1、第 1 页（共 14 页） 2020-2021 学年河南省焦作市高二（上）期末数学试卷（文科）学年河南省焦作市高二（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知全集UZ，集合|1AxZ x 或2x ，则( UA ) A 1，2) B( 1,2) C 1，0，1，2 D0，1 2 （5 分）如图是某公司 2020 年 1 月到 10 月的销售额（单位；万元）的折线图，销售额在 35 万
2、元以下为亏损，超过 35 万元为盈利，则下列说法错误的是( ) A这 10 个月中销售额最低的是 1 月份 B从 1 月到 6 月销售额逐渐增加 C这 10 个月中有 3 个月是亏损的 D这 10 个月销售额的中位数是 43 万元 3 （5 分）若实数x，y满足约束条件22 0 0 y x xy x ，则3zxy 的最小值为( ) A2 B0 C4 D3 4 （5 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a23，S6S327，则 a8（ ） A6 B9 C12 D15 5 （5 分）已知 214 3 322 , 235 alogblogclog，则( ) Aabc Bbac Cacb D
3、cab 6 （5 分）已知函数 2 ( ),( ) 2 x e f xexfx为( )f x的导函数，若 f （a）f（a） ，则(a ) A0 B1 C2 D0 或 2 第 2 页（共 14 页） 7 （5 分）已知 1 F， 2 F为椭圆 22 1 916 xy 的两个焦点，过 1 F的直线交椭圆于A，B两点， 若 22 | 10F AF B，则| (AB ) A2 B4 C6 D10 8 （5 分）直线720 xy与圆 222 :(1)(0)Cxyr r相交于A，B两点，若ABC为 直角三角形，则(r ) A1 B2 C3 D2 9 （5 分）已知曲线 b yax在点( 1, )a处的切
4、线方程为860 xy，则( ) A2a ，4b B2a ，4b C8a ，1b D8a ，1b 10 （5 分）已知a，b为正实数，且3()80abab，则ab的取值范围是( ) A2，4 B(0，24，) C4，16 D(0， 416，) 11 （5 分）已知 n a是各项均为正数的等比数列，则下列结论中正确的个数为( ) 2415 a aa a； 153 2aaa； 1524 aaaa；若 53 aa，则 42 aa A1 B2 C3 D4 12 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率为3，过右焦点且垂直于x轴的直 线与双曲线交于A，B两点点A，B到双曲
5、线的同一条渐近线的距离之和为4 2，则双 曲线的方程为( ) A 22 1 84 xy B 22 1 48 xy C 22 1 168 xy D 22 1 816 xy 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）已知向量(1, )ax，( 1, )bx ，若2ab与b垂直，则|b 14 （5 分）抛物线 2 1 4 yx上一点M到焦点的距离为 3，则点M的纵坐标为 15 （5 分）在ABC中若sin A，sinB，sinC成公比为2的等比数列，则cosB 16 （5 分）已知函数( )f xx，( ) x g
6、 xe，若 12 ()()f xg x，则 12 |xx的最小值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17已知等比数列 n a的公比2q ，且 3 a， 4 a， 5 4a 依次成等差数列 第 3 页（共 14 页） （）求 n a； （）设 21nn ba ，求数列 n b的前n项和 n S 18已知命题 p：x1，2，3x2mx+20；命题 q：函数在区间（0，1）上单调 递减其中 m 为常数 （1）若 p 为真命题，求 m 的取值范围； （2）若（p）q 为真命题，
7、求 m 的取值范围 19 在锐角ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c，2coscos2cos3sinBCAC （1）求B； （2）若2 7,bABC的面积为6 3，求ac的值 20如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，3 2PBPD，3PAAD， 点E，F分别为线段PD，BC的中点 （1）求证：/ /EF平面ABP； （2）求证：平面AEF 平面PCD； （3）求三棱锥CAEF的体积 21设函数( ),0 2 alnx f xxa （1）求( )f x的单调区间； （2）求证：当1x， a e时， 2 ( ) 2 a a f xe 22已知椭圆 22 22 :1(0) x
8、y Cab ab 的离心率为 1 2 ，且点 3 ( 1, ) 2 A 在椭圆上 （1）求椭圆的标准方程； （2）设点B为椭圆的右顶点，直线AB与y轴交于点M，过点M作直线与椭圆交于P，Q 两点，若6MB MPMA MQ，求直线PQ的斜率 第 4 页（共 14 页） 2020-2021 学年河南省焦作市高二（上）期末数学试卷（文科）学年河南省焦作市高二（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题在每小题给出的四个选项中，只给出的四个选项中，只 有一项是符合题
9、目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知全集UZ，集合|1AxZ x 或2x ，则( UA ) A 1，2) B( 1,2) C 1，0，1，2 D0，1 【解答】解：全集UZ，集合|1AxZ x 或2x ， 由题意可知| 12 1 U C AxZx 剟，0，1，2 故选：C 2 （5 分）如图是某公司 2020 年 1 月到 10 月的销售额（单位；万元）的折线图，销售额在 35 万元以下为亏损，超过 35 万元为盈利，则下列说法错误的是( ) A这 10 个月中销售额最低的是 1 月份 B从 1 月到 6 月销售额逐渐增加 C这 10 个月中有 3 个月是亏损的 D这 10 个
10、月销售额的中位数是 43 万元 【解答】解：根据折线图知，这个 10 月中销售额最低的是 1 月份，为 30 万元，所以A正 确； 从 1 月到 6 月销售额是先增加后减少，再增加，所以B错误； 1 月，3 月和 4 月的销售额低于 35 万元，所以C正确； 这 10 个月的销售额从小到大排列为 30，32，34，40，41，45，48，60，78，80 万元， 其中位数是 1 (4145)43 2 万元，所以D正确 故选：B 第 5 页（共 14 页） 3 （5 分）若实数x，y满足约束条件22 0 0 y x xy x ，则3zxy 的最小值为( ) A2 B0 C4 D3 【解答】 解：
11、 由题意实数x，y满足约束条件22 0 0 y x xy x 的可行域为点(0,0)O，(0, 2)A， (2,2)B围成的三角形区域， 当且仅当动直线3zxy 经过点(2,2)B时， 3zxy 取最小值：3224 故选：C 4 （5 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a23，S6S327，则 a8（ ） A6 B9 C12 D15 【解答】解：等差数列an的前 n 项和为 Sn，a23，S6S327， 由条件得 S6S3a4+a5+a63a527， 解得 a59， 又a8+a22a518， a815 故选：D 5 （5 分）已知 214 3 322 , 235 alogblogc
12、log，则( ) Aabc Bbac Cacb Dcab 第 6 页（共 14 页） 【解答】解： 2311 33 332 10 223 loglogloglog， 44 2 10 5 loglog， abc 故选：A 6 （5 分）已知函数 2 ( ),( ) 2 x e f xexfx为( )f x的导函数，若 f （a）f（a） ，则(a ) A0 B1 C2 D0 或 2 【解答】解：因为( ) x fxeex，根据条件得 2 2 aa e eaeea，解得0a 或 2 故选：D 7 （5 分）已知 1 F， 2 F为椭圆 22 1 916 xy 的两个焦点，过 1 F的直线交椭圆于A
13、，B两点， 若 22 | 10F AF B，则| (AB ) A2 B4 C6 D10 【解答】解：根据椭圆的定义 1212 | 416F AF AFBF Ba， 所以 12 | | 6ABF AF B 故选：C 8 （5 分）直线720 xy与圆 222 :(1)(0)Cxyr r相交于A，B两点，若ABC为 直角三角形，则(r ) A1 B2 C3 D2 【解答】解：圆C的圆心为(1,0) 圆心C到直线720 xy的距离为 22 |702|2 , 2 71 dABC 为直角三角形， 则一定为等腰直角三角形且C为直角， 所以21rd 故选：A 9 （5 分）已知曲线 b yax在点( 1,
14、)a处的切线方程为860 xy，则( ) A2a ，4b B2a ，4b C8a ，1b D8a ，1b 【解答】解：将( 1, )a代入860 xy， 第 7 页（共 14 页） 得2a ， 又因为 1b yabx ， 所以 1 ( 1)4 b b ，4b 故选：B 10 （5 分）已知a，b为正实数，且3()80abab，则ab的取值范围是( ) A2，4 B(0，24，) C4，16 D(0， 416，) 【解答】解：因为03()868abababab， 所以02ab或4ab， 所以04ab或16ab 故选：D 11 （5 分）已知 n a是各项均为正数的等比数列，则下列结论中正确的个数
15、为( ) 2415 a aa a； 153 2aaa； 1524 aaaa；若 53 aa，则 42 aa A1 B2 C3 D4 【解答】解：对于，根据等比数列的概念、等比数列的通项公式可知正确； 对于，设公比为(0)q q ，则 2 1533 2 1 () 2aaaqa q ，所以正确； 对于， 233 15243 22 11 ()()(1)(1) 0 a aaaaaqqqq qqq ，所以正确； 对于，因为 n a的各项均为正数，若 53 aa，则1q ， 所以 42 aa，正确 故选：D 12 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率为3，过右焦点且垂
16、直于x轴的直 线与双曲线交于A，B两点点A，B到双曲线的同一条渐近线的距离之和为4 2，则双 曲线的方程为( ) A 22 1 84 xy B 22 1 48 xy C 22 1 168 xy D 22 1 816 xy 【解答】解：如图所示，设双曲线的右焦点为( ,0)F c， 第 8 页（共 14 页） 取渐近线 b yx a ，即0bxay， 点C，D，E分别为点A，B，F在这条渐近线上的投影， 则根据题意| 4 2ACBD，由双曲线的对称性可知，F是AB的中点， 所以| 2 2EF ， 由点到直线的距离公式可知 22 | bc EFb ab ， 所以2 2b ， 又因为离心率 22 3
17、 ab e a ，得2a ， 所以双曲线的方程为 22 1 48 xy 故选：B 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）已知向量(1, )ax，( 1, )bx ，若2ab与b垂直，则|b 2 【解答】解：向量(1, )ax，( 1, )bx ， 2 1a bx ， 2 |1bx， 2ab与b垂直， 2 (2)20abba bb， 22 2( 1)(1)0 xx ，解得 2 3x 2 |12bx 故答案为：2 第 9 页（共 14 页） 14 （5 分）抛物线 2 1 4 yx上一点M到焦点的距离为 3，
18、则点M的纵坐标为 2 【解答】解：抛物线方程改写为 2 4xy， 根据抛物线的定义，知点M到准线1y 的距离也为 3， 所以M的纵坐标为 2 故答案为：2 15 （5 分） 在ABC中 若sin A，sinB，sinC成公比为2的等比数列， 则cosB 3 4 【解答】解：sin A，sinB，sinC成公比为2的等比数列， 由正弦定理可知a，b，c成公比为2的等比数列， 设1,2,2abc， 所以 222 1423 cos 244 acb B ac 故答案为： 3 4 16 （5 分）已知函数( )f xx，( ) x g xe，若 12 ()()f xg x，则 12 |xx的最小值为 1
19、 【解答】解：由函数( )f xx，( ) x g xe， 12 ()()f xg x， 故设 2 1 (0) x xet t，则 1 xt， 2 xlnt，且 12 xx， 所以 12 | |xxtlnttlnt ， 令( )h ttlnt ，则 11 ( )1 t h t tt ， 当01t 时，( )0h t，( )h t单调递减， 当1t 时，( )0h t，( )h t单调递增 因此( )minh th（1）1， 即 12 |1 min xx， 故答案为：1 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文
20、字说明、证明过程或演算步骤.） 17已知等比数列 n a的公比2q ，且 3 a， 4 a， 5 4a 依次成等差数列 （）求 n a； 第 10 页（共 14 页） （）设 21nn ba ，求数列 n b的前n项和 n S 【解答】解： （）等比数列 n a的公比2q ， 3 a， 4 a， 5 4a 依次成等差数列， 111 41642( 8)aaa ， 解得 1 1a 11 1 ( 2) nn n aaq ； （）由题意知 221 ( 2)4 nn n b 数列 n b是首项为 1 1b ，公比4q的等比数列 数列 n b的前n项和 1(1 )1 (14 )41 1143 nnn n
21、bq S q 18已知命题 p：x1，2，3x2mx+20；命题 q：函数在区间（0，1）上单调 递减其中 m 为常数 （1）若 p 为真命题，求 m 的取值范围； （2）若（p）q 为真命题，求 m 的取值范围 【解答】解： （1）令 f（x）3x2mx+2，其图象是开口向上的抛物线， 要使 p 为真命题，则 f（1）0 且 f（2）0， 即 所以 m7， 所以 m 的取值范围是（7，+） （2）若（p）q 为真命题，则 p 为假命题，q 为真命题 由（1）知，p 为假命题等价于 m7 对于命题 q，当 m0 时，函数在（0，1）上单调递增，不满足条件； 当 m0 时，函数在上单调递减，在上
22、单调递增， 要使在（0，1）上单调递减，则，即 m1， 综上所述，若（p）q 为真命题，m 的取值范围是1，7 第 11 页（共 14 页） 19 在锐角ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c，2coscos2cos3sinBCAC （1）求B； （2）若2 7,bABC的面积为6 3，求ac的值 【解答】解： （1）因为ABC， 所以2coscos2cos()3sinBCBCC， 所以2coscos2(coscossinsin)3sinBCBCBCC， 所以2sinsin3sinBCC， 因为sin0C ， 所以 3 sin 2 B ， 因为(0,) 2 B 所以 3 B ， （2）
23、由面积公式得 1 sin6 3 2 ABC SacB ，于是24ac ， 由余弦定理得 222 2cosacacBb， 即 22 28acac 整理得 2 ()100ac， 故10ac 20如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，3 2PBPD，3PAAD， 点E，F分别为线段PD，BC的中点 （1）求证：/ /EF平面ABP； （2）求证：平面AEF 平面PCD； （3）求三棱锥CAEF的体积 第 12 页（共 14 页） 【解答】证明： （1）如图，取PA的中点G，连接BG，EG， 点E，G分别为PD，PA的中点， 1 / /, 2 EGAD EGAD， 又F是BC的中点，四边形
24、ABCD是正方形，/ /BFEG且BFEG， 故四边形EFBG为平行四边形，/ /EFBG， BG 平面ABP，EF 平面ABP， / /EF平面ABP； 证明： （2）由条件知3 2,3PBPDPAADAB， PAB和PAD都是等腰直角三角形，PAAB，PAAD， 又ABADA，AB、AD 平面ABCD， PA平面ABCD，则PACD， 又ADCD，PAADA，PA、AD 平面PAD， CD平面PAD，得CDAE， E是PD的中点，AEPD， 又PDCDD，PD、CD 平面PCD， AE平面PCD，而AE 平面AEF， 平面AEF 平面PCD； 解： （3）由图可知 CAEFEACF VV
25、， 1111319 33 3232228 EACFACF VSPA ， 即三棱锥CAEF的体积为 9 8 第 13 页（共 14 页） 21设函数( ),0 2 alnx f xxa （1）求( )f x的单调区间； （2）求证：当1x， a e时， 2 ( ) 2 a a f xe 【解答】解： （1）由题意得( )1,0 2 a fxx x ， 令( )0fx，得 2 a x ，由( )0fx，得 2 a x ，由( )0fx，得 2 a x ， 所以( )f x的单调递增区间为(,) 2 a ，单调递减区间为(0,) 2 a ； （2）证明：若1 2 a ，即02a ，由（1）知( )f
26、 x在1， a e上单调递增， 所以( )f x的最大值是 2 () 2 aa a f ee，若1 2 a ，即2a ， 设g（a） a ea，则当2a 时， g （a）10 a e ， 所以g（a）g（2） 2 20e，所以 2 a a ea，从而1, 2 a a e， 结合（1）可知，( )f x在1, 2 a 上单调递减，在(, 2 a a e上单调递增， 下面比较 2 () 2 aa a f ee和f（1）1的大小 设 2 ( ) 2 a a h ae，当2a 时， h （a）0 a ea， 所以h（a）h（2） 2 21e，即() a f ef（1） 所以当1x， a e时， 2 (
27、 ) 2 a a f xe 22已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ，且点 3 ( 1, ) 2 A 在椭圆上 （1）求椭圆的标准方程； （2）设点B为椭圆的右顶点，直线AB与y轴交于点M，过点M作直线与椭圆交于P，Q 第 14 页（共 14 页） 两点，若6MB MPMA MQ，求直线PQ的斜率 【解答】解： （1）由题意知离心率e满足 22 2 2 1 4 ab e a ， 所以 22 3 4 ab， 又因为点 3 ( 1, ) 2 A 在椭圆上， 所以 2 2 2 2 3 ( ) ( 1) 2 1 4 3 b b ，解得 2 3b ， 所以 2 4a
28、 ， 故椭圆的标准方程为 22 1 43 xy （2）由（1）得(2,0)B， 所以直线AB的方程为 1 (2) 2 yx ，与y轴的交点为(0,1)M 由6MB MPMA MQ得|cos6|cosMB MPBMPMA MQAMQ， 而BMPAMQ，| 2|MBMA， 因此| 3|MPMQ 当PQ与x轴垂直时，不合题意 当PQ与x轴不垂直时， 设其方程为1yxk， 联立方程得 22 1 1 43 yx xy k ，消去y可得 22 (43)880 xx kk， 设 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y， 则 1212 22 88 , 4343 xxx x k kk ， 由| 3|MPMQ得 12 3xx ， 所以 2 22 22 88 2, 3 4343 xx k kk ， 显然k不为 0，两式相除得 2 2 3 x k ， 所以 2 48 343 k kk ，解得 6 2 k
