2020-2021人教版初中数学八年级下册勾股定理证明方法(含解析).doc

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1、勾股定理的证明勾股定理的证明 【证法【证法 1 1】 (课本的证明)】 (课本的证明) 做 8 个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为 a、b,斜边长为 c,再做 三个边长分别为 a、b、c 的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形. . 从图上可以看到,这两个正方形的边长都是 a + b,所以面积相等. . 即 abcabba 2 1 4 2 1 4 222 , 整理得 222 cba . . 【证法【证法 2 2】 (邹元治证明)】 (邹元治证明) 以 a、b 为直角边,以 c 为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积 等于 ab 2 1 . . 把这四个直角三角形拼成

2、如图所示形状,使 A、E、B 三点在一条直线上,B、F、 C 三点在一条直线上,C、G、D 三点在一条直线上. . RtHAE RtEBF, AHE = BEF. . AEH + AHE = 90, AEH + BEF = 90. . HEF = 18090= 90. . 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的 正方形. . 它的面积等于 c 2. RtGDH RtHAE, HGD = EHA. . HGD + GHD = 90, EHA + GHD = 90. . 又 GHE = 90, DHA = 90+ 90= 180. . ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形,它的面积等于 2

3、ba . . 2 2 2 1 4cabba . . 222 cba . . 【证法【证法 3 3】 (赵爽证明)】 (赵爽证明) 以 a、b 为直角边(ba) , 以 c 为斜 边作四个全等的直角三角形,则每个直角 DG C F A H E B a b c a b c a b c a b c b ab a b a b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a b a c G D A C B F EH a ba b c c AB C D E 三角形的面积等于 ab 2 1 . . 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. . RtDAH RtABE, HDA =

4、EAB. . HAD + HAD = 90, EAB + HAD = 90, ABCD 是一个边长为 c 的正方形,它的面积等于 c 2. EF = FG =GH =HE = ba , HEF = 90. . EFGH 是一个边长为 ba 的正方形,它的面积等于 2ab . 2 2 2 1 4cabab . . 222 cba . . 【证法【证法 4 4】 (】 (18761876 年美国总统年美国总统 GarfieldGarfield 证明)证明) 以 a、b 为直角边,以 c 为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面 积等于 ab 2 1 . . 把这两个直角三角形拼成如图所示

5、形状,使 A、E、B 三点在一条直线上. . RtEAD RtCBE, ADE = BEC. . AED + ADE = 90, AED + BEC = 90. . DEC = 18090= 90. . DEC 是一个等腰直角三角形, 它的面积等于 2 2 1 c . . 又 DAE = 90, EBC = 90, ADBC. . ABCD 是一个直角梯形,它的面积等于 2 2 1 ba . . 2 2 2 1 2 1 2 2 1 cabba . . 222 cba . . 【证法【证法 5 5】 (梅文鼎证明)】 (梅文鼎证明) 做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为 a、b ,

6、斜边长为 c. . 把它 们拼成如图那样的一个多边形,使 D、E、F 在一条直线上. . 过 C 作 AC 的延长线交 DF 于 点 P. . D、E、F 在一条直线上, 且 RtGEF RtEBD, EGF = BED, EGF + GEF = 90, BED + GEF = 90, P H G F E D C BA a b c a b c ab c a b c c c c ba c b a A B C E F P Q M N BEG =18090= 90. . 又 AB = BE = EG = GA = c, ABEG 是一个边长为 c 的正方形. . ABC + CBE = 90. .

7、RtABC RtEBD, ABC = EBD. . EBD + CBE = 90. . 即 CBD= 90. . 又 BDE = 90,BCP = 90, BC = BD = a. . BDPC 是一个边长为 a 的正方形. . 同理,HPFG 是一个边长为 b 的正方形. . 设多边形 GHCBE 的面积为 S,则 , 2 1 2 22 abSba abSc 2 1 2 2 , 222 cba . . 【证法【证法 6 6】 (项明达证明)】 (项明达证明) 做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为 a、b(ba) ,斜边长为 c. . 再做一个边长为 c 的正方形. . 把它们拼

8、成如图所示的多边形,使 E、A、C 三点在一条 直线上. . 过点 Q 作 QPBC,交 AC 于点 P. . 过点 B 作 BMPQ,垂足为 M;再过点 F 作 FNPQ,垂足为 N. . BCA = 90,QPBC, MPC = 90, BMPQ, BMP = 90, BCPM 是一个矩形,即MBC = 90. . QBM + MBA = QBA = 90, ABC + MBA = MBC = 90, QBM = ABC, 又 BMP = 90,BCA = 90,BQ = BA = c, RtBMQ RtBCA. . 同理可证 RtQNF RtAEF. . 从而将问题转化为【证法 4】 (

9、梅文鼎证明). . 【证法【证法 7 7】 (欧几里得证明)】 (欧几里得证明) 做三个边长分别为 a、b、c 的正方形,把它们拼成如图所示形状,使 H、C、B 三点 在一条直线上,连结 c b a c b a AB C D E F G H M L K BF、CD. . 过 C 作 CLDE, 交 AB 于点 M,交 DE 于点 L. . AF = AC,AB = AD, FAB = GAD, FAB GAD, FAB 的面积等于 2 2 1 a , GAD 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半, 矩形 ADLM 的面积 = 2 a . . 同理可证,矩形 MLEB 的面积 = 2 b .

10、. 正方形 ADEB 的面积 = 矩形 ADLM 的面积 + 矩形 MLEB 的面积 222 bac ,即 222 cba . . 【证法【证法 8 8】 (利用相似三角形性质证明)】 (利用相似三角形性质证明) 如图,在 RtABC 中,设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b,斜边 AB 的长为 c,过 点 C 作 CDAB,垂足是 D. . 在ADC 和ACB 中, ADC = ACB = 90, CAD = BAC, ADC ACB. . ADAC = AC AB, 即 ABADAC 2 . . 同理可证,CDB ACB,从而有 ABBDBC 2 . . 222 ABABDBADBC

11、AC ,即 222 cba . . 【证法【证法 9 9】 (杨作玫证明)】 (杨作玫证明) 做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为 a、b(ba) ,斜边长为 c. . 再做一个边长为 c 的正方形. . 把它们拼成如图所示的多边形. . 过 A 作 AFAC,AF 交 GT 于 F,AF 交 DT 于 R. . 过 B 作 BPAF,垂足为 P. . 过 D 作 DE 与 CB 的延长线垂直,垂足为 E,DE 交 AF 于 H. . BAD = 90,PAC = 90, DAH = BAC. . 又 DHA = 90,BCA = 90, AD = AB = c, RtDHA R

12、tBCA. . DH = BC = a,AH = AC = b. . 由作法可知, PBCA 是一个矩形, 所以 RtAPB RtBCA. . 即 PB = CA = b,AP= a,从而 PH = ba. . ABD C a c b 9 8 7 6543 21 P Q R T H G F E D CB A a b c a b cc c RtDGT RtBCA , RtDHA RtBCA. . RtDGT RtDHA . . DH = DG = a,GDT = HDA . . 又 DGT = 90,DHF = 90, GDH = GDT + TDH = HDA+ TDH = 90, DGFH

13、是一个边长为 a 的正方形. . GF = FH = a . . TFAF,TF = GTGF = ba . . TFPB 是一个直角梯形,上底 TF=ba,下底 BP= b,高 FP=a +(ba). . 用数字表示面积的编号(如图) ,则以 c 为边长的正方形的面积为 54321 2 SSSSSc abaabbSSS 2 1 438 = abb 2 1 2 , 985 SSS , 8 2 43 2 1 SabbSS = 81 2 SSb . . 把代入,得 9881 2 21 2 SSSSbSSc = 92 2 SSb = 22 ab . . 222 cba . . 【证法【证法 1010

14、】 (李锐证明)】 (李锐证明) 设直角三角形两直角边的长分别为 a、 b (ba) , 斜边的长为 c. . 做三个边长分别为 a、 b、c 的正方形,把它们拼成如图所示形状,使 A、E、G 三点在一条直线上. . 用数字表示 面积的编号(如图). . TBE = ABH = 90, TBH = ABE. . 又 BTH = BEA = 90, BT = BE = b, RtHBT RtABE. . HT = AE = a. . GH = GTHT = ba. . 又 GHF + BHT = 90, DBC + BHT = TBH + BHT = 90, GHF = DBC. . DB =

15、EBED = ba, HGF = BDC = 90, RtHGF RtBDC. . 即 27 SS . . 过 Q 作 QMAG,垂足是 M. . 由BAQ = BEA = 90,可知 ABE = QAM,而 AB = AQ = c,所以 RtABE RtQAM . . 又 RtHBT M H Q R T G FE D C B A c b a 8 7 6 5 4 3 2 1 RtABE. . 所以 RtHBT RtQAM . . 即 58 SS . . 由 RtABE RtQAM,又得 QM = AE = a,AQM = BAE. . AQM + FQM = 90,BAE + CAR = 90

16、,AQM = BAE, FQM = CAR. . 又 QMF = ARC = 90,QM = AR = a, RtQMF RtARC. . 即 64 SS . . 54321 2 SSSSSc , 61 2 SSa , 873 2 SSSb , 又 27 SS , 58 SS , 64 SS , 87361 22 SSSSSba = 52341 SSSSS = 2 c , 即 222 cba . . 【证法【证法 1111】 (利用切割线定理证明)】 (利用切割线定理证明) 在 RtABC 中,设直角边 BC = a,AC = b,斜边 AB = c. . 如图,以 B 为圆心 a 为半 径作

17、圆,交 AB 及 AB 的延长线分别于 D、E,则 BD = BE = BC = a. . 因为BCA = 90, 点 C 在B 上,所以 AC 是B 的切线. . 由切割线定理,得 ADAEAC 2 = BDABBEAB = acac = 22 ac , 即 222 acb , 222 cba . . 【证法【证法 1212】 (利用多列米定理证明)】 (利用多列米定理证明) 在 RtABC 中,设直角边 BC = a,AC = b,斜边 AB = c(如图). . 过点 A 作 ADCB, 过点 B 作 BDCA,则 ACBD 为矩形,矩形 ACBD 内接于一个圆. . 根据多列米定理,圆

18、内接 四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和,有 BDACBCADDCAB , AB = DC = c,AD = BC = a, AC = BD = b, 222 ACBCAB ,即 222 bac , 222 cba . . 【证法【证法 1313】 (作直角三角形的内切圆证明)】 (作直角三角形的内切圆证明) 在 RtABC 中,设直角边 BC = a,AC = b,斜边 AB = c. . 作 RtABC 的内切圆O, 切点分别为 D、E、F(如图) ,设O 的半径为 r. . a b a a BA C ED c b a c a b c A C BD AE = AF,BF = BD,CD

19、= CE, BFAFCDBDCEAEABBCAC = CDCE = r + r = 2r, 即 rcba2 , crba2 . . 2 2 2crba , 即 2222 42crcrabba , abS ABC 2 1 , ABC Sab 42 , 又 AOCBOCAOBABC SSSS = brarcr 2 1 2 1 2 1 = rcba 2 1 = rccr2 2 1 = rcr 2 , ABC Srcr 44 2 , abrcr24 2 , 222 22cababba , 222 cba . . 【证法【证法 1414】 (利用反证法证明)】 (利用反证法证明) 如图,在 RtABC

20、中,设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b,斜边 AB 的长为 c,过 点 C 作 CDAB,垂足是 D. . 假设 222 cba ,即假设 222 ABBCAC ,则由 ABABAB 2 = BDADAB = BDABADAB 可知 ADABAC 2 ,或者 BDABBC 2 . . 即 AD:ACAC:AB,或者 BD:BCBC:AB. . 在ADC 和ACB 中, A = A, 若 AD:ACAC:AB,则 ADCACB. . 在CDB 和ACB 中, B = B, 若 BD:BCBC:AB,则 CDBACB. . 又 ACB = 90, ADC90,CDB90. . 这与作法 C

21、DAB 矛盾. . 所以, 222 ABBCAC 的假设不能成立. . 222 cba . . 【证法【证法 1515】 (辛卜松证明)】 (辛卜松证明) c b a r r r O F E D C B A AB D C a c b ab 2 1 ab 2 1 ab 2 1 ab 2 1 2 c 2 b 2 a A A D D BB CC b a ba b a b a b a c c c c b a ab ab b ab a 设直角三角形两直角边的长分别为a、 b, 斜边的长为c. . 作边长是a+b的正方形ABCD. . 把正方形 ABCD 划分成上方左图所示的几个部分,则正方形 ABCD

22、的面积为 abbaba2 22 2 ;把正方形 ABCD 划分成上方右图所示的几个部分,则正方形 ABCD 的 面积为 2 2 2 1 4cabba = 2 2cab . . 222 22cababba , 222 cba . . 【证法【证法 1616】 (陈杰证明)】 (陈杰证明) 设直角三角形两直角边的长分别为 a、 b (ba) , 斜边的长为 c. . 做两个边长分别为 a、 b 的正方形(ba) ,把它们拼成如图所示形状,使 E、H、M 三点在一条直线上. . 用数字表 示面积的编号(如图). . 在 EH = b 上截取 ED = a,连结 DA、DC, 则 AD = c. .

23、EM = EH + HM = b + a , ED = a, DM = EMED = ab a = b. . 又 CMD = 90,CM = a, AED = 90, AE = b, RtAED RtDMC. . EAD = MDC,DC = AD = c. . ADE + ADC+ MDC =180, ADE + MDC = ADE + EAD = 90, ADC = 90. . 作 ABDC,CBDA,则 ABCD 是一个边长为 c 的正方形. . BAF + FAD = DAE + FAD = 90, BAF=DAE. . 连结 FB,在ABF 和ADE 中, AB =AD = c,AE

24、 = AF = b,BAF=DAE, ABF ADE. . AFB = AED = 90,BF = DE = a. . 点 B、F、G、H 在一条直线上. . 在 RtABF 和 RtBCG 中, AB = BC = c,BF = CG = a, A B C D E F G HM a b c a b c a c a b c1 2 3 4 5 6 7 RtABF RtBCG. . 5432 2 SSSSc , 621 2 SSSb , 73 2 SSa , 76451 SSSSS , 62173 22 SSSSSba = 76132 SSSSS = 5432 SSSS = 2 c 222 cba . .

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