1、人教版人教版 数学数学 八年级八年级 下册下册 下面的图形中有你熟悉的吗？下面的图形中有你熟悉的吗？ 导入新知导入新知 越王勾践剑，一把在地下埋藏了越王勾践剑，一把在地下埋藏了2000多年的多年的 古剑，出土时依然寒气逼人，毫无锈蚀，锋利无比，古剑，出土时依然寒气逼人，毫无锈蚀，锋利无比， 稍一用力，便可将多层白纸划破，剑身上整齐排列稍一用力，便可将多层白纸划破，剑身上整齐排列 的黑色的黑色菱形菱形暗花纹暗花纹. . 导入新知导入新知 菱形有哪菱形有哪 些性质呢？些性质呢？ 1. 理解菱形的理解菱形的概念概念，会用菱形的性质解决简单，会用菱形的性质解决简单 的问题的问题. 2. 探索并证明菱形
2、的探索并证明菱形的性质定理性质定理. 素养目标素养目标 3. 经历类比矩形探究菱形性质的过程，通过观经历类比矩形探究菱形性质的过程，通过观 察、类比、猜想、证明等活动，体会几何图形察、类比、猜想、证明等活动，体会几何图形 研究的一般研究的一般步骤和方法步骤和方法. 两组对边两组对边 分别平行分别平行 平行平行 四边形四边形 矩形矩形 前面前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了如果平行四我们学习了平行四边形和矩形，知道了如果平行四 边形边形有一个角是直角有一个角是直角时时, ,成为什么图形成为什么图形? ?( (矩形 矩形, ,由角变化得到由角变化得到) ) 如果如果从边的角度从边的角度, ,将
3、平行四边形特殊化将平行四边形特殊化, ,让它让它有一组邻边有一组邻边 相等相等, ,这个特殊的四边形叫什么呢这个特殊的四边形叫什么呢? ? 四边形四边形 ? 探究新知探究新知 知识点 1菱形的定义菱形的定义 在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变 边边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？xxk 平行四边形平行四边形 有一组邻边相等的平行四边形有一组邻边相等的平行四边形 菱形菱形 邻边相等邻边相等 探究新知探究新知 有一组有一组 的的 邻边相等邻边相等 平行四边形平行四边形叫做叫做 A D C B 四边形四边形
4、ABCD是平行四边形，是平行四边形， AB=BC， 四边形四边形ABCD是菱形是菱形. 菱形菱形. 探究新知探究新知 菱形的定义：菱形的定义： 几何语言：几何语言： 菱形就在我们身边！菱形就在我们身边！ 探究新知探究新知 三菱汽车标志欣赏三菱汽车标志欣赏 探究新知探究新知 可以这样做：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿可以这样做：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿 图中的虚线剪下，打开即可图中的虚线剪下，打开即可. .你知道其中的道理吗？你知道其中的道理吗？ 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形 的纸片？的纸片？ 做一做做一做
5、 探究新知探究新知 知识点 2菱形边的性质菱形边的性质 画出菱形的两条折痕画出菱形的两条折痕, ,并并 通过折叠手中的图形回答以通过折叠手中的图形回答以 下问题：下问题： 探究新知探究新知 问题：问题：菱形的四菱形的四条条边在数量上有什么关系边在数量上有什么关系? ? 猜想：猜想：菱形的四条边都相等菱形的四条边都相等. . 已知：如图，在平行四边形已知：如图，在平行四边形ABCD中中，AB=AD， 对角线对角线AC与与BD相交相交于点于点O. 求证求证: :AB = BC = CD =AD. 证明：证明：四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形， AB = CD，AD = BC（平行四边
6、形的对边相等）（平行四边形的对边相等）. . 又又AB=AD, AB = BC = CD =AD. A B C O D 探究新知探究新知 探究新知探究新知 菱形的性质：菱形的性质： 菱形的菱形的四条边都相等四条边都相等. . BD A C 符号语言：符号语言： 四边形四边形ABCD是是菱形菱形, AB=BC=CD=AD. 已知已知菱形的周长是菱形的周长是36cm，那么它的边长是，那么它的边长是_. 巩固练习巩固练习 9cm 已知已知一个正方形花坛的周长是一个正方形花坛的周长是48m，菱形花坛的菱形花坛的 边长边长是正方形花坛边长的是正方形花坛边长的2倍，则菱形花坛的周倍，则菱形花坛的周 长是（
7、长是（ ） A.24m B.12m C.96m D.48m C 观察：观察：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚 线剪下，打开即得一个菱形线剪下，打开即得一个菱形. . 探究新知探究新知 知识点 3菱形对角线的性质菱形对角线的性质 操作：操作：在自己剪出的菱形上画出两条折痕在自己剪出的菱形上画出两条折痕, ,折叠手中的图折叠手中的图 形形( (如图），并回答以下问题如图），并回答以下问题: : 问题问题1 菱形菱形是轴对称图形吗是轴对称图形吗? ?如果是如果是, ,指出它的对称轴指出它的对称轴. . 是是，两条对角线所在直线都是它的对称轴，两
8、条对角线所在直线都是它的对称轴. . 问题问题2 根据根据上面折叠过程，上面折叠过程，菱形的菱形的两两条条对角线对角线有什么关系有什么关系? ? 猜想猜想: :菱形的两条对角线菱形的两条对角线互相垂直互相垂直，并且每一条对角线，并且每一条对角线平平 分分一组对角一组对角. . 探究新知探究新知 已知：如图，在平行四边形已知：如图，在平行四边形ABCD中中，AB=AD，对角线，对角线 AC与与BD相交相交于点于点O. . 求证求证: :ACBD；DAC=BAC，DCA=BCA， ADB=CDB，ABD=CBD. A B C O D 探究新知探究新知 证明：证明：AB = AD, ABD是等腰三角
9、形是等腰三角形. . 又又四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形, , OB = OD （平行四边形的对角线互相平分）（平行四边形的对角线互相平分）. . 在等腰三角形在等腰三角形ABD中中, , OB = OD， AOBD，AO平分平分BAD，即，即ACBD，DAC=BAC. 同理可证同理可证DCA=BCA， ADB=CDB，ABD=CBD. 探究新知探究新知 菱形的菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线两条对角线互相垂直，并且每一条对角线 平分一组对角平分一组对角. . BD A C 菱形的性质：菱形的性质： 符号语言符号语言: 四边形四边形ABCD是是菱形，菱形， ACBD ;
10、 AC平分平分BAD和和BCD ； BD平分平分ABC和和ADC. 对边相等对边相等 四个角都是直角四个角都是直角 对角线互对角线互 相平分且相平分且 相等相等 四边相等四边相等 对角相等对角相等 两条对角线互相两条对角线互相 垂直平分，并且垂直平分，并且 每一条对角线平每一条对角线平 分一组对角分一组对角 平行四边形的性质平行四边形的性质 矩形的性质矩形的性质 菱形的性质菱形的性质 对边相等对边相等 对角相等对角相等 对角线互相平分对角线互相平分 比一比，猜一猜，填写下表：比一比，猜一猜，填写下表： 探究新知探究新知 例例1 如图，在菱形如图，在菱形ABCD中，对角线中，对角线AC,BD相交
11、于点相交于点O，BD 12cm，AC6cm，求菱形的周长求菱形的周长 解：解：四边形四边形ABCD是菱形，是菱形， ACBD，AO AC，BO BD. AC6cm，BD12cm， AO3cm，BO6cm. 在在RtABO中，由中，由勾股定理勾股定理,得得 菱形的周长菱形的周长4AB4 (cm) 1 2 1 2 2222 363 5 cm .ABAOBO 3 512 5 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1利用菱形的性质求线段的长利用菱形的性质求线段的长 菱形菱形ABCD中中, ,O是两条对角线的交点，已知是两条对角线的交点，已知AB5cm, AO=4cm，求两对角线，求两对角线AC , BD
12、的长的长. . O C B D A 解：解：四边形四边形ABCD是是菱形菱形, , OA=OC，OB=OD, ACBD. RtAOB中，中，OB2+OA2=AB2, AB= 5， ，AO= 4, OB= 3. BD= 2OB = 6 cm， AC= 2OA = 8 cm. 5 4 3 巩固练习巩固练习 例例2 如图，如图，E为菱形为菱形ABCD边边BC上一点，且上一点，且AB=AE，AE交交 BD于于O，且且DAE=2BAE，求证：求证：OA=EB. A BC D O E 证明：证明：四边形四边形ABCD为菱形，为菱形， ADBC，AD=BA，ABCADC2ADB . DAEAEB. AB=A
13、E,ABCAEB. ABC=DAE. DAE2BAE， 又又ADBA ，AOD BEA . 素养考点素养考点 2利用菱形的性质求证线段相等利用菱形的性质求证线段相等 探究新知探究新知 AOBE . BAEADB. 如如图，在菱形图，在菱形ABCD中，中，CEAB于点于点E，CFAD于点于点F， 求证：求证：AEAF. 证明证明：连接连接AC. . 四边形四边形ABCD是菱形，是菱形， AC平分平分BAD， 即即BACDAC. CEAB，CFAD， AECAFC90. . 又又ACAC， ACE ACF. AEAF. 巩固练习巩固练习 菱形是特殊的平行四边形菱形是特殊的平行四边形, , 那么能否
14、利用那么能否利用平行四边形面积平行四边形面积 公式计算菱形的面积呢公式计算菱形的面积呢? ? 菱 形 A B C D O E 【思考思考】计算菱形的面积除了上式方法外计算菱形的面积除了上式方法外, ,利用对角利用对角 线能计算菱形的面积吗线能计算菱形的面积吗? ? 探究新知探究新知 知识点 4 菱形的面积菱形的面积 S菱形 菱形=BC AE. 如图，四边形如图，四边形ABCD是菱形，对角线是菱形，对角线AC，BD交于点交于点O, ,试用试用 对角线表示出菱形对角线表示出菱形ABCD的面积的面积. . A B C D O 解：解：四边形四边形ABCD是菱形，是菱形， ACBD. S菱形 菱形AB
15、CD = SABC + SADC = ACBO+ ACDO = AC(BO+DO) = ACBD. 1 2 1 2 菱形的面积菱形的面积 = = 底底高高 = = 对角线乘积的一半对角线乘积的一半 探究新知探究新知 1 2 1 2 例例 如图，菱形花坛如图，菱形花坛ABCD的边长为的边长为20m，ABC60，沿，沿 着菱形的对角线修建了两条小路着菱形的对角线修建了两条小路AC和和BD，求两条小路的长，求两条小路的长 和花坛的面积（结果分别精确到和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和和0.1m2）. . A B C D O 解：解：花坛花坛ABCD是菱形，是菱形， 1 10m 2 AOAB，
16、2222 201010 3 mBOABAO， 220m220 334.64 m .ACAOBDBO， 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1 利用菱形的面积公式解答问题利用菱形的面积公式解答问题 在在RtOAB中，中， 1 30 2 ACBDABOABC， . . 2 1 4200 3346.4 m 2 OABABCD SSAC BD 菱形 . . 菱形菱形ABCD的两条对角线的两条对角线BD，AC长分别是长分别是6cm和和8cm， 求菱形面积求菱形面积. C B D A O 解：解： 1 2 A B C D SA CB D 菱 形 24 巩固练习巩固练习 O 1 68 2 ( (cm2).)
17、. 1. 如图如图，菱形，菱形ABCD的对角线的对角线AC , BD的长分别为的长分别为6和和8， 则这个菱形的周长是（）则这个菱形的周长是（） A20 B24 C40 D48 连接中考连接中考 A O D C A B 连接中考连接中考 证明：证明：四边形四边形ABCD是菱形，是菱形， ADCD. 在在ADF和和CDE中，中， ADF CDE（SAS）. 12 2. 如如图，在菱形图，在菱形ABCD中，点中，点E，F分别为分别为AD，CD边上边上 的点，的点，DEDF，求证：，求证：12 ADCD， DD， DFDE， 1.如图，已知菱形的两条对角线分别为如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm
18、和和8cm，则这，则这 个菱形的高个菱形的高DE为（）为（） A.2.4cm B.4.8cm C.5cm D.9.6cm B 2.如图，在菱形如图，在菱形ABCD中，中，AC=8，BD=6，则，则ABD的的 周长等于（）周长等于（） A.18 B.16 C.15 D.14 B 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 3.如图，在菱形如图，在菱形ABCD中，已知中，已知A60，AB5，则，则ABD的的 周长是周长是 ( () ) A.10 B.12 C.15 D.20 C 4.如图，菱形如图，菱形ABCD的的周长为周长为48cm，对角线，对角线AC , BD相交于相交于O点，点，
19、E 是是AD的中点，连接的中点，连接OE，则线段，则线段OE的长为的长为_. 第第3题图题图 第第4题图题图 6cm 课堂检测课堂检测 A B C D O A B C D E 5.如图，在菱形如图，在菱形ABCD中，点中，点O为对角线为对角线AC与与BD的交点，且在的交点，且在 AOB中，中，OA5，OB12.求菱形求菱形ABCD两对边的距离两对边的距离h. 解：解：在在RtAOB中，中，OA5，OB12， S AOB OAOB 51230. S菱形 菱形ABCD 4S AOB 430120. 又又菱形两组对边的距离相等，菱形两组对边的距离相等， S菱形 菱形ABCD ABh13h，13h12
20、0，得得h . 2222 51213,ABAOBO 1 2 1 2 120 13 课堂检测课堂检测 A B C D O 如如图，在菱形图，在菱形ABCD中，中，ABC与与BAD的度数比为的度数比为1：2，周长，周长 是是8cm求求：（：（1）两条对角线的长度）两条对角线的长度；（；（2）菱形的面积）菱形的面积 解：解：（1）四边形四边形ABCD是菱形，是菱形， AB=BC，ACBD，ADBC. ABC+BAD=180. ABC与与BAD的度数比为的度数比为1：2， ABC= 180=60，ABO= ABC=30. ABC是等边三角形是等边三角形. . 1 2 1 3 课堂检测课堂检测 能 力
21、提 升 题能 力 提 升 题 O A B C D OA= AB=1cm，AC=AB=2cm. . BD=2OB= cm； （2）S菱形 菱形ABCD = ACBD = 2 = （cm2） 1 2 22 c3 mOBABOA 1 2 2 3 课堂检测课堂检测 菱形菱形ABCD的周长是的周长是8cm AB=2cm. . 2 3 2 3 1 2 O A B C D 如图如图，四边形，四边形ABCD是菱形，是菱形，F是是AB上一点，上一点，DF交交AC于于E 求证：求证：AFD=CBE 证明：证明：四边形四边形ABCD是菱形，是菱形， CB=CD， CA平分平分BCD BCE=DCE 又又 CE=CE
22、，BCE DCE（SAS） CBE=CDE 在菱形在菱形ABCD中，中，ABCD， AFD=EDC.AFD=CBE A D C B F E 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 菱形的菱形的 性质性质及及 有关计有关计 算算 菱菱 形形 的的 性性 质质 有关计算有关计算 边边 1. .周长周长= =边长的边长的四倍四倍; ; 2. .面积面积= =底高底高= =两条对两条对 角线乘积的角线乘积的一半一半 角角 对对 角角 线线 1. .两组对边两组对边平行且相等平行且相等； 2. .四条边四条边相等相等 两组对角分别相等，两组对角分别相等， 邻角互补邻角互补 1. .两条对角线互相两条对角线互相垂直平分垂直平分； 2. .每一条对角线每一条对角线平分平分一组对角一组对角 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
