1、第二十八讲等差数列 回归课本 1.等差数列的定义及等差中项 (1)如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一 个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫等差数 列的公差,通常用字母d表示.定义的表达式为a - n+1 a =d(nN*). n (2)对于正整数m、n、p、q,若m+n=p+q,则等差数列中a 、 m a 、a 、a 的关系为a +a =a +a ;如果a,A,b成等差数列, npqmnpq a b 那么A叫做a与b的等差中项,其中 A . 2 2.等差数列的通项公式及前n项和公式 等差数列的通项公式为a =a +(n-1)d;前n项和公式为S = n1n n(a
2、a ) n(n 1) 1n d.或 2 2 3.等差数列的性质 (1)等差数列的通项是关于自然数n的一次函数(d0).(n,a )是 n 直线上的一群孤立的点,a =an+b(a、b是常数)是a 成等 nn 差数列的充要条件. (2)等差数列a 的首项是a ,公差为d.若其前n项之和可以写 n1 dd A , B a ,成S =An2+Bn,则当d0时它表示二 n 1 22 次函数,数列a 的前n项和S =An2+Bn是a 成等差数列 nnn 的充要条件. (3)等差数列的增减性,d0时为递增数列,且当a 0时前n项 1 和S 有最小值.d0时前n项和S 有 n1n 最大值. 4.与等差数列有
3、关的结论 (1)若数列a 和b 是等差数列,则ma +kb 仍为等差数列, nnnn 其中m,k为常数. (2)等差数列中依次k项和成等差数列,即S ,S -S ,S -S , k 2k k 3k 2k 成等差数列,且公差为k2d(d是原数列公差). (3)项数为偶数2n的等差数列a ,有 n S =n(a +a )=n(a +a )(a 与a 为中间的两项); 2n12nnn+1nn+1 S 奇a S -S =nd; . n 偶奇 S an1 偶 (4)项数为奇数2n-1的等差数列a ,有 S 奇 n n . S =(2n-1)a (a 为中间项);S -S =a ; S n 12n-1n
4、n 奇偶n 偶 S S 分别为数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和. 奇偶 5.与等差数列有关的规律 (1)等差数列a 中,若a =m,a =n(mn),则a =0. nnmm+n (2)等差数列a 中,若S =m,S =n(mn),则S =-(m+n). nnmm+n (3)等差数列a 中,若S =S (mn),则S =0. nnmm+n (4)若a 与b 均为等差数列,且前n项和分别为S 与S ,则 nnnn a S 2m1 . m b S m2m1 6.等差数列的判定方法 (1)定义法:a -a =d(常数)a 是等差数列. n+1 nn (2)中项公式法:2a =a +a (nN*)a
5、 是等差数列. n+1nn+2n (3)通项公式法:a =pn+q(p,q为常数)a 是等差数列. nn (4)前n项和公式法:S =An2+Bn(A,B为常数)a 是等差数 nn 列. 考点陪练 1.设a 是等差数列,若a =3,a =13,则数列a 前8项的和为( n27n ) A.128 B.80 C.64D.56 a d 3, 1 解得a 1, d 2, 解析:由 1 a 6d 1 3, 1 87 S 8a d 64. 81 2 答案:C 2.(2010山东烟台高三诊断)在等差数列a 中,若前5项和 n S =20,则a 等于() 53 A.4 C.2 B.-4 D.-2 解析:S =
6、a +a +a +a +a =5a =20.a =4. 51234533 答案:A 3.(2010辽宁大连高三一模)在等差数列a 中,若 n 1 a +a +a +a +a =120,则a - a 的值为( ) 4681012911 3 A.14B.15 C.16D.17 解析:a a a a a 120.5a 120. 46810128 a 24. 8 1122 1 a a a 8d a 10 d a 7d a 1 6. 911118 3333 答案:C 4.在数列a 中,a =1,a =5,a =a -a (nN*),则a 等于( n12n+2n+1 n1000 ) A.5 C.1 B.-
7、5 D.-1 解析:解法一:a =1,a =5,a =a -a (nN*)可得该数列为 12n+2n+1 n 1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4, 由此可得a =-1. 1000 解法二:a =a -a ,a =a -a (nN*),两式相加可得 n+2n+1 n n+3n+2 n+1 a =-a ,a =a , n+3n n+6n a =a=a =-a =-1. 10001666+441 答案:D 1 已知数列 对于任意 、 a * 有 p q N , a a a , a , 若 5. npqpq1 9 则a ( ) 36 3734 9 A.B. D.9 9 C.4 1 解析:由a a
8、 a 得a a a ,即a a a , pqpqn1n1n1n1 9 111 故数列 a 是公差为 的等差数列,a 35 4, n36 999 故选C. 答案:C 类型一等差数列的判断与证明 解题准备:证明一个数列a 为等差数列的基本方法有两种: n (1)利用等差数列的定义证明,即证明a -a =d(nN*); n+1 n (2)利用等差中项证明,即证明a +a =2a (nN*). n+2nn+1 注意:在选择方法时,要根据题目的特点,如果能够求出数列的 通项公式,则可以利用定义法,否则,可以利用等差中项法. 【典例1】已知数列a 的通项公式a =pn2+qn(p、qR,且 nn p、q为
9、常数). (1)当p和q满足什么条件时,数列a 是等差数列; n (2)求证:对任意实数p和q,数列a -a 是等差数列. n+1 n 解(1)a -a =p(n+1)2+q(n+1)-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使 n+1 n a 是等差数列,则2pn+p+q应是一个与n无关的常数,所以 n 只有2p=0,即p=0. 故当p=0时,数列a 是等差数列. n (2)证明:a -a =2pn+p+q, n+1 n a -a =2p(n+1)+p+q, n+2 n+1 而(a -a )-(a -a )=2p为一个常数. n+2 n+1n+1 n a -a 是等差数列. n+1 n 类型二等
10、差数列的基本量运算 解题准备:等差数列a 中,a 和d是两个基本量,用它们可以 n1 表示数列中的任何一项,利用等差数列的通项公式与前n项 和公式,列方程组解a 和d,是解决等差数列问题的常用方法 1 ; 由a ,d,n,a ,S 这五个量中的三个量可求出其余两个量,需 1n n 选用恰当的公式,利用方程组观点求解. 【典例2】已知等差数列a 中,a =8,前10项和S =185. n210 (1)求数列a 的通项公式a ; nn (2)若从数列a 中依次取出第2,4,8,2n,项,按原来的顺序 n 排成一个新的数列,试求新数列的前n项和A . n 解 1 设数列 a 的公差为d,由a 8,
11、S 185得 n210 a d 8, 1 10 9 10a d 185, 1 2 a 5, 1 a 3n 2. n d 3. (2)A =a +a +a +a n2482n =(32+2)+(34+2)+(38+2)+(32n+2) =3(2+4+8+2n)+2n 2(1 2 ) n =3 +2n=32n+1+2n-6. 1 2 反思感悟先求出数列的通项公式,然后用通项公式表示出新 数列中的各项,再求和. 类型三等差数列的性质及应用 解题准备:若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则 a +a =a +a ,S ,S -S ,S -S ,构成的是公差为k2d的 mnpq k 2k k 3k
12、2k 等差数列,从中我们可以体会运用性质解决问题的方便与 简捷,应注意运用. 【典例3】在等差数列中,S 表示a 的前n项和, nn (1)a +a =10,求S 的值; 31719 (2)a +a +a +a =124,a +a +a +a =156,S =210,求项数 1234nn-1n-2n-3n n; (3)S =1,S =4,求a +a +a +a 的值. 4817181920 (a a )19 (a a )19 10 19 解 1 S 95. 119317 19 222 2 a a a a a a a a 1234nn1n2n3 a a a a a a a a 1n2n13n24
13、n3 4 a a 280a a 70. 1n1n (a a )n 而S 210n 6. 1n n 2 (3)S ,S -S ,S -S ,S -S ,S -S 成等差数列,又S =1,S - 4 8 4 12 8 16 12 20 1648 S =3. 4 新的数列前5项分别为1,3,5,7,9. S -S =a +a +a +a =9. 20 1617181920 类型四等差数列前n项和的最值问题 解题准备:求等差数列前n项和S 的最值问题,主要有以下方 n 法:二次函数法:将S 看作关于n的二次函数,运用配方法, n 借助函数的单调性及数形结合,使问题得解; 通项公式法:求使a 0(或a
14、0)成立的最大n值即可得S 的 nnn 最大(或最小)值; S S , 不等式法:借助S 最大时,有解此不 n1 n n S S , nn1 等式组确定n的范围,进而确定n的值和对应S 的值(即S 的最 nn 值). 【典例4】已知数列a 满足2a =a +a (nN*),它的前n nn+1nn+2 项和为S ,且a =10,S =72. n36 1 若b = a -30,求数列b 的前n项和的最小值. nnn 2 分析先判断a 是等差数列,求a ,再求b ,由b 的通项研究 nnnn 数列b 的前n项和的最值. n 解2a =a +a , n+1nn+2 a 是等差数列, n 设a 的首项为
15、a ,公差为d, n1 a 2d 10 由a =10,S =72,得 1 36 , 6a 15d 72 1 a 2 1 , a 4n 2. d 4 n 1 则b a 30 2n 31. nn 2 2n 31 02931 解,得 n . 2(n 1) 3 10 22 * n 15. b 前15项为负值, n S 最 小,可知b 29, d 2, 151 15(29 215 3 1) 15(60 30) S 225. 15 22 反思感悟除上面方法外,还可将a 的前n项和的最值问题 n 看作S 关于n的二次函数问题,利用二次函数的图象或配方 n 法求解. 错源一忽略数列项数 【典例1】已知数列a
16、的前n项和S =10n-n2(nN ),求数列 nn+ |a |的前n项和T . nn 错解当n=1时,a =S =9; 11 当n2时,a =S -S =11-2n. nn n-1 由于n=1时,a =9也满足a =11-2n, 1n 因此a =11-2n. n 11 由11-2n0,得 n . 2 即从第6项开始数列各项为负,那么 T =|a |+|a |+|a | n12n =-(a +a +a )+2(a +a +a ) 12n125 =-S +2S =n2-10n+2(105-52) n5 =n2-10n+50. 剖析错解中忽视了“项数”,默认了n5,事实上,n完全可以 小于或等于5
17、.显然,当n5时,结论就是错的. 正解对n进行分类: (1)由上述可知a =11-2n. n 当n5时,同上述错解,得T =n2-10n+50; n (2)当n5时, T =|a |+|a |+|a | n12n =a +a +a =10n-n2. 12n 10n n 2 (n5), 综合 1 2 得T n 2 n 10n 50 (n 5). 错源二忽略为零的项 【典例2】在等差数列a 中,已知a =10,前n项和为S ,且 n1n S =S ,求n取何值时,S 有最大值,并求出最大值. 1015n 错解设公差为d,由S S ,得 1015 1091514 10a d 15a d. 11 22
18、 5 将a 10代入,得d . 1 6 5 6 那么a a n 1 d 10 n 1 n1 5 6 由a 0,即10 n 1 0,得n 1 3. n 因此当n 12时,S 有最大值,其值为 n 12111211 5 S 12a d 1210 65. 2 6 121 2 剖析这是一个首项为正的递减的等差数列,零是这个数列的 5 6 5 项吗?由于a =10,d= ,得10+(13-1) 也0, 1 6 就是说零是这个数列的第13项,于是答案就出错了. 5 0, 即数列a 是一个首项为正的 正解由于a =100,d= 1n 6 递减的等差数列,又由于a =0,由上述解法可知,该数列的 13 前12
19、或13项的和最大,其值为65. 错源三对数列的有关概念理解有误 【典例3】已知数列a 是递增数列,且对于任意的 n nN ,a =n2+n恒成立,则实数的取值范围是_. + n 错解因为a =n2+n是关于n的二次函数,且n1,所以 1,解 n 2 得-2. 剖析数列是以正整数N (或它的有限子集1,2,)为定义域 + 的函数,因此它的图象只是一些孤立的点,满足条件的此数 列的点分布如图. 3 正解解法一:由图分析得, ,所以-3. 2 2 解法二:由a 是递增数列,得a a 对nN 恒成立, nnn+1+ 即n2+n-(2n+1). 而-(2n+1)-3,所以-3. 答案(-3,+) 技法一
20、活用变式,出奇制胜 【典例1】已知等差数列a 中,a =q,a =p(qp),求a . npqp+q 解题切入点由等差数列的通项公式a =a +(n-1)d可得变式: n1 a a n m a =a +(n-m)d或 d nm (nm),利用此变式可 nm 快速求解. 解解法一:由变式得:q=p+(p-q)d, 所以d=-1. 所以a =a +(p+q-p)d=q+q(-1)=0. p+qp 解法二:由变式得: a a a a pq pqp ,d p q p q p a qq p p q pq d ,所以a =0.所以 p+q q 解法三:因为a =a +(n-1)d,所以点(n,a )在一条
21、直线上. n1n 不妨设pq时,同理可得a =0. p+q 方法与技巧在解题时,巧妙地利用等差数列的变式,常常能 出奇制胜,达到简捷明快的目的. 技法二设而不求,化繁为简 【典例2】在等差数列a 中,S =S (mn),求S . nmnm+n 解设 a 的公差为d ,由题意得 n m(m 1)n(n 1) ma d na d, 11 22 d (m n)a (m n)(m n 1) 0. 1 2 因为m n,所以m n 0,所以 (m n 1) a d 0. 1 2 (m n)(m n 1) 所以S m n a d 0. mn1 2 方法与技巧在解有关等差数列习题时,设出其基本量a ,d, 1 利用设而不求,整体代入能使题目避繁就简.
