1、 1 绝密绝密启用前启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共 4 页，23 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将 试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。 2 作答选择题时， 选出每小题答案后， 用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用
2、铅笔和涂改液。 不按以上要求作答无效。 4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1已知集合 2 4260MxxNx xx ，则MN= A43xx B42xx C22xx D 23xx 2设复数 z 满足=1iz，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则 A 22 +11()xy B 22 1(1)xy C 22 (1)1yx D 22 ( +1)1yx 3已知 0.20.3 2 log 0.220.2abc，则 Aabc Bacb Ccab Dbca 4
3、 古希腊时期， 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 51 2 （ 51 2 0.618， 称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至 肚脐的长度之比也是 51 2 若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm，头顶至脖子下端 的长度为 26 cm，则其身高可能是 2 A165 cm B175 cm C185 cm D190 cm 5函数 f(x)= 2 sin cos xx xx 在, 的图像大致为 A B C D 6我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分 为阳爻“”
4、和阴爻“ ” ，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳 爻的概率是 A 5 16 B 11 32 C 21 32 D 11 16 7已知非零向量 a，b 满足| 2|ab，且()abb，则 a 与 b 的夹角为 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 8如图是求 1 1 2 1 2 2 的程序框图，图中空白框中应填入 3 AA= 1 2A BA= 1 2 A CA= 1 12A DA= 1 1 2A 9记 n S为等差数列 n a的前 n 项和已知 45 05Sa，则 A25 n an B 310 n an C 2 28 n Snn D 2 1 2 2 n Snn 10
5、已知椭圆 C 的焦点为 12 1,01,0FF()， ()，过 F2的直线与 C 交于 A，B 两点若 22 | 2|AFF B， 1 | |ABBF，则 C 的方程为 A 2 2 1 2 x y B 22 1 32 xy C 22 1 43 xy D 22 1 54 xy 11关于函数( )sin|sin |f xxx有下述四个结论： f(x)是偶函数 f(x)在区间（ 2 ,）单调递增 f(x)在, 有 4 个零点 f(x)的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是 A B C D 12已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，ABC 是边长为 2 的正三角形，
6、E，F 分别是 PA，PB 的中点，CEF=90，则球 O 的体积为 A68 B64 C62 D6 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13曲线 2 3()exyxx在点(0 )0，处的切线方程为_ 14记 Sn为等比数列an的前 n 项和若 2 146 1 3 aaa，则 S5=_ 4 15甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束） 根据 前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取 胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 41 获胜的概率是_ 16已知双曲线 C：
7、 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线与 C 的两条渐近 线分别交于 A，B 两点若 1 FAAB， 12 0FB F B，则 C 的离心率为_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17(12 分) ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设 22 (sinsin )sinsinsinBCABC （1）求 A； （2）若22abc，求 sinC 18 （12 分） 如图，
8、直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N 分别是 BC， BB1，A1D 的中点 （1）证明：MN平面 C1DE； （2）求二面角 A-MA1-N 的正弦值 19 （12 分） 已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为 3 2 的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P （1）若|AF|+|BF|=4，求 l 的方程； （2）若3APPB，求|AB| 5 20（12 分） 已知函数( )sinln(1)f xxx，( )fx 为( )f x的导数证明： （1）( )fx 在区间( 1,) 2 存在唯一极大值点； （
9、2）( )f x有且仅有 2 个零点 21（12 分） 为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方 案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施 以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白 鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验， 若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治 愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分， 甲药得1分； 若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分
10、 甲、 乙两种药的治愈率分别记为 和 ，一轮试验中甲药的得分记为 X （1）求X的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，(0,1,8) i p i 表示“甲药的累计得分为i时，最终认 为甲药比乙药更有效”的概率，则 0 0p ， 8 1p ， 11iiii papbpcp (1,2,7)i ，其中 (1)aP X ，(0)bP X，(1)cP X假设0.5，0.8 (i)证明： 1 ii pp (0,1,2,7)i 为等比数列； (ii)求 4 p，并根据 4 p的值解释这种试验方案的合理性 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按
11、所做的第一题计分。 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2 2 2 1 1 4 1 t x t t y t ， （t 为参数）以坐标原点 O 为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为2 cos3 sin110 （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最小值 23选修 45：不等式选讲（10 分） 6 已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1证明： （1） 222 111 abc abc ； （2） 333 ()()()24abbcca 7 2019 年普通高等学校招生全
12、国统一考试 理科数学参考答案 一、选择题 1C 2C 3B 4B 5D 6A 7B 8A 9A 10B 11C 12D 二、填空题 13y=3x 14121 3 150.18 162 三、解答题 17解： （1）由已知得 222 sinsinsinsinsinBCABC，故由正弦定理得 222 bcabc 由余弦定理得 222 1 cos 22 bca A bc 因为0180A ，所以60A （2）由（1）知120BC ，由题设及正弦定理得 2sinsin 1202sinACC ， 即 631 cossin2sin 222 CCC，可得 2 cos60 2 C 由于0120C ，所以 2 si
13、n60 2 C ，故 sinsin6060CC sin60cos60cos60sin60CC 62 4 18解：（1）连结B1C，ME 因为M，E分别为BB1，BC的中点， 所以MEB1C，且ME= 1 2 B1C 又因为N为A1D的中点，所以ND= 1 2 A1D 8 由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND， 因此四边形MNDE为平行四边形，MNED 又MN平面EDC1，所以MN平面C1DE （2）由已知可得DEDA 以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则 (2,0,0)A， A1(2,0,4) ， (1, 3,2)M， (1,0,2)
14、N， 1 (0,0, 4)AA， 1 ( 1, 3, 2)AM ， 1 ( 1,0, 2)AN ，(0,3,0)MN 设( , , )x y zm为平面A1MA的法向量，则 1 1 0 0 AM A A m m ， 所以 320 40 xyz z ， 可取( 3,1,0)m 设( , , )p q rn为平面A1MN的法向量，则 1 0 0 MN A N ， n n 所以 30 20 q pr ， 可取(2,0, 1)n 于是 2 315 cos, |525 m n m n m n ， 所以二面角 1 AMAN的正弦值为 10 5 19解：设直线 1122 3 :, 2 l yxt A x y
15、B xy 9 （1）由题设得 3 ,0 4 F ，故 12 3 | 2 AFBFxx，由题设可得 12 5 2 xx 由 2 3 2 3 yxt yx ，可得 22 912(1)40xtxt，则 12 12(1) 9 t xx 从而 12(1)5 92 t ，得 7 8 t 所以l的方程为 37 28 yx （2）由3APPB可得 12 3yy 由 2 3 2 3 yxt yx ，可得 2 220yyt 所以 12 2yy从而 22 32yy，故 21 1,3yy 代入C的方程得 12 1 3, 3 xx 故 4 13 | 3 AB 20解： （1）设( )( )g xf x，则 1 ( )c
16、os 1 g xx x ， 2 1 sin( ) ) (1 x x g x . 当1, 2 x 时，( )g x单调递减，而(0)0,( )0 2 gg ，可得( )g x在1, 2 有唯一零点， 设为. 则当( 1,)x 时，( )0g x ；当, 2 x 时，( )0g x . 所以( )g x在( 1,)单调递增，在, 2 单调递减，故( )g x在1, 2 存在唯一极大值点， 即( )f x在1, 2 存在唯一极大值点. （2）( )f x的定义域为( 1,) . 10 （i） 当( 1 ,0 x 时， 由 （1） 知，( )f x在( 1,0)单调递增， 而(0)0f ， 所以当(
17、1,0)x 时，( )0f x ，故( )f x在( 1,0)单调递减，又(0)=0f，从而0x 是( )f x在( 1,0的唯一 零点. （ii） 当0, 2 x 时， 由 （1） 知，( )f x在(0, )单调递增， 在, 2 单调递减， 而(0)=0f ， 0 2 f ，所以存在, 2 ，使得()0f ，且当(0,)x时，( )0f x ；当 , 2 x 时，( )0f x .故( )f x在(0,)单调递增，在, 2 单调递减. 又(0)=0f，1 ln 10 22 f ， 所以当0, 2 x 时，( )0f x .从而，( )f x 在0, 2 没有零点. （iii）当, 2 x
18、时，( )0f x ，所以( )f x在, 2 单调递减.而0 2 f ，( )0f ， 所以( )f x在, 2 有唯一零点. （iv）当( ,)x 时，ln(1)1x，所以( )f x0，从而( )f x在( ,) 没有零点. 综上，( )f x有且仅有2个零点. 21解：X 的所有可能取值为1,0,1. (1)(1) (0)(1)(1) (1)(1) P X P X P X ， ， ， 所以X的分布列为 （2） （i）由（1）得0.4,0.5,0.1abc. 11 因此 11 =0.4+0.5 +0.1 iiii pppp ，故 11 0.10.4 iiii pppp ，即 11 4 i
19、iii pppp . 又因为 101 0ppp，所以 1 (0,1,2,7) ii ppi 为公比为 4，首项为 1 p的等比数列 （ii）由（i）可得 8 887761008776101 3 4 1 ppppppppppppppp . 由于 8=1 p，故 1 8 3 41 p ，所以 4 4433221101 411 . 325 7 pppppppppp 4 p表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药治 愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为 4 1 0.0039 257 p ，此时得出错误结论的概率非 常小，说明这种试验方案合理. 22解： （1
20、）因为 2 2 1 11 1 t t ，且 2 2 22 2 22 2 14 1 21 1 ytt x t t ，所以C的直角坐标方程为 2 2 1(1) 4 y xx . l的直角坐标方程为23110xy. （2）由（1）可设C的参数方程为 cos , 2sin x y （为参数， ）. C上的点到l的距离为 4cos11 |2cos2 3sin11|3 77 . 当 2 3 时， 4cos11 3 取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7. 23解： （1）因为 222222 2,2,2abab bcbc caac，又1abc ，故有 222 111abbcca abcabbcca abcabc . 12 所以 222 111 abc abc . （2）因为, , a b c为正数且1abc ，故有 333333 3 ()()()3 () () ()abbccaabbcac =3( + )( + )( + )a b b c a c 3 (2) (2) (2)abbcac =24. 所以 333 ()()()24abbcca.
