1、第三讲 简单的逻辑联结词 全称 量词与存在量词 共 43 页1 回归课本 共 43 页2 1.逻辑联结词 命题中的或 且 非叫逻辑联结词. 共 43 页3 2.命题pq,pq,p的真假判断 pqpq 真 pq 真 p 假 假 真 真 真 真 假 假 真 假 真 假 假真 假真 假假 共 43 页4 注意:p与q全真时,pq为真,否则,pq为假. p与q全假时,pq为假,否则,pq为真. p与p必定是一真一假. 共 43 页5 3.全称量词 存在量词 (1)全称量词 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词, 并用符号表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题,全称 命题“对M中任意一个x
2、,有p(x)成立”,简记作xM,p(x). 共 43 页6 (2)存在量词 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量 词,并用符号表示.含有存在量词的命题,叫做特称命题,特 称命题“存在M中的元素x ,使p(x )成立”,简记作 00 x M,p(x ). 00 (3)两种命题的关系 全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题. 注意:同一个全称命题 特称命题,由于自然语言的不同,可能 有不同的表述方法,在实际应用中可以灵活地选择. 共 43 页7 特称命题 “xA,p(x)” 存在xA,使 p(x)成立 全称命题“xA,p(x)” 对所有的xA,p(x)成立 对一切xA,
3、p(x)成立 命题 至少有一个 xA,使p(x)成立 表述 方法 对有些xA,使 p(x)成立 对每一个xA,p(x)成立 任选一个xA,p(x)成立 凡xA,都有p(x)成立 对某个xA,使 p(x)成立 有一个xA,使 p(x)成立 共 43 页8 考点陪练 1.(2010威海模拟题)已知命题p:xR,cosx1,则( ) A.p:x R,cosx 1 00 B.p:xR,cosx1 C.p:x R,cosx 1 00 D.p:xR,cosx1 共 43 页9 解析:全称量词的否定应为存在量词,所以命题 p:xR,cosx1的否命题是x R,cosx 1. 00 答案:C 共 43 页10
4、 2.(2010广州联考题)若函数f(x),g(x)的定义域和值域都是R, 则“f(x)g(x),xR”成立的充要条件是( ) A. x R,使得f(x )g(x ) 000 B.不存在任何实数x,使得f(x)g(x) C.xR,都有f(x)+g(x) D.存在无数多个实数x,使得f(x)g(x) 共 43 页11 解析:f(x)g(x),xR的含义即对任意的实数,都有f(x)0 C.xR,lgx0 D.xR,tanx=2 解析:对于选项B,当x=1时,结论不成立,故选B. 答案:B 共 43 页14 5.(2010辽宁)已知a0,函数f(x)=ax2+bx+c.若x 满足关于x 0 的方程2
5、ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是( ) A.xR,f(x)f(x )B.xR,f(x)f(x ) 00 C.xR,f(x)f(x )D.xR,f(x)f(x ) 00 共 43 页15 b 解析:由题知:x0为函数f(x)图象的对称轴方程,所 2a 以f(x )为函数的最小值,即对所有的实数x,都有f(x)f(x ),因 00 此xR,f(x)f(x )是错误的,选C. 0 答案:C 共 43 页16 类型一含有逻辑联结词的命题真假判定 解题准备:解决该类问题基本步骤为: 1.弄清构成它的命题p q的真假; 2.弄清它的结构形式; 3.根据真值表判断构成新命题的真假. 共 43 页
6、17 【典例1】 已知命题p:xR,使tanx=1,命题q:x2-3x+20 的解集是x|1x2,下列结论: 命题“pq”是真命题; 命题“pq”是假命题; 命题“pq”是真命题; 命题“pq”是假命题. 其中正确的是( ) A.B. C.D. 共 43 页18 解 先判断命题p和q的真假,再对各个用逻辑联结词联结的 命题进行真假判断. 命题p:xR,使tanx=1正确,命题q:x2-3x+20的解集是 x|1x0;(2)xN,x41;(3)xZ,x30,即x2+20. 所以命题“xR,x2+20”是真命题. (2)由于0N,当x=0时,x41不成立.所以命题“xN,x41” 是假命题. (3
7、)由于-1Z,当x=-1时,能使x31.所以命题“xZ,x30. 共 43 页27 否定 任意.再否定判断词. 分析 先否定量词:存在 解 (1)非p:存在一个有理数不是实数.为假命题,属特称命题. (2)非p:所有的三角形都不是直角三角形.为假命题,属全称命 题. (3)非p:有些二次函数的图象与y轴不相交.为真命题,属特称命 题. (4)非p:xR,x2-2x0.为真命题,属特称命题. 共 43 页28 反思感悟 只否定全称量词和存在量词,或只否定判断词,因 否定不全面或否定词不准确而致错. 从以上的符号语言和例子可以看出,对全称命题的否定,在否 定判断词时,还要否定全称量词,变为特称命题
8、.对特称命题 的否定,在否定判断词时,也要否定存在量词. 共 43 页29 类型四 与逻辑联结词 全称量词 存在量词有关的命题中参 数范围的确定 解题准备:1.由简单命题的真假可判断复合命题的真假,反之, 由复合命题的真假也能判断构成该复合命题的简单命题的 真假.利用简单命题的真假分别求出参数满足的条件,再取 二者的交集即可. 共 43 页30 2.此类题目经常与函数 不等式等知识相联系,要注意分类讨 论思想的应用. 【典例4】 已知两个命题 r(x):sinx+cosxm,s(x):x2+mx+10.如果对 xR,r(x)s(x)为假,r(x)s(x)为真,求实数m的取值范 围. 分析 由题
9、意可知,r(x)与s(x)有且只有一个是真命题,所以可 先求出对xR时,r(x),s(x)都是真命题时m的范围,再由 要求分情况讨论出所求m的范围. 共 43 页31 解osx 2sinx 2, 4 当r x 是真命题时,m 2. R,s x 又 对 2 恒成立, 为真命题,即x mx 1 0 有 m 4 0, 2 m 2. r x 2 当 为真 为假时,s x, m 2 ,同时m 2或m2,即m 2,当r x 为假, s x 为真时,m 2且 2 m 2,即 2m 2. 综上,实数m的取值范围是m 2或 2m 2. 共 43 页32 反思感悟 解决这类问题时,应先根据题目条件,推出每一个 命
10、题的真假(有时不一定只有一种情况),然后再求出每个命 题是真命题时参数的取值范围,最后根据每个命题的真假 情况,求出参数的取值范围. 共 43 页33 错源一错误理解命题的否定 【典例1】 已知命题p:函数f(x)=-(5-2m)x是减函数.若p为真 命题,求实数m的取值范围. 共 43 页34 错解 命题p:f(x)=-(5-2m)x是减函数, p:函数f(x)=-(5-2m)x为增函数, 5 ,05-2m1,21, m0 D.对任意的xR,x3-x2+1”,可能的 错误是“顾此失彼”,忽略了细节. 正解 题目中命题的意思是“对任意的xR,x3-x2+10都成 立”,要否定它,只要能找到至少
11、一个x,使得x3-x2+10即可, 故命题“对任意的xR,x3-x2+10”的否定是“存在 xR,x3-x2+10”,故选C. 答案 C 共 43 页39 评析含有量词的命题的否定方法: 对全称命题的否定,在否定判断词时,还要否定全称量词,变为 特称命题.特别要注意的是,由于有的命题的全称量词往往 可以省略不写,从而在进行命题否定时易将全称命题只否 定判断词,而不否定省略了的全称量词. 共 43 页40 技法 综合法 【典例】 (2010合肥第一次质检)下列命题: xR,不等式x2+2x4x-3均成立; 若log x+log 22,则x1; 2x c c “若ab0且c0,则 命题; ” 的逆否命题是真 a b 共 43 页41 若命题p:xR,x2+11,命题q:xR,x2-x-10,则命题 pq是真命题.其中真命题为( ) A. C. B. D. 共 43 页42 2 2 2 解由x 2x 4x 3推得x 2x 3 x 1 2 0恒成立, 故正确;根据基本不等式可知要使不等式log x log 22 2x 1 1 成立需要x 1,故正确;由a b 0得0 ,又c 0,可得 a b c c ,则可知其逆否命题为真命题,故正确;命题p是真命题, a b 命题q是真命题,所以p q为假命题.所以选A. 答案 A 共 43 页43
