1、北师大版北师大版 八年级八年级 数学数学 下下册册 导入新知导入新知 1.如如图，图，A、B表示两个仓库，要在表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一侧的河岸边建造 一个码头，一个码头，使它到两个仓库的距离相等使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么，码头应建在什么 位置位置? P N M 点点P是码头的位置是码头的位置 2.某某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、 B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何 处，才能使得它到三个小区的距离相等？处，才能使得它到三个小区的距离相等？ A
2、 B C 导入新知导入新知 1 1. .理解理解线段垂直平分线的线段垂直平分线的概念概念. . 2 2. .掌握掌握线段垂直平分线的线段垂直平分线的性质定理性质定理及及逆定理逆定理. . 素养目标素养目标 3.3.能能运用线段的垂直平分线的有关知识进行运用线段的垂直平分线的有关知识进行 证明证明或或计算计算. . 探究新知探究新知 思考：思考： 垂直底边，并且平分底边垂直底边，并且平分底边 AD所在的直线即所在的直线即线段线段BC的的垂直垂直 平分线平分线 等腰三角形顶角平分线有哪些性质？等腰三角形顶角平分线有哪些性质？ 垂直且平分一条线段的直线是这垂直且平分一条线段的直线是这 条线段的垂直平
3、分线条线段的垂直平分线. 知识知识点点1线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质 A BC D 探究新知探究新知 观察：观察： 已知已知点点A与点与点A关于直线关于直线l 对称，如果线段对称，如果线段AA沿直沿直 线线l折叠，则点折叠，则点A与点与点A重合，重合，AD=AD，1=2= 90， 即直线即直线l 既平分线段既平分线段AA，又垂直线段，又垂直线段AA. l A A D 21 (A) 由上可知由上可知： 线段线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 如如图，直线图，直线l垂直平分线段垂直平分线段AB，P1，P2，P3， ，是 是l 上的
4、点，上的点， 请你量一量线段请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你的长，你 能发现什么？请猜想点能发现什么？请猜想点P1，P2，P3， ， 到点 到点A 与点与点B 的距离之的距离之 间的数量关系间的数量关系 AB l P1 P2 P3 P1A _P1B P2A _ P2B P3A _ P3B 探究发现：探究发现： 探究新知探究新知 猜想：猜想： 点点P1，P2，P3， ， 到点 到点A 与点与点B 的距离分别的距离分别相等相等 线段线段垂直平分线上的垂直平分线上的点到这点到这条线段两个端点的距离相等条线段两个端点的距离相等. 由此你能得到什么结论？由此你能得到什
5、么结论？ 探究新知探究新知 你能验证这一你能验证这一 结论吗？结论吗？ 如图，直线如图，直线lAB，垂足为，垂足为C，AC =CB，点，点P 在在l 上上 求证：求证：PA =PB 证明：证明：lAB， PCA =PCB 又又 AC =CB，PC =PC， PCA PCB（SAS） PA =PB P AB l C 猜想证明：猜想证明： 探究新知探究新知 文字语言：文字语言： 线段线段垂直平分线上的点垂直平分线上的点到这条到这条线段两线段两个个端端 点点的的距离距离相等相等 线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线的性质定理结论结论 几何语言：几何语言： P在线段在线段AB的垂直平分线上，的垂直平
6、分线上， PA=PB. P AB 探究新知探究新知 线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线的性质定理素养素养考点考点 1 探究新知探究新知 如如图图,在四边形在四边形ABCD中中,AC垂直平分垂直平分BD,垂足为垂足为E,下下 列结论不一定成立的列结论不一定成立的是是 ( ( ) ) 例例 A.AB=AD B.AC平分平分BCD C.AB=BD D.BEC DEC C 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 如如图图,在在RtABC中中,BAC=90,ADBC于点于点D,将将AB边边 沿沿AD折叠折叠,发现发现B点的对应点点的对应点E正好在正好在AC的的垂直平分线上垂直平分线上, 则则C=_. 3
7、0 思考：思考： 知识知识点点2 线段垂直平分线线段垂直平分线的判定的判定 定理：定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的 距离相等距离相等. 逆逆 命命 题题 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直 平分线上平分线上. 它是真命题吗？你能证明吗？它是真命题吗？你能证明吗？ 探究新知探究新知 如果如果PA=PB,那么点那么点P是否在线段是否在线段AB的垂直平分线上呢？的垂直平分线上呢？ 记得要分点记得要分点P在线段在线段AB上及上及 线段线段AB外两种情况来讨论外两种情况来讨论 想一想：想一
8、想： 探究新知探究新知 （1）当点当点P在线段在线段AB上时上时， PA=PB， 点点P为线段为线段AB的中点，的中点， 显然此时点显然此时点P在线段在线段AB的垂直平分线上；的垂直平分线上； （2）当点当点P在线段在线段AB外时外时，如右图所示，如右图所示. PA=PB，PAB是等腰三角形是等腰三角形. 过顶点过顶点P作作PCAB，垂足为点，垂足为点C， 底边底边AB上的高上的高PC也是底边也是底边AB上的中线上的中线. 即即 PCAB，且，且AC=BC. 直线直线PC是线段是线段AB的垂直平分线，的垂直平分线， 此时点此时点P也在线段也在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上. 证明：证明：
9、 探究新知探究新知 文字语言：文字语言： 到到一条线段两个端点一条线段两个端点距离相等的点距离相等的点， 在这条线段的在这条线段的垂直平分线上垂直平分线上. 线段垂直平分线的判定定理线段垂直平分线的判定定理结论结论 几何语言几何语言： PA=PB， 点点P在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上. P AB 作用：作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上判断一个点是否在线段的垂直平分线上. . 探究新知探究新知 线段垂直平分线的判定定理线段垂直平分线的判定定理素养素养考点考点 2 探究新知探究新知 已知已知：如图，在：如图，在ABC中，中，ABAC，O是是ABC内一内一 点，且点，且OBO
10、C.求证：直线求证：直线AO垂直平分线段垂直平分线段BC. 例 证明：证明：ABAC， 点点A在线段在线段BC的的垂直平分线垂直平分线上（到一条线段上（到一条线段 两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平 分线上）分线上）. 同理，点同理，点O在线段在线段BC的垂直平分线上的垂直平分线上. 直线直线AO是线段是线段BC的垂直平分线（两点确定的垂直平分线（两点确定 一条直线）一条直线）. 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 已知已知：如图，点：如图，点E是是AOB的平分线上一点的平分线上一点， ECOA,EDOB,垂足分别为垂足分别为C,D，连接，连接CD
11、. 求证：求证：OE是是CD的垂直平分线的垂直平分线. A B O E D C 证明：证明： OE平分平分AOB,ECOA,EDOB, DE=CE. OE是是CD的垂直平分线的垂直平分线. 在在RtEDO和和RtECO中，中，EDEC，OEOE RtEDO RtECO（HL）. ODOC O，E都在都在CD的垂直平分线的垂直平分线上，上， 连接中考连接中考 （2020益阳）如图，在益阳）如图，在ABC中，中，AC的垂直平分线交的垂直平分线交AB于点于点 D，DC平分平分ACB，若，若A=50，则，则B的度数为（的度数为（ ） B A.25 B.30 C.35 D.40 1. 如如图图,在在AB
12、C中中,AB=5,AC=6,BC=4,边边AB的的垂直平分线垂直平分线 交交AC于点于点D,则则BDC的周长是的周长是( ( ) ) A.8B.9C.10D.11 C 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 2. 如如图图,在四边形在四边形ABCD中中,E为为AB的中点的中点,DEAB于于点点 E,A=66,ABC=90,BC=AD,则则C的大小为的大小为_. 78 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 3. 如图所如图所示，在示，在ABC中，中，BC=8cm,边边AB的垂直平分线的垂直平分线 交交AB于点于点D，交边，交边AC于点于点E, BCE的周长等于的
13、周长等于18cm,则则 AC的长的长是是 . 10cmA B C D E 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 4.下列下列说法：说法： 若点若点P、E是线段是线段AB的垂直平分线上两点，则的垂直平分线上两点，则EAEB， PAPB； 若若PAPB，EAEB，则直线，则直线PE垂直平分线段垂直平分线段AB； 若若PAPB，则点，则点P必是线段必是线段AB的垂直平分线上的点；的垂直平分线上的点； 若若EAEB，则经过点，则经过点E的直线垂直平分线段的直线垂直平分线段AB 其中正确的有其中正确的有 （填序号）（填序号）. 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 5
14、.两两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形. 如图如图,在四边形在四边形ABCD中中,AB=AD,BC=DC,AC与与 BD相交于点相交于点O,下列下列判断正确的有判断正确的有(填序填序 号号). ACBD;AC,BD互相平分互相平分;CA平分平分 BCD. 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 1.如如图图,在在ABC中中,AB=AC,A=40, ( (1) )作边作边AB的垂直平分线的垂直平分线MN.(保留保留作图痕作图痕 迹迹,不写作法不写作法) 解解: :如图如图: 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 ( (2)
15、 )在已知的图中在已知的图中,若若MN交交AC于点于点D,连接连接BD,求求DBC的度数的度数. 解解: : AB的垂直平分线的垂直平分线MN交交AC于点于点D,AD=BD, A=40,ABD=A=40, AB=AC, ABC=C= (180-A)=70, DBC=ABC-ABD=70-40=30. 1 2 课堂检测课堂检测 2.如如图图,在在ABC中中,BD是是ABC的平分线的平分线,EF垂直平分垂直平分BD. 求证求证:ABDF. 证明证明: :EF垂直平分垂直平分BD, FB=FD,FBD=BDF, BD是是ABC的平分线的平分线, ABD=FBD, ABD=BDF,ABDF. 课堂检测
16、课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 在在ABC中中,AB=AC,AB的垂直平分线与的垂直平分线与AC所在的直线相所在的直线相 交所得到锐角为交所得到锐角为50,则则B等于等于. 解：解：根据根据ABC中中A为锐角与钝角为锐角与钝角,分为两种情况分为两种情况: 当当A为锐角时为锐角时, AB的垂直平分线与的垂直平分线与AC所在的直线所在的直线 相交所得到锐角为相交所得到锐角为50,A=40, B= =70; 18018040 22 A 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 当当A为钝角时为钝角时, AB的垂直平分线与的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角所在的直
17、线相交所得到锐角为为50, 1=40,BAC=140, B=C= =20. 综上所述，综上所述，B等于等于70或或20. 180140 2 课堂检测课堂检测 课堂小结课堂小结 线段的线段的垂直平垂直平 分分线线的的性质和性质和 判定判定 性质性质 到线段的两个端点到线段的两个端点距离相等的点距离相等的点在在 线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上 内容内容 判定判定 内容内容 作用作用 线段的线段的垂直平分线上的点垂直平分线上的点到线段的到线段的 两个端点的两个端点的距离相等距离相等 作用作用 见垂直平分线，得线段相等见垂直平分线，得线段相等 判断一个点是否在线段的垂直平分判断一个点是否在线段的垂直平分 线上线上 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
