1、第六讲第六讲 双曲线双曲线 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 双曲线的定义 平面内与两个定点 F1、F2的_距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)_的点的轨迹叫做 双曲线这两个定点叫做双曲线的_焦点_，两焦点间的距离叫做双曲线的_焦距_ 注：设集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a，c 为常数，且 a0，c0； (1)当 ac 时，P 点的轨迹是_双曲线_； (2)当 ac 时，P 点的轨迹是_两条射线_； (3)当 ac 时，集合 P 是_空集_ 知识点二 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21(a0，b0) y2 a2 x2
2、b21(a0，b0) 图形 性 质 范围 xa 或 xa，yR xR，ya 或 ya 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 顶点坐标： A1_(a,0)_， A2_(a,0)_ 顶点坐标： A1_(0，a)_， A2_(0，a)_ 渐近线 y_ b ax_ y_ a bx_ 离心率 ec a，e(1，)，其中 c a 2b2 实虚轴 线段 A1A2叫做双曲线的_实轴_，它的长|A1A2|_2a_；线段 B1B2叫 做双曲线的_虚轴_，它的长|B1B2|_2b_；_a_叫做双曲线的_实 半轴长_，b 叫做双曲线的_虚半轴长_ a、b、c 的关系 c2a2b2(ca0，cb0) 归 纳 拓
3、 展 双曲线中的几个常用结论 (1)焦点到渐近线的距离为 b (2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线 双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率 e 2双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关 系) (3)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2 a (通径) 过双曲线的焦点与双曲线一支相交所得弦长的最小值为2b 2 a ；与两支相交所得弦长的最小 值为 2a (4)过双曲线焦点 F1的弦 AB 与双曲线交在同支上，则 AB 与另一个焦点 F2构成的ABF2 的周长为 4a2|AB| (5)双曲线的离心率公式可表示为 e1b 2 a2 (6)双曲线的形状与 e 的关系：|k|b a c2 a2
4、1 e 21，e 越大，即渐近线斜率的绝对值 就越大，双曲线开口就越开阔 (7)x 2 a2 y2 b21(a0，b0)与 y2 b2 x2 a21(a0，b0)互为共轭双曲线，其离心率倒数的平方 和为 1 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内到点 F1(0,4)， F2(0， 4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线 ( ) (2)方程x 2 m y2 n1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线( ) (3)双曲线方程 x2 m2 y2 n2(m0，n0，0)的渐近线方程是 x2 m2 y2 n20，即 x m y n 0(
5、 ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2( ) (5)若双曲线x 2 a2 y2 b21(a0， b0)与 x2 b2 y2 a21(a0， b0)的离心率分别是 e1， e2， 则 1 e21 1 e221(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)( ) 题组二 走进教材 2(必修 2P61T1)若双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长， 则该双曲线的离心率为( A ) A 5 B5 C 2 D2 解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a y b0，即 bx ay0，2a bc a2b2b又 a 2b2c2，5a
6、2c2e2c 2 a25，e 5 3(必修 2P61A 组 T3)已知 ab0，椭圆 C1的方程为x 2 a2 y2 b21，双曲线 C2的方程为 x2 a2 y2 b21，C1与 C2 的离心率之积为 3 2 ，则 C2的渐近线方程为( A ) Ax 2y0 B 2x y0 Cx 2y0 D2x y0 解析 椭圆C1的离心率为 a2b2 a ， 双曲线C2的离心率为 a2b2 a ， 所以 a2b2 a a2b2 a 3 2 ，即 a44b4，所以 a 2b，所以双曲线 C2的渐近线方程是 y1 2x，即 x 2y0 题组三 走向高考 4 (2018 全国卷)双曲线x 2 a2 y2 b21
7、(a0， b0)的离心率为 3， 则其渐近线方程为( A ) Ay 2x By 3x Cy 2 2 x Dy 3 2 x 解析 由题意 ec a 1 b a 2 3，b a 2， 双曲线的渐近线方程为 y 2x，故选 A 5(2020 新课标)设 F1，F2是双曲线 C：x2y 2 31 的两个焦点，O 为坐标原点，点 P 在 C 上且|OP|2，则PF1F2的面积是( B ) A7 2 B3 C5 2 D2 解析 由题意可得 a1，b 3，c2， |F1F2|2c4，|OP|2， |OP|1 2|F1F2|，PF1F2为直角三角形， PF1PF2， |PF1|2|PF2|24c216， |P
8、F1|PF2|2a2， |PF1|2|PF2|22|PF1| |PF2|4， |PF1| |PF2|6， PF1F2的面积为 S1 2|PF1| |PF2|3，故选 B 考点突破 互动探究 考点一 双曲线的定义及其应用自主练透 例 1 (1)已知定点 F1(2,0)，F2(2,0)，N 是圆 O：x2y21 上任意一点，点 F1关于 点 N 的对称点为 M，线段 F1M 的中垂线与直线 F2M 相交于点 P，则点 P 的轨迹是( B ) A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆 (2)(2021 河南洛阳统考)已知 F 是双曲线x 2 4 y2 121 的左焦点，A(1,4)，P 是双曲线右支上 的动
9、点，则|PF|PA|的最小值为_9_ 解析 (1)如图，连接 ON，由题意可得|ON|1，且 N 为 MF1的中点，又 O 为 F1F2的中 点， |MF2|2 点 F1关于点 N 的对称点为 M，线段 F1M 的中垂线与直线 F2M 相交于点 P，由垂直平 分线的性质可得|PM|PF1|， |PF2|PF1|PF2|PM|MF2|2|F1F2|， 由双曲线的定义可得，点 P 的轨迹是以 F1，F2为焦点的双曲线 (2)设双曲线的右焦点为 F1，则由双曲线的定义，可知|PF|4|PF1|，所以当|PF1|PA| 最小时满足|PF|PA|最小由双曲线的图形可知，当点 A，P，F1共线时，满足|P
10、F1|PA|最 小，|AF1|即|PF1|PA|的最小值又|AF1|5，故所求的最小值为 9 名师点拨 (1)利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲 线还是双曲线的一支 (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a，运用 平方的方法，建立与|PF1| |PF2|的联系 变式训练 1 (1)在ABC 中，B(4,0)，C(4,0)，动点 A 满足条件 sin Bsin C1 2sin A 时，则点 A 的轨 迹方程为_x 2 4 y2 121(x2)_ (2)(2021 广东佛山质检)已知 P 为双曲线 C：x 2 a2
11、y2 b21(a0，b0)上一点，O 为坐标原 点，F1，F2为双曲线 C 左右焦点若|OP|OF2|，且满足 tanPF2F13，则双曲线的离心率 为( C ) A 5 2 B 2 C 10 2 D 3 解析 (1)设 A 的坐标为(x，y)，在ABC 中，由正弦定理，得 a sin A b sin B c sin C2R(其 中 R 为ABC 外接圆的半径)， 代入 sin Bsin C1 2sin A， 得 |AC| 2R |AB| 2R 1 2 |BC| 2R 又|BC|8， |AC|AB|4，因此 A 的轨迹为以 B，C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)，且 2a4,2c 8，即
12、a2，c4，b2c2a212所以所求 A 点的轨迹方程为x 2 4 y2 121(x2) (2)点 P 在双曲线 C 的右支上，且满足|OP|OF2|，即有 O 为PF1F2外接圆的圆心， 即有F1PF290 ， 由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2a， tanPF2F13，所以|PF1|3|PF2|， 则|PF1|3a，|PF2|a，由|PF1|2|PF2|2|F1F2|2， 即(3a)2a24c2， 即有 c25 2a 2，e 10 2 知，故选 C 考点二 双曲线的标准方程师生共研 例 2 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)与已知双曲线 x24y24 有共同渐近线且经过点(2,
13、2)； (2)渐近线方程为 y 1 2x，焦距为 10； (3)经过两点 P(3,2 7)和 Q(6 2，7)； (4)双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为 2，且过点(4， 10) 解析 (1)设所求双曲线方程为 x24y2(0)， 将(2,2)的坐标代入上述方程，得 224 22，12 所求双曲线方程为y 2 3 x2 121 (2)设所求双曲线方程为x 2 4y 2(0)， 当 0 时，双曲线标准方程为x 2 4 y2 1， c 5 55，5； 当 0 时，双曲线标准方程为 y2 x2 41， c 5 55，5 所求双曲线方程为x 2 20 y2 51 或 y2 5 x2 201
14、(3)设双曲线方程为 mx2ny21(mn0) 9m28n1， 72m49n1， 解之得 m 1 75， n 1 25. 双曲线方程为y 2 25 x2 751 (4)依题意，e 2ab设方程为x 2 m y2 m1， 则16 m 10 m1，解得 m6 x2 6 y2 61 名师点拨 求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定 2a,2b 或 2c，从 而求出 a2，b2，写出双曲线方程 (2)待定系数法：先确定焦点在 x 轴还是 y 轴，设出标准方程，再由条件确定 a2，b2的值， 即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程
15、设为 Ax2By21(AB0)， 根据条件确定 A、B 即可特别的与双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)共渐近线的双曲线方程可 设为x 2 a2 y2 b2(0)；与双曲线 x2 a2 y2 b21(a0，b0)共焦点的双曲线方程可设为 x2 a2k y2 b2k1(b 2ka2)； 渐近线为 yb ax(或 y b ax)的双曲线的方程可设为 x2 a2 y2 b2(0) 特别地：离心率为 2的双曲线的方程可设为 x2y2(0) 变式训练 2 (1)(2017 新课标)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一条渐近线方程为 y 5 2 x， 且与椭圆x 2 12
16、 y2 31 有公共焦点，则 C 的方程为( B ) Ax 2 8 y2 101 Bx 2 4 y2 51 Cx 2 5 y2 41 Dx 2 4 y2 31 (2)(2019 新课标)双曲线 C：x 2 4 y2 21 的右焦点为 F点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为 坐标原点若|PO|PF|，则PFO 的面积为( A ) A3 2 4 B3 2 2 C2 2 D3 2 解析 (1)椭圆x 2 12 y2 31 的焦点坐标( 3,0)，则双曲线的焦点坐标为( 3,0)，可得 c3， 双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一条渐近线方程为 y 5 2 x，可得b a 5 2
17、 ，即c 2a2 a2 5 4，可 得c a 3 2，解得 a2，b 5，所求的双曲线方程为： x2 4 y2 51故选 B (2)双曲线 C：x 2 4 y2 21 的右焦点为 F( 6，0)，渐近线方程为：y 2 2 x，不妨设 P 在第 一象限，可得 tanPOF 2 2 ，P 6 2 ， 3 2 ，所以PFO 的面积为：1 2 6 3 2 3 2 4 ，故选 A 考点三,双曲线的几何性质多维探究 角度 1 双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴、顶点、范围 例 3 (2021 武汉武昌区调研)双曲线 C：y 2 a2 x2 b21(a0，b0)的焦距为 10，焦点 到渐近线的距离为 3，则 C
18、 的实轴长等于_8_ 解析 双曲线的焦点(0,5)到渐近线 ya bx，即 axby0 的距离为 |5b| a2b2 5b c b3， 所以 a4,2a8 角度 2 双曲线的渐近线 例 4 (1)(2021 河北张家口、衡水、邢台联考改编)已知双曲线 E：x 2 m y2 41(m0) 的一条渐近线方程为 x3y0，则下列说法正确的个数是( B ) E 的焦点在 x 轴上 m4 9 E 的实轴长为 6 E 的离心率为 10 3 A1 B2 C3 D4 (2)(2021 福建厦门质检)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一个焦点为 F，点 A，B 是 C 的一条渐近线上关于
19、原点对称的两点，以 AB 为直径的圆过 F 且交 C 的左支于 M，N 两 点，若|MN|2，ABF 的面积为 8，则 C 的渐近线方程为( B ) Ay 3x By 3 3 x Cy 2x Dy 1 2x 解析 (1)由 m0， 可知双曲线 E 的焦点一定在 x 轴上， 故正确； 根据题意得b a 2 m 1 3，所以 m36，故错误；双曲线 E 的实轴长为 2 m12，故错误；双曲线 E 的离心率 e c a m4 m 10 3 ，故正确故选 B (2)设双曲线的另一个焦点为 F， 由双曲线的对称性， 四边形 AFBF是矩形， 所以 SABF SAFF，即 bc8，由 x2y2c2 x2
20、a2 y2 b21 ，得：y b2 c ，所以|MN|2b 2 c 2，所以 b2c，所以 b 2，c4，所以 a2 3，C 的渐近线方程为 y 3 3 x故选 B 角度 3 双曲线的离心率 例 5 (1)(2021 福建三明期末质检)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一条渐近线 与直线 x 3y40 垂直，则该双曲线的离心率为( C ) A2 3 3 B4 3 C2 D4 (2)(2018 新课标)设 F1，F2是双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左，右焦点，O 是坐 标原点， 过 F2作 C 的一条渐近线的垂线， 垂足为 P， 若|PF1| 6|OP|
21、， 则 C 的离心率为( C ) A 5 B2 C 3 D 2 (3)(2021 河北省衡水中学调研)已知点 F 是双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点，点 E 是该双曲线的左顶点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，若AEB 是钝角， 则该双曲线的离心率 e 的取值范围是( C ) A(1 2，) B(1,1 2) C(2，) D(2,1 2) 解析 (1)由题意可知b a 3 3 1，b a 3， ec a 1 b a 22故选 C (2)点 F2(c,0)到渐近线 yb ax 的距离|PF2| bc a 0 1 b a 2b(b0)，而|OF 2|
22、c，所以在 Rt OPF2中，由勾股定理可得|OP| c2b2a，所以|PF1| 6|OP| 6a 在 RtOPF2中，cosPF2O|PF2| |OF2| b c， 在F1F2P 中， cosPF2O|PF2| 2|F 1F2| 2|PF 1| 2 2|PF2| |F1F2| b 24c26a2 2b 2c ， 所以b c b24c26a2 4bc 3b24c26a2， 则有 3(c2a2) 4c26a2， 解得c a 3(负值舍去) 即 e 3故选 C (3)由题意，得 AB 为双曲线的通径， 其长度为|AB|2b 2 a ， 因为AEB 2， 所以AEF 4， 则 tanAEF|AF|
23、|EF|1， 即 b2 aac1， 即 c2a2a(ac)， 即 e2e20，解得 e2故选 C 名师点拨 1求双曲线离心率或其范围的方法 (1)直接法：由题设条件求出 a，c，从而得 e (2)等价转化法：由 ec a或 e 1b 2 a2等公式将已知条件转化为 e 的等式，从而得 e (3)列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于 b2c2a2消去 b，然后转化成关于 e 的方程(或不等式)求解解题时要特别注意几何特点，以简化运算 2求双曲线的渐近线方程的方法 求双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的渐近线的方法是令 x2 a2 y2 b20，即得两渐近线方程 x a
24、 y b 0 或确定焦点位置并求出b a或 a b的值，从而写出渐近线方程 注：如图 F 为双曲线x 2 a2 y2 b21 的焦点，l 为渐近线；FHl，则|FH|b，|OH|a 变式训练 3 (1)(角度 1)(2021 安徽蚌埠质检)已知双曲线的渐近线方程为 y 3 3 x，一个焦点 F(2,0)， 则该双曲线的虚轴长为( C ) A1 B 3 C2 D2 3 (2)(角度 2)(2021 河南郑州一中期中)设 P 是双曲线x 2 a2 y2 91 上一点，双曲线的一条渐近 线方程为 3x2y0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|3，则|PF2|的值为_7_ (3)(角度
25、3)(2021 安徽皖南八校联考)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一条渐近线 与圆(x2)2y21 相切，则双曲线 C 的离心率为( A ) A2 3 3 B 3 C2 2 D 2 解析 (1)因为双曲线的渐近线方程为 y 3 3 x，一个焦点 F(2,0)，所以 a2b2c24， b a 3 3 ， 联立、可得：a23，b21，b1，从而 2b2， 该双曲线的虚轴长 2，故选 C (2)双曲线的渐近线方程 y3 2x， 得 a2，由于|PF1|3,2a4， 由双曲线定义知|PF1|PF2|2a4，得|PF2|7 (3)由题意可知圆心(2,0)到渐近线 yb ax 的
26、距离为半径 r1， 即 |2b| a2b21，即 3b 2a2， 又 a2b2c2，则 3(c2a2)a2， 解得 ec a 2 3 3 故选 A 考点四,直线与双曲线多维探究 角度 1 直线与双曲线位置关系 例 6 (2021 唐山一中模拟)过点 A(0,1)作直线，与双曲线 x2y 2 91 有且只有一个 公共点，则符合条件的直线的条数为( C ) A0 B2 C4 D无数 解析 通解：由题意可得直线的斜率一定存在， 设为 k，则直线方程为 ykx1， 代入双曲线方程整理得 (9k2)x22kx100 当 k 3 时，方程有一解，直线与双曲线只有一个公共点； 当 k 3 时，由 0 解得
27、k 10， 此时直线与双曲线相切，只有一个公共点，故符合条件的直线有 4 条，选项 C 正确 优解：由图形可知，过点 A(0,1)作与双曲线渐近线平行的直线有 2 条，作与双曲线相切的 直线也有两条，则与双曲线有且只有一个公共点的直线有 4 条，选项 C 正确 引申 1本例中，若过点 A 的直线与双曲线有两个交点，则直线斜率的取值范围为_( 3,3)_ 引申 2本例中，若将“A(0,1)”改为“A(1,0)”，则符合条件的直线有_3_条 引申 3本例中，若将“A(0,1)”改为“A(2,0)”，则符合条件的直线有_2_条 引申 4本例中，过点 A 与双曲线的左支有两个交点的直线斜率的取值范围为
28、_(3， 10)_ 解析 设直线方程为 ykx1， 由 ykx1， x2y 2 91 得(9k2)x22kx100 由 4k240(9k2)0，得 k 10，即 k切 10 结合图形可知 3k 10 注：或由 4k2409k20 x1x2 2k 9k20 x1x2 10 9k20 求解 引申 5本例中， 过双曲线左焦点且与左支有两个不同交点的直线斜率的取值范围为_( ，3)(3，)_ 名师点拨 1解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方 程组成方程组，消元后转化成关于 x(或 y)的一元二次方程，利用判别式和根与系数的关系求 解，注意整体代入 2有时利用数形结
29、合思想，根据直线的斜率 k 与渐近线的斜率或某切线的斜率的关系来 判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷 角度 2 弦的问题 例7 (1)(2021 山东师大附中模拟)过双曲线x2y 2 31的右焦点作直线l交双曲线A， B 两点，则满足|AB|6 的直线 l 有( B ) A4 条 B3 条 C2 条 D1 条 (2)以 A(2,1)为中点的双曲线 C：2x2y22 的弦所在直线的方程为_4xy70_ 解析 (1)当直线 l 的倾斜角为 90 时，|AB|2b 2 a 6；当直线 l 的倾斜角为 0 时，|AB|2 6故当直线 l 适当倾斜时，还可作出两条直线使得|AB|6故选 B (2)设弦
30、的端点分别为 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 2x21y212， 2x22y222 ，2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0， 又 MN 的中点为 A(2,1)，即 x1x24，y1y22， 4(x1x2)y1y2，即 kMN4， 所求直线方程为 y14(x2)，即 4xy70 名师点拨 (1)“中点弦”问题常用“点差法”求解，但求弦所在直线方程后应代回检验 (2)弦长问题用弦长公式求解，注意“焦点弦”的弦长与通径、实轴长间关系的应用如 本例(1)中双曲线实轴长为 2，通径长为 6，则满足|AB|m 的直线当 2m6 时有 2 条； 当 m6 时有 4 条；当 m2 时
31、有 1 条；当 0m2 有 0 条 变式训练 4 (1)如果直线 ykx1 与双曲线 x2y24 的右支有两个公共点，则 k 的取值范围是 _ 1， 5 2 _ (2)已知双曲线 x2y 2 31，过 P(2,1)点作一直线交双曲线于 A，B 两点，并使 P 为 AB 的中 点，则直线 AB 的方程为_6xy110_ 解析 (1)由 ykx1， x2y24 得(1k2)x22kx50， 由 4k220(1k2)0 得 k 5 2 ， 结合图形可知 1k 5 2 (2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 代入双曲线方程 3x2y23， 相减得直线 AB 的斜率 kABy1y2 x1x
32、2 3x1x2 y1y2 3x1x2 2 y1y2 2 32 1 6故所求直线的方程为 y16(x2)，即 6xy110 名师讲坛 素养提升 高考中的离心率问题 例 8 (1)(2021 广东六校联考)已知双曲线 ： x2 a2 y2 b21(a0， b0)的左焦点为 F( 5，0)，点 A 的坐标为(0,2)，点 P 为双曲线右支上的动点，且APF 周长的最小值为 8，则 双曲线的离心率为( D ) A 2 B 3 C2 D 5 (2)(2019 全国)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，过 C 的左焦点且垂直于 x 轴的直 线交 C 于 M，N 两点，若以 MN 为直
33、径的圆经过 C 的右焦点，则 C 的离心率为( A ) A 21 B2 C 3 D 2 (3)(2021 江西吉安五校联考)已知 F1，F2是双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左，右焦点， 若双曲线左支上存在一点 P 与点 F2关于直线 ybx a 对称，则该双曲线的离心率为( B ) A 5 2 B 5 C 2 D2 (4)(2021 天津南开区期末)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2， 点 M 在双曲线的左支上，且|MF2|7|MF1|，则此双曲线离心率的最大值为( A ) A4 3 B5 3 C2 D7 3 (5)(2021 安
34、徽省安庆一中模拟)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 ( D ) A(1,2) B(1,2 C(2，) D2，) 解析 (1)由题易知双曲线的右焦点 F1( 5，0)， 即 c 5，|AF|5223， 点 P 为双曲线右支上的动点，根据双曲线的定义可知|PF|PF1|2a，|PF|PF1|2a， 所以APF 周长为： |AF|AP|PF|AF|AP|PF1|2a， 当点 A，P，F1共线时，周长最小， 即|AF|AF1|2a8，解得 a1， 故离心率 e 5，故选 D
35、 (2)设双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左焦点为 F1，右焦点为 F2， 以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点， |F1M|F1F2|，b 2 a 2c， c2a22ac，e22e10，e1 2， e1，e 21，故选 A (3)由题意可知|OF1|OF2|OP|， PF2PF1，|PF2| |PF1| b a， 设|PF2|bx，则 x2(b2a2)4c2，x2， 又 2a|PF2|PF1|2(ba)，2ab， e1 b a 2 5，故选 B (4)由 |MF2|MF1|2a， |MF2|7|MF1| 知|MF1|a 3， a 3ca，e c a 4 3，故选 A
36、 (5)由题意可知b atan 60 3， e1 b a 22，故选 D 引申本例(5)中，若直线与双曲线的右支有两个交点，则离心率的取值范围是_(1,2)_； 若直线与双曲线左、右两支各有一个交点，则离心率的取值范围是_(2，)_ 名师点拨 求离心率的取值范围需构造 a、b、c 间的不等关系，一般从以下几方面入手：曲线的范 围；构造方程，借助判别式；数形结合 变式训练 5 (1)(2019 全国卷，12)设 F 为双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点，O 为坐标原 点， 以 OF 为直径的圆与圆 x2y2a2交于 P， Q 两点 若|PQ|OF|， 则 C 的离心率为
37、( A ) A 2 B 3 C2 D 5 (2)(2021 湖北武汉综合测试)过双曲线 C： x2 a2 y2 b21(a0， b0)左焦点 F 且垂直于 x 轴的 直线与双曲线交于 M、 N 两点， 以 MN 为直径的圆与 C 的渐近线相切， 则 C 的离心率为( C ) A 51 B 3 C 2 D 21 2 (3)(2021 东北三省四市模拟)已知矩形 ABCD，AB12，BC5，以 A，B 为焦点，且过 C， D 两点的双曲线的离心率为_3 2_ (4)(2019 新课标)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2， 过 F1的直线与 C 的
38、两条渐近线分别交于 A，B 两点若F1A AB ，F 1B F2B 0，则 C 的离心 率为_2_ 解析 (1)如图，连接 OP，|PQ|OF|c， PQ 过圆心 c 2，0 易得 P c 2， c 2 又|OP|a，a2 c 2 2 c 2 2c 2 2， c a 22，ec a 2故选 A (2)由题意知b 2 a b，即b a1， e1 b a 2 2，故选 C (3)由题意知：2cAB12， 即 c6，BD 1225213， 由双曲线定义可得 2aBDAD1358，a4， 双曲线的离心率为 ec a 3 2 (4)如图， F1A AB A 为 F 1B 的中点，且 O 为 F1F2的中点， AO 为F1F2B 的中位线， 又F1B F2B 0， F1BF2B，则 OBF1Oc 设 B(x1，y1)，A(x2，y2)， 点 B 在渐近线 yb ax 上， x21y21c2 y1b ax1 ，得 x1a y1b ， 又A 为 F1B 的中点， x2ca 2 y2b 2 ， A 在渐近线 yb ax 上， b 2 b a ac 2 ，得 c2a， 则双曲线的离心率 ec a2
