1、数学 三角函数的图象与性质(一) 01 基础知识 自主回顾 02 学科素养 探究提升 03 高效演练 分层突破 一、知识梳理一、知识梳理 1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数正弦函数 ysin x，x0，2的图象中的图象中，五个关键点是：五个关键点是：(0，0)， 2， ，1 ，(，0)， _，(2，0) (2)余弦函数余弦函数 ycos x， x0， 2的图象中的图象中， 五个关键点是：五个关键点是： (0， 1)， 2， ，0 ， _， 3 2 ，0 ，(2，1) 3 2， ，1 (，1) 2正弦、余弦、正切函数的图象与性质正弦、余弦、正切
2、函数的图象与性质 函数函数 ysin x ycos x ytan x 图象图象 定义域定义域 R R x|xk 2， ，kZ 值域值域 1，1 1，1 R 函数函数 的最的最 值值 最 大 值最 大 值 1 ， 当 且 仅 当当 且 仅 当 _；最；最 小 值 小 值 1 ， 当 且 仅 当当 且 仅 当 _ 最 大 值最 大 值 1 ， 当 且 仅 当当 且 仅 当 _； 最小值最小值1，当且仅当当且仅当 _ 无最大值和最无最大值和最 小值小值 单调单调 性性 增区间增区间_ _； 减区间减区间_ _ 增区间增区间_ _； 减区间减区间_ _ 增区间增区间_ _ x2k 2， ，kZ x2k
3、 2， ，kZ x2k，kZ x2k，kZ k2 2， ，k2 k2 2， ，k2 3 2 (kZ) k2，k2 (kZ) k 2，k2 (kZ) (k 2， ， k 2)(k Z) 2(k Z) 奇偶性奇偶性 奇函数奇函数 偶函数偶函数 奇函数奇函数 周期性周期性 周期为周期为 2k，k0，k Z， 最小正周期为最小正周期为_ 周期为周期为 2k，k0，k Z，最小正周期为最小正周期为 _ 周期为周期为 k， k0， kZ，最小正周最小正周 期为期为_ 对对 称称 性性 对称对称 中心中心 _ _ _ 对称对称 轴轴 _ _ 无对称轴无对称轴 零点零点 k，kZ k 2， ，kZ k，kZ
4、2 2 (k，0)，kZ k 2， ，0 ，kZ k 2 ，0 ，kZ xk 2， ，kZ xk，kZ 3.周期函数的定义周期函数的定义 对于函数对于函数 f(x)，如果存在一个如果存在一个_，使得当使得当 x 取定义域内的每一个值时取定义域内的每一个值时，都都 有有_，那么函数那么函数 f(x)就叫做周期函数就叫做周期函数，非零常数非零常数_叫做这个函叫做这个函 数的周期； 函数数的周期； 函数yAsin(x)和和yAcos(x)的周期均为的周期均为T 2 |； 函数 ； 函数yAtan(x )的周期为的周期为 T |. 非零常数非零常数 T f(xT)f(x) T 常用结论常用结论 1函数
5、函数 ysin x 与与 ycos x 的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线轴的直线，如如 ycos x 的对称轴为的对称轴为 xk(kZ)，而不是而不是 x2k(kZ) 2对于对于 ytan x 不能认为其在定义域上为增函数不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间而是在每个区间 k 2， ，k 2 (kZ)内为增函数内为增函数 二、教材衍化二、教材衍化 1若函数若函数 y2sin 2x1 的最小正周期为的最小正周期为 T，最大值为最大值为 A，则则 ( ) AT，A1 BT2，A1 CT，A2 DT2，A2 答案：
6、答案：A 2函数函数 ytan 2x 的定义域是的定义域是 ( ) A x x kx 4， ，kZ B x x k 2 8， ，kZ C x x k 8， ，kZ D x x k 2 4， ，kZ 答案：答案：D 3函数函数 y32cos x 4 的最大值为的最大值为_，此时此时 x_ 答案：答案：5 3 4 2k(kZ) 一、思考辨析一、思考辨析 判断正误判断正误(正确的打正确的打“”“”，错误的打错误的打“”“”) (1)ycos x 在第一、二象限内是减函数在第一、二象限内是减函数 ( ) (2)若若 yksin x1，xR，则则 y 的最大值是的最大值是 k1. ( ) (3)若非零实
7、数若非零实数 T 是函数是函数 f(x)的周期的周期，则则 kT(k 是非零整数是非零整数)也是函数也是函数 f(x)的周期的周期 ( ) (4)函数函数 ysin x 图象的对称轴方程为图象的对称轴方程为 x2k 2(k Z) ( ) (5)函数函数 ytan x 在整个定义域上是增函数在整个定义域上是增函数 ( ) 二、易错纠偏二、易错纠偏 常见误区常见误区 (1)忽视 忽视 yAsin x(或或 yAcos x)中中 A 对函数单调性的影响；对函数单调性的影响； (2)忽视正、余弦函数的有界性；忽视正、余弦函数的有界性； (3)不注意正切函数的定义域不注意正切函数的定义域 1函数函数 y
8、12cos x 的单调递减区间是的单调递减区间是_ 答案：答案：2k，2k(kZ) 2函数函数 f(x)sin2x 3cos x3 4 x 0， 2 的最大值是的最大值是_ 解析：解析： f(x)sin2x 3cos x3 4 1cos2x 3cos x3 4 cos x 3 2 2 1， cos x0， 1，当当 cos x 3 2 时时，f(x)取得最大值取得最大值 1. 答案：答案：1 3函数函数 ycos xtan x 的值域是的值域是_ 解析：解析：ycos xtan xsin x 又又 cos x0， 所以所以 sin x1， 所以所以 ysin x(1，1) 答案：答案：(1，1
9、) 考点一考点一 三角函数的定义域三角函数的定义域(基础型基础型) 复习复习 指导指导 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组组)，常借助三角函数线或常借助三角函数线或 三角函数图象三角函数图象来求解来求解 1函数函数 f(x)2tan 2x 6 的定义域是的定义域是 ( ) A x x 6 B x x 12 C x x k 6 （kZ） D x x k 2 6 （kZ） 解析：解析：选选 D由由 2x 6 k 2， ，得得 xk 2 6(k Z) 2函数函数 ylg sin xcos x 1 2的定义域为 的定义域为_ 解析：解析：要使
10、函数有意义要使函数有意义，则有则有 sin x0， cos x1 2 0， 即即 sin x0， cos x1 2， ， 解得解得 2kx2k， 3 2kx 3 2k(k Z)， 所以所以 2kx 3 2k，kZ.所以函数所以函数 y 的定义域为的定义域为 x 2kx 3 2k，kZ . 答案：答案： x 2kx 3 2k，kZ 3(一题多解一题多解)函数函数 y sin xcos x的定义域为的定义域为_ 解析：解析：法一：法一：要使函数有意义要使函数有意义，必须使必须使 sin xcos x0.利用图象利用图象，在同一坐标系中画在同一坐标系中画 出出0，2上上 ysin x 和和 ycos
11、 x 的图象的图象，如图所示如图所示 在在0，2内内，满足满足 sin xcos x 的的 x 为为 4， ，5 4 ，再结合正弦、余弦函数的周期是再结合正弦、余弦函数的周期是 2， 所以原函数的定义域为所以原函数的定义域为x|2k 4 x2k5 4 ，kZ 法二：法二：利用三角函数线利用三角函数线，画出满足条件的终边范围画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示如图阴影部分所示) 所以定义域为所以定义域为x|2k 4 x2k5 4 ，kZ 法三：法三：sin xcos x 2sin(x 4) 0， 将将 x 4视为一个整体 视为一个整体，由正弦函数由正弦函数 ysin x 的图象和性质可知的图
12、象和性质可知 2kx 4 2k(kZ)， 解得解得 2k 4 x2k5 4 (kZ)所以定义域为所以定义域为x|2k 4 x2k5 4 ，kZ 答案：答案：x|2k 4 x2k5 4 ，kZ 三角函数定义域的求法三角函数定义域的求法 (1)以正切函数为例以正切函数为例， 应用正切函数应用正切函数ytan x的定义域求函数的定义域求函数yAtan(x)的定义域的定义域 (2)转化为求解简单的三角不等式来求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式来求复杂函数的定义域 考点二考点二 三角函数的单调性三角函数的单调性(基础型基础型) 复习复习 指导指导 借助图象理解正弦函 借助图象理解正弦函数、余弦
13、函数在数、余弦函数在0，2，正切函数在正切函数在 2， ， 2 上的单调性上的单调性 及最值及最值 核心素养：核心素养：数学抽象、数学运算数学抽象、数学运算 角度一角度一 确定三角函数的单调性确定三角函数的单调性(单调区间单调区间) (1)(2019 高考全国卷高考全国卷)下列函数中下列函数中，以以 2为周期且在区间 为周期且在区间 4， ， 2 单调递增的是单调递增的是 ( ) Af(x)|cos 2x| Bf(x)|sin 2x| Cf(x)cos|x| Df(x)sin|x| (2)函数函数 f(x)sin 3 2x 的单调递减区间为的单调递减区间为_ 【解析解析】 (1)A 中中，函数
14、函数 f(x)|cos 2x|的周期为的周期为 2， ，当当 x 4， ， 2 时时，2x 2， ， ，函数函数 f(x)单调递增单调递增，故故 A 正确；正确；B 中中，函数函数 f(x)|sin 2x|的周期为的周期为 2， ，当当 x 4， ， 2 时时，2x 2， ， ， 函数函数 f(x)单调递减单调递减， 故故 B 不正确；不正确； C 中 中， 函函数数 f(x)cos|x|cos x 的周期为的周期为 2， 故故 C 不正确；不正确；D 中中，f(x)sin|x| sin x， ，x0， sin x，x0，由正弦函数图象知 由正弦函数图象知，在在 x0 和和 x0 时时， f(
15、x)均以均以 2 为周期为周期， 但在整个定义域上但在整个定义域上 f(x)不是周期函数不是周期函数， 故故 D 不正确 故选不正确 故选 A (2)f(x)sin 2x 3 的减区间是的减区间是 f(x)sin 2x 3 的增区间的增区间 由由 2k 2 2x 3 2k 2， ，kZ， 得得 k 12 xk5 12， ，kZ. 故所给函数的单调递减区间为故所给函数的单调递减区间为 k 12， ，k5 12 ，kZ. 【答案答案】 (1)A (2) k 12， ，k5 12 ，kZ 【迁移探究【迁移探究 1】 (变条件变条件)若本例若本例(2)f(x)变为：变为：f(x)cos 2x 3 ，求
16、求 f(x)的单调递的单调递 增区间增区间 解：解：f(x)cos 2x 3 cos 2x 3 ， 欲求函数欲求函数 f(x)的单调递增区间的单调递增区间， 只需求只需求 ycos 2x 3 的单调递减区间的单调递减区间 由由 2k2x 3 2k，kZ， 得得 k 6 xk2 3 ，kZ. 故函数故函数 f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为 k 6， ，k2 3 (kZ) 【迁移探究【迁移探究 2】 (变条件变条件)本例本例(2)f(x)变为：变为： f(x)sin 2x 3 ， 试讨论试讨论 f(x)在区间在区间 4， ， 4 上的单调性上的单调性 解：解：令令 z2x 3， ，易知函数
17、易知函数 ysin z 的单调递增区间是的单调递增区间是 2 2k， 2 2k ，kZ. 由由 2 2k2x 3 2 2k， 得得 12 kx5 12 k，kZ. 设设 A 4， ， 4 ，B x| 12 kx5 12 k，kZ ，易知易知 AB 12， ， 4 . 所以所以，当当 x 4， ， 4 时时，f(x)在区间在区间 12， ， 4 上单调递增上单调递增，又因为又因为 4 4 2T， ，所所 以以 f(x)在区间在区间 4， ， 12 上单调递减上单调递减 求三角函数单调区间的两种方法求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一
18、个角就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角 u(或或 t)，利利 用复合函数的单调性列不等式求解用复合函数的单调性列不等式求解 (2)图象法图象法：画出三角函数的正、余弦曲线画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间结合图象求它的单调区间 提醒提醒 要注意求函数要注意求函数 yAsin(x)的单调区间时的单调区间时 的符号的符号，若若 0，那么一定要那么一定要 先借助诱导公式将先借助诱导公式将 化为正数同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域化为正数同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域 角度二角度二 利用三角函数的单调性比较大小利用三角函数的单调性比较大小 已知函数已知函数 f(x
19、)2sin x 3 ，设设 af 7 ，bf 6 ，cf 3 ，则则 a，b，c 的大小关的大小关 系是系是 ( ) Aacb Bcab Cbac Dbca 【解析解析】 af 7 2sin 10 21 ，bf 6 2sin 2 2，cf 3 2sin 2 3 2sin 3， ， 因为因为 ysin x 在在 0， 2 上单调递增上单调递增，且且 3 10 21 2， ，所以所以 cab. 【答案答案】 B 利用函数的单调性比较大小利用函数的单调性比较大小 (1)比较同名三角函数的大小比较同名三角函数的大小，首先把三角函数转化为同一单调区间上的三角函数首先把三角函数转化为同一单调区间上的三角函
20、数，利利 用单调性用单调性，由自变量的大小确定函数值的大小；由自变量的大小确定函数值的大小； (2)比较不同名三角函数的大小比较不同名三角函数的大小，应先化成同名三角函数应先化成同名三角函数，再再进行比较进行比较 角度三角度三 已知三角函数的单调区间求参数已知三角函数的单调区间求参数 (一题多解一题多解)(2020 湖南师大附中湖南师大附中 3 月月考月月考)若函数若函数 f(x)2 3sin xcos x 2sin2xcos 2x 在区间在区间 3 2 ，3 2 上单调递增上单调递增，则正数则正数 的最大值为的最大值为 ( ) A1 8 B1 6 C1 4 D1 3 【解析解析】 法一：法一
21、： 因为因为 f(x)2 3sin xcos x2sin2xcos 2x 3sin 2x1 在区在区 间间 3 2 ，3 2 上单调递增上单调递增， 所以所以 3 2， ， 3 2. 解得解得 1 6， ，所以正数所以正数 的最大值是的最大值是1 6.故选 故选 B 法二：法二：易知易知 f(x) 3sin 2x1，可得可得 f(x)的最小正周期的最小正周期 T ， ，所以所以 4 3 2 ， 4 3 2 ， 解解 得得 1 6.所以正数 所以正数 的最大值是的最大值是1 6.故选 故选 B 【答案答案】 B 已知函数单调性求参数已知函数单调性求参数 明确一个不同明确一个不同，掌握两种方法掌握
22、两种方法 (1)明确一个不同：明确一个不同：“函数函数 f(x)在区间在区间 M 上单调上单调”与与“函数函数 f(x)的单调区间为的单调区间为 N”两者两者 的含义不同的含义不同，显然显然 M 是是 N 的子集的子集 (2)抓住两种方法已抓住两种方法已知函数在区间知函数在区间 M 上单调求解参数问题上单调求解参数问题，主要有两种方法：一是利主要有两种方法：一是利 用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解；二是利用导数用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解；二是利用导数，转转 化为导函数在区间化为导函数在区间 M 上的保号性上的保号性，由此列不等式由此列不等式
23、求解求解 角度四角度四 利用三角函数的单调性求值域利用三角函数的单调性求值域(最值最值) (1)函数函数 f(x)3sin 2x 6 在区间在区间 0， 2 上的值域为上的值域为 ( ) A 3 2， ，3 2 B 3 2， ，3 C 3 3 2 ，3 3 2 D 3 3 2 ，3 (2)函数函数 ysin xcos xsin xcos x 的值域为的值域为_ 【解析解析】 (1)当当 x 0， 2 时时，2x 6 6， ，5 6 ， sin 2x 6 1 2， ，1 ， 故故 3sin 2x 6 3 2， ，3 ， 即此时函数即此时函数 f(x)的值域是的值域是 3 2， ，3 . (2)设
24、设 tsin xcos x，则则 2t 2，t2sin2xcos2x2sin xcos x，则则 sin xcos x 1t2 2 ， 所以所以 yt 2 2 t1 2 1 2(t 1)21. 当当 t1 时时，ymax1；当；当 t 2时时，ymin1 2 2. 所以函数所以函数 y 的值域为的值域为1 2 2，1 【答案答案】 (1)B (2)1 2 2，1 三角函数值域的求法三角函数值域的求法 (1)利用利用 ysin x 和和 ycos x 的值域直接求的值域直接求 (2)把所给的三角函数式变换成把所给的三角函数式变换成 yAsin(x)b(或或 yAcos(x)b)的形式求值的形式求
25、值 域域 (3)把把 sin x 或或 cos x 看作一个整体看作一个整体，将原函数转换成二次函数求值域将原函数转换成二次函数求值域 (4)利用利用 sin xcos x 和和 sin xcos x 的关系将原函数转换成二次函数求值域的关系将原函数转换成二次函数求值域 1(2020 广东省七校联考广东省七校联考)函数函数 f(x)tan x 2 6 的单调递增区间是的单调递增区间是 ( ) A 2k2 3 ，2k4 3 ，kZ B 2k2 3 ，2k4 3 ，kZ C 4k2 3 ，4k4 3 ，kZ D 4k2 3 ，4k4 3 ，kZ 解析：解析：选选 B由由 2 kx 2 6 2 k，
26、kZ，得得 2k2 3 x2k4 3 ，kZ，所所 以函数以函数 f(x)tan x 2 6 的的单调递增区间是单调递增区间是 2k2 3 ，2k4 3 ，kZ，故选故选 B 2已知函数已知函数 f(x)10sin2x10sin x1 2， ，x 2， ，m 的值域为的值域为 1 2， ，2 ，则实数则实数 m 的取值范围是的取值范围是 ( ) A 3， ，0 B 6， ，0 C 3， ， 6 D 6， ， 3 解析：解析：选选 B记记 tsin x，x 2， ，m ，则函数则函数 f(x)可转化为可转化为 g(t)10t2 10t1 2 10 t1 2 2 2. 因为函数的最大值为因为函数的
27、最大值为 2，显然此时显然此时 t1 2. 令令 g(t)1 2， ，得得 t1 或或 t0， 由题意知由题意知 x 2， ，m ，当当 x 2时 时，t1，g(1)1 2， ，结合结合 g(t)的图象及函数的的图象及函数的 值域为值域为 1 2， ，2 ，可得可得1 2 sin m0， 解得解得 6 m0.故选故选 B 3(2020 河河北省中原名校联盟联考北省中原名校联盟联考)若函数若函数 f(x)3sin x 10 2 在区间在区间 2， ，a 上单调上单调， 则实数则实数 a 的最大值是的最大值是_ 解析：解析：法一：法一：令令 2k 2 x 10 2k3 2 ，kZ， 即即 2k2 5 x2k7 5 ，kZ， 所以函数所以函数 f(x)在区间在区间 2 5 ，7 5 上单调递减上单调递减， 所以所以 a 的最大值为的最大值为7 5 . 法二：法二：因为因为 2 xa， 所以所以 2 10 x 10 a 10， ， 而而 f(x)在在 2， ，a 上单调上单调， 所以所以 a 10 3 2 ，即即 a7 5 ， 所以所以 a 的最大值为的最大值为7 5 . 答案：答案：7 5 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
