1、本章专题整合训练本章专题整合训练 【知识与技能】 进一步感受勾股定理及其逆定理，能用它们解决问题. 【过程与方法】 在经历“知识回顾问题与思考问题探究”过程中，进一步增强学生 分析问题、解决问题的能力，体验数形结合的思想，锻炼解题技能. 【情感态度】 进一步培养学生的合作交流意识和探究精神，激发学习数学的兴趣. 【教学重点】 勾股定理及其逆定理解决问题. 【教学难点】 用勾股定理的逆命题证明几何问题. 一、知识回顾，整体把握 1.勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方. 2.勾股数：满足 a 2+b2=c2的三个正整数 a，b，c 称为一组勾股数. 3.勾股定理的逆定理：在一个
2、三角形中，如果满足两条边的平方和等于第三 边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 4.互逆命题、互逆定理. 【教学说明】师生共同回顾本章知识，教师扼要板书，加深学生理解. 二、释疑解惑，加深理解 1.勾股定理及其逆定理的证明方法是怎样的， 它们各是怎样体现数形结合的 思想的，谈谈你的理解. 2.已知一个三角形三边长，就能判断它是不是直角三角形，你能举个例子 吗？ 3.如果一个命题成立，它的逆命题一定成立吗？请举例说明. 【教学说明】教师展示问题，师生共同回顾，加深认识. 三、典例精析，复习新知 例例 1 1 （1）下列每一组数据中的三个数值分别为三角形三边长，不能构成直 角三角形的是（ ） A
3、.3，4，5 B.6，8，10 C.3 ，2，5 D.5，12，13 （2）如图，每个小正方形的边长为 1，A，B，C 是小正方形的顶点，则ABC 的度数是（ ） A.90 B.60 C.45 D.30 【分析】 （1）中可直接将选项中三个数据的两个较小数的平方和与最大数的 平方进行比较，易知以 C 选项中三个数据3 ，2，5为三边的三角形不是直角 三角形，故选 C； （2）中，由于给出了小正方形的边长为 1，因而可利用勾股定 理分别求出线段 AB、BC 和 AC（应连接 AC）的长，再利用勾股定理的逆定理判断 ABC 的形状后可得到结论.AB 2=12+32=10，CB2=12+22=5，C
4、A2=12+22=5，ABC 是等腰直角三角形，且ACB=90，故ABC=45，应选 C. 例例 2 2 如图 1，在梯形 ABCD 中，ABDC，ADC+BCD=90且 DC=2AB，分 别以 DA，AB，BC 为边向梯形外作正方形，其面积分别为 S1,S2,S3,则 S1,S2,S3之 间的关系是 . 【分析】如图 2，过点 A 作 AEBC 交 CD 于点 E，连接 AC，则EAC=ACB. 由 ABCD 知BAC=ACE,AC=AC, ABCAEC,AB=CE,AE=BC. 由 CD=2AB=CE+DE 知 DE=CE=AB. 由 AEBC 知AED=BCD,而ADC+BCD=90,
5、ADC+AED=90, DAE=90,即ADE 为直角三角形， DE 2=AD2+AE2,即 AB2=AD2+BC2,即 S 2=S1+S3. 例例 3 3 如图，已知 AB=12，ABBC 于 B，ABAD 于 A，AD=5，BC=10，点 E 为 CD 的中点，则 AE 的长为. 【分析】可过 E 作 EMAD 于 M，交 BC 于 N， E 为 CD 中点，从而易得 RtDMERtCNE， 而 DM=NC= 1 2 （AD+BC）=15 2 ，AM=15 2 -5= 5 2 . 又 EM=EN= 1 2 AB=6， 故在 RtAEM 中，有 AE 2=AM2+EM2=(5 2 ) 2+6
6、2=25 4 +36=169 4 ，AE=13 2 . 例例 4 4 已知，如图，在四边形 ABCD 中.ABC=90，CDAD 于点 D，且 CD 2+AD2=2AB2. （1）求证 AB=BC； （2）当 BEAD 于点 E 时，试证明：BE=AE+CD. 【分析】 (1)由条件 CD 2+AD2=2AB2， 并结合图形， 有 CD2+AD2=AC2， 又 AC2AB2+BC2 （连接 AC） ，从而 2AB 2=AB2+BC2，有 BC=AB（勾股定理功不可没） ； （2）过 C 作 CFBE 于 F，由 AB=BC，ABE=BCF，AEB=CFB，知ABE BCF，有 BF=AE，且
7、CD=FE，故 BE=BF+FE=AE+CD. 例例 5 5 如图，点 P 为正方形 ABCD 内一点，且 PA=1，PB=2，PC=3，求APB 的度数. 解： 将APB 绕点 B 顺时针旋转 90， 至BPC 位置， 连 PP （如图所示） ， 易知 BP=BP2，PBP=90，且BPA=BPC，PC=PA=1. 在 RtBPP中，有 BP 2+BP2=PP2，即 PP2=22+22=8.又 PC=1. PP2+PC 2=8+1=9，而 PC=3， PC 2=9.故PPC 为直角三角形，且PPC=90. 又 BP=BP，PBP=90， BPP=45，故BPC=45+90=135，从而APB=135. 【教学说明】例 1、例 2 可由学生独立完成，例 3、4、5 由师生共同探究获 得结论，通过问题解决加深对勾股定理及其逆定理的理解和运用. 四、师生互动，课堂小结 通过这节课的学习， 你对勾股定理及其逆定理是否有更深的认识？你还有哪 些疑问？与同伴交流. 1.布置作业：从教材“复习题 17”中选取. 2.完成练习册中本课时练习. 本章的复习应紧紧围绕 “勾股定理” 这个中心， 师生一起共同回顾本章知识， 并安排学生进行交流.教师及时发现问题并予以解答.此外， 教案中安排的五个例 题应先让学生试着解答，教师再予以点拨，以达到复习的效果.
