍化 1下列函数中为偶函数的是下列函数中为偶函数的是 ( ) Ayx2sin x Byx2cos x Cy|ln x| Dy2 x 解析：解析：选选 B根据偶函数的定义知偶函数满足根据偶函数的定义知偶函数满足 f(x)
5、f(x)且定义域关于原点对称且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数选项为奇函数，B 选项为偶函数选项为偶函数，C 选项定义域为选项定义域为(0，)，不具有奇偶性不具有奇偶性，D 选项选项 既不是奇函数既不是奇函数，也不是偶函数故选也不是偶函数故选 B 2设设 f(x)是定义在是定义在 R 上的周期为上的周期为 2 的函数的函数，当当 x1，1)时时，f(x) 4x22，1x0， x，0 x1， 则则 f 3 2 _ 解析：解析：由题意得由题意得，f 3 2 f 1 2 4 1 2 2 21. 答案：答案：1 一、思考辨析一、思考辨析 判断正误判断正误(正确的打正确的打“”“”，错误的打错误的打
6、“”“”) (1)若若 f(x)是定义在是定义在 R 上的奇函数上的奇函数，则则 f(x)f(x)0. ( ) (2)偶函数的图象不一定过原点偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点奇函数的图象一定过原点 ( ) (3)如果函数如果函数 f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数为定义域相同的偶函数，则则 F(x)f(x)g(x)是偶函数是偶函数 ( ) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件 ( ) (5)若若 T 是函数的一个周期是函数的一个周期，则则 nT(nZ，n0)也是函数的周期也是函数的周期 ( ) 二、易错纠偏二
7、、易错纠偏 常见常见 误区误区 (1)利用奇偶性求解析式忽视定义域； 利用奇偶性求解析式忽视定义域； (2)周期不能正确求出从而结果求错周期不能正确求出从而结果求错 1已知函数已知函数 f(x)是定义在是定义在 R 上的奇函数上的奇函数，当当 x0 时时，f(x)x(1x)，则则 x0 时时，f(x) _ 解析：解析：当当 x0 时时，则则x0，所以所以 f(x)(x)(1x)又又 f(x)为奇函数为奇函数，所以所以 f(x) f(x)(x)(1x)，所以所以 f(x)x(1x) 答案：答案：x(1x) 2 已知函数已知函数 f(x)满足满足 f(x2) 1 f（x）.当 当 1x3 时时，
8、f(x)x， 则则 f(105)_ 解析：解析： 因为因为 f(x2) 1 f（x）， ， 所以所以 f(x4)f(x)， 故故 4 为函数为函数 f(x)的一个周期的一个周期 f(105) f(4261)f(1)1. 答案：答案：1 考点一考点一 函数的奇偶性函数的奇偶性(基础型基础型) 复习复习 指导指导 结合具体函数了解奇偶性的含义 结合具体函数了解奇偶性的含义，并运用函数图象理解和研究函数的性质并运用函数图象理解和研究函数的性质 核心素养：核心素养：数学抽象、直观想象数学抽象、直观想象 角度一角度一 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性 (1)f(
9、x)x31 x； ； (2)f(x) x21 1x2； (3)f(x) x 2 2，x0， 0，x0， x22，x0. 【解】【解】 (1)原函数的定义域为原函数的定义域为x|x0，关于原点对称关于原点对称， 并且对于定义域内的任意一个并且对于定义域内的任意一个 x 都有都有 f(x)(x)3 1 x x31 x f(x)， 从而函数从而函数 f(x)为奇函数为奇函数 (2)f(x)的定义域为的定义域为1，1，关于原点对称关于原点对称 又又 f(1)f(1)0，f(1)f(1)0， 所以所以 f(x)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数 (3)f(x)的定义域为的定义域为 R，关于原点对称
10、关于原点对称， 当当 x0 时时，f(x)(x)22(x22)f(x)； 当当 x0 时时，f(x)(x)22(x22)f(x)； 当当 x0 时时，f(0)0，也满足也满足 f(x)f(x) 故该函数为奇函数故该函数为奇函数 判定函数奇偶性的判定函数奇偶性的 3 种常用方法种常用方法 (1)定义法定义法 (2)图象法图象法 (3)性质法性质法 设设 f(x)，g(x)的定义域分别是的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇那么在它们的公共定义域上：奇奇奇奇， 奇奇奇偶奇偶，偶偶偶偶偶偶，偶偶偶偶偶偶，奇奇偶奇；偶奇； 复合函数的奇偶性可概括为复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇
11、同奇则奇，一偶则偶一偶则偶” ” 提醒提醒 对函数奇偶性的判断对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法不能用特殊值法，如存在如存在 x0使使 f(x0)f(x0)，不能不能 判断函数判断函数 f(x)是奇函数是奇函数 角度二角度二 函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用 (2019 高考全国卷高考全国卷)设设 f(x)为奇函数为奇函数， 且当且当 x0 时时， f(x)ex1， 则当则当 x0 时时， f(x) ( ) Ae x 1 Be x 1 Ce x 1 De x 1 【解析解析】 通解：通解： 依题意得依题意得， 当当 x0 时时，f(x)x2x，则当则当 x0 时时，函数函数 f(x) 的最的最
12、大值为大值为_ 解析：解析：法一：法一：当当 x0，所以所以 f(x)x2x. 又因为函数又因为函数 f(x)为奇函数为奇函数， 所以所以 f(x)f(x)x2x x1 2 2 1 4， ， 所以当所以当 x0 时时，f(x)x2x x1 2 2 1 4， ，最小值为最小值为1 4， ， 因为函数因为函数 f(x)为奇函数为奇函数，所以当所以当 x0 时时，函数函数 f(x)的最大值为的最大值为1 4. 答案：答案：1 4 考点二考点二 函数的周期性函数的周期性(基础型基础型) 复习复习 指导指导 结合具体函数了解函数的周期性 结合具体函数了解函数的周期性 核心素养：核心素养：数学抽象数学抽象
13、 (1)(2020 广东六校第一次联考广东六校第一次联考)在在 R 上函数上函数 f(x)满足满足 f(x1)f(x1)，且且 f(x) x a，1x0 |2x|，0 x1，其中 其中 aR，若若 f(5)f(4.5)，则则 a ( ) A0.5 B1.5 C2.5 D3.5 (2)已知已知 f(x)是是 R 上最小正周期为上最小正周期为 2 的周期函数的周期函数，且当且当 0 x2 时时，f(x)x3x，则函数则函数 yf(x)的图象在区间的图象在区间0，4上与上与 x 轴的交点的个数为轴的交点的个数为 ( ) A2 B3 C4 D5 【解析解析】 (1)由由 f(x1)f(x1)，得得 f
14、(x)是周期为是周期为 2 的函数的函数，又又 f(5)f(4.5)，所以所以 f(1)f(0.5)，即即1a1.5，所以所以 a2.5.故选故选 C (2)当当 0 x2 时时，令令 f(x)x3xx(x21)0，所以所以 yf(x)的图象与的图象与 x 轴交点的横坐轴交点的横坐 标分别为标分别为 x10，x21. 当当 2x4 时时，0 x22，又又 f(x)的最小正周期为的最小正周期为 2，所以所以 f(x2)f(x)，所以所以 f(x) (x2)(x1)(x3)，所以当所以当 2x4 时时，yf(x)的图象与的图象与 x 轴交点的横坐标轴交点的横坐标分别为分别为 x3 2，x43.又又
15、 f(4)f(2)f(0)0，综上可综上可知知，共有共有 5 个交点个交点 【答案答案】 (1)C (2)D 函数周期性的判定与应用函数周期性的判定与应用 (1)判断函数的周期性只需证明判断函数的周期性只需证明 f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数便可证明函数是周期函数，且周期且周期 为为 T，函数的周期函数的周期性常与函数的其他性质综合命题性常与函数的其他性质综合命题 (2)根据函数的周期性根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题在解决具体问题 时时，要注意结论：若要注意结论：若 T 是函数的周期是函数的周期，
16、则则 kT(kZ 且且 k0)也是函数的周期也是函数的周期 已知定义在已知定义在 R 上的函数满足上的函数满足 f(x2) 1 f（x）， ，当当 x(0，2时时，f(x) 2x1.则则 f(17)_，f(20)_ 解析：解析： 因为因为 f(x2) 1 f（x）， ， 所以所以 f(x4) 1 f（x2） f(x)， 所以函数所以函数 yf(x)的周期的周期 T4. f(17)f(441)f(1)1. f(20)f(444)f(4)f(22) 1 f（2） 1 221 1 3. 答案：答案：1 1 3 考点三考点三 函数性质的综合问题函数性质的综合问题(综合型综合型) 复习复习 指导指导 解
17、决函数综合问题 解决函数综合问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性再利用奇偶性 和单调性求解和单调性求解 角度一角度一 单调性与奇偶性的综合问题单调性与奇偶性的综合问题 已知定义域为已知定义域为(1，1)的奇函数的奇函数 f(x)是减函数是减函数，且，且 f(a3)f(9a2)0，则实数则实数 a 的取值范围是的取值范围是 ( ) A(2 2，3) B(3， 10) C(2 2，4) D(2，3) 【解析解析】 由由 f(a3)f(9a2)0得得 f(a3)f(9a2) 又由奇函数性质得 又由奇函数性质得 f(a3)f(a2 9)因为因为
18、f(x)是是定义域为定义域为(1，1)的减函数的减函数，所以所以 1a31， 1a29a29， 解得解得 2 2af(x2)或或 f(x1)f(x2)的形式的形式，再根据函数的奇偶性与单调性再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式列出不等式(组组)，要注意函数定义要注意函数定义 域对参数的影响域对参数的影响 角度二角度二 周期性与奇偶性的综合问题周期性与奇偶性的综合问题 (一题多解一题多解)(2020 武昌区调研考试武昌区调研考试)已知已知 f(x)是定义域为是定义域为 R 的奇函数的奇函数，且函数且函数 y f(x1)为偶函数为偶函数，当当 0 x1 时时，f(x)x3，则则 f 5 2 _
19、【解析】【解析】 法一：法一：因为因为 f(x)是是 R 上的奇函数上的奇函数，yf(x1)为偶函数为偶函数，所以所以 f(x1)f(x 1)f(x1)， 所以所以 f(x2)f(x)， f(x4)f(x)， 即即 f(x)的周期的周期 T4， 因为因为 0 x1 时时，f(x)x3，所以所以 f 5 2 f 5 2 4 f 3 2 f 3 2 f 11 2 f 1 2 f 1 2 1 8. 法二：法二：因为因为 f(x)是是 R 上的奇函数上的奇函数，yf(x1)为偶函数为偶函数，所以所以 f(x1)f(x1)f(x 1)，所以所以 f(x2)f(x)，由题意知由题意知，当当1x0 时时，f
20、(x)x3，故当故当1x1 时时， f(x)x3，当当 1x3 时时，1x21，f(x)(x2)3，所以所以 f 5 2 5 2 2 3 1 8. 【答案答案】 1 8 【迁移探究迁移探究】 (变变条件条件)本例变为：已知本例变为：已知 f(x)是定义域为是定义域为 R 的偶函数的偶函数，且函数且函数 yf(x 1)为奇函数为奇函数，当当 0 x1 时时，f(x)x2，则则 f 5 2 _ 解析：解析：因为因为 f(x)是是 R 上的偶函数上的偶函数，yf(x1)为奇函数为奇函数， 所以所以 f(x1)f(x1)f(x1)， 所以所以 f(x2)f(x)，f(x4)f(x)，即即 f(x)的周
21、期的周期 T4，因为因为 0 x1 时时，f(x)x2， 所以所以 f 5 2 f 5 2 4 f 3 2 f 3 2 f 11 2 f 1 2 1 4. 答案：答案：1 4 周期性与奇偶性结合周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换常利用奇偶性及周期性进行转换， 将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解 角度三角度三 单调性、奇偶性与周期性的综合问题单调性、奇偶性与周期性的综合问题 (1)(2020 石家庄市模拟石家庄市模拟(一一)已知已知 f(x)是定义在是定义在 R 上的奇函
22、数上的奇函数，且满足且满足 f(x)f(2 x)，当当 x0，1时时，f(x)4x1，则在则在(1，3)上上，f(x)1 的解集是的解集是 ( ) A 1，3 2 B 3 2， ，5 2 C 3 2， ，3 D2，3) (2)(2020 陕西榆林一中模拟陕西榆林一中模拟)已知偶函数已知偶函数 f(x)满足满足 f(x)f(2x)0，现给出下列命题：现给出下列命题： 函数函数 f(x)是以是以 2 为周期的周期函数；为周期的周期函数； 函数函数 f(x)是以是以 4 为周期为周期的周期函数；的周期函数； 函数函数 f(x 1)为奇函数；为奇函数；函数函数 f(x3)为偶函数为偶函数，其中真命题的
23、个数是其中真命题的个数是 ( ) A1 B2 C3 D4 【解析解析】 (1)因为因为 0 x1 时时，f(x)4x1，所以所以 f(x)在区间在区间0，1上是增函数上是增函数，又函又函 数数 f(x)是奇函数是奇函数，所以函数所以函数 f(x)在区间在区间1，1上是增函数上是增函数，因为因为 f(x)f(2x)，所以所以 函数函数 f(x)的图象的图象关于直线关于直线 x1 对称对称，所以函数所以函数 f(x)在区间在区间(1，3)上是减函数上是减函数，又又 f 1 2 1，所以所以 f 3 2 1，所以在区间所以在区间(1，3)上不等式上不等式 f(x)1 的解集为的解集为 3 2， ，3
24、 ，故选故选 C (2)偶函数偶函数 f(x)满足满足 f(x)f(2x)0， 所以所以 f(x)f(x)f(2x)，f(x2)f(x)， f(x4)f(x2)f(x)，可得可得 f(x)的最小正周期为的最小正周期为 4，故故错误错误，正确；正确； 由由 f(x2)f(x)，可得可得 f(x1)f(x1) 又又 f(x1)f(x1)，所以所以 f(x1)f(x1)，故故 f(x1)为奇函数为奇函数，正确；正确； 若若 f(x3)为偶函数为偶函数，则则 f(x3)f(x3)， 又又 f(x3)f(x3)， 所以所以 f(x3)f(x3)，即即 f(x6)f(x)，可得可得 6 为为 f(x)的周
25、期的周期，这与这与 4 为最小正周期为最小正周期 矛盾矛盾，故故错误错误，故选故选 B 【答案答案】 (1)C (2)B 函数的奇偶性、对称性、周期性函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一特别注意知二断一特别注意“奇函数若在奇函数若在 x0 处有定义处有定义， 则一定有则一定有 f(0)0；偶函数一定有；偶函数一定有 f(|x|)f(x)”在解题中的应用在解题中的应用 函数函数 f(x)是定义在是定义在 R 上的偶函数上的偶函数，且且 f(x)f(2x)若若 f(x)在区间在区间1， 2上是减函数上是减函数，则则 f(x) ( ) A在区间在区间2，1上是增函数上是增函数，在区间在区间3，4上是增函数上是增函数 B在区间在区间2，1上是增函数上是增函数，在区间在区间3，4上是减函数上是减函数 C在区间在区间2，1上是减函数上是减函数，在区间在区间3，4上是增函数上是增函数 D在区间在区间2，1上是减函数上是减函数，在区间在区间3，4上是减函数上是减函数 解析：解析：选选 B由由 f(x)f(2x)得得 f(x)的图象关于直线的图象关于直线 x1 对称又对称又 f(x)是偶函数是偶函数，故故 函数函数 f(x)的周期是的周期是 2，f(x)在区间在区间2，1上是增函数上是增函数，在区间在区间3，4上是减函数上是减函数 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
