1、2021 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学乙卷乙卷 注意事项：注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答 案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1.设 2（z+）+3(z-)=4+6i，则 z=( ). A.1-2i B.1+2i C.1+i D.1-
2、i 2.已知集合 S=s|s=2n+1,nZ ，T=t|t=4n+1,nZ ，则 ST=( ) A. B.S C.T D.Z 3.已知命题 p：xR，sinx1；命题 q：xR，|1，则下列命题中为真命 题的是（ ） A.pq B.pq C.p q D.(pVq) 4.设函数 f(x)=1 1+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 5.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，P 为 B1D1的中点，则直线 PB 与 AD1所成的角为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 6.将 5 名北京冬奥会志愿者分
3、配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项目进 行培训，每名志愿者只分到 1 个项目，每个项目至少分配 1 名志愿者，则不同的 分配方案共有（ ） A.60 种 B.120 种 C.240 种 D.480 种 7.把函数 y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2倍，纵坐标不变，再把所 得曲线向右平移 3个单位长度，得到函数 y=sin(x- 4)的图像，则 f(x)=（ ） A.sin( 2 7 12) B. sin( 2 + 12) C. sin(2 7 12) D. sin(2 + 12) 8.在区间（0,1）与（1,2）中各随机取 1 个数，则两数之和大于7 4的概率为（ ）
4、 A. 7 4 B. 23 32 C. 9 32 D. 2 9 9.魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是测量 海盗的高。如图，点 E,H,G 在水平线 AC 上，DE 和 FG 是两个垂直于水平面且等 高的测量标杆的高度，称为“表高” ，EG 称为“表距” ，GC 和 EH 都称为“表目 距” ，GC 与 EH 的差称为“表目距的差” 。则海岛的高 AB=（ ）. A： 表高表距 表目距的差 +表高 B： 表高表距 表目距的差 表高 C： 表高表距 表目距的差 +表距 D： 表高表距 表目距的差 表距 10.设 a0，若 x=a 为函数f(x) = a(x a)2(x
5、b)的极大值点，则（ ）. A：ab B：ab C：aba 2 D：aba 2 11.设 B 是椭圆 C：x 2 a2 + y2 b2 = 1（ab0）的上顶点，若 C 上的任意一点 P 都满 足|PB| 2b，则 C 的离心率的取值范围是（ ）. A： 2 2 ,1) B：1 2 ,1) C：(0, 2 2 D：(0, 1 2 12.设a = 2ln1.01，b = ln1.02，c = 1.04 1，则（ ）. A：abc B：bca C：bac D：cab 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.已知双曲线 C：x 2 m y2= 1（m0）的一条渐近线为3x
6、+my=0，则 C 的焦距 为 . 14.已知向量 a a=（1，3） ，b=（3，4） ，若（a a-b b）b b，则= 。 15.记ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 面积为3， B=60， a 2+c2=3ac， 则 b= . 16.以图为正视图和俯视图， 在图中选两个分别作为侧视图和俯视图， 组成某个三棱锥的三视图， 则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写 出符合要求的一组答案即可）. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题 为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作 答。 （
7、一）必考题：共 60 分。 17.（12 分） 某厂研究了一种生产高精产品的设备， 为检验新设备生产产品的某项指标有无提 高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数 据如下： 旧设 备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设 备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和 ，样本方差分 别记为 s1 2和 s 2 2 （1） 求， ， s1 2，s 2 2； （2） 判断新设备生产产品的该项指标
8、的均值较旧设备是否有显著提高 （如果 - 2 1 2+22 2 ， 则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提 高，否则不认为有显著提高）. 18.(12 分) 如图， 四棱锥 P-ABCD 的底面是矩形， PD底面 ABCD， PD=DC=1， M 为 BC 的中点， 且 PBAM， （1） 求 BC； （2） 求二面角 A-PM-B 的正弦值。 19.（12 分） 记 S n为数列an的前 n 项和，bn为数列Sn的前 n 项和，已知 2 + 1 =2. （1） 证明：数列bn是等差数列； （2） 求an的通项公式. 20.（12 分） 设函数 f（x）=ln（a-x），已知 x
9、=0 是函数 y=xf（x）的极值点。 （1） 求 a； （2） 设函数 g（x）=+f（x） f（x） ，证明：g（x）1. 21.（12 分） 己知抛物线 C：x 2=2py（p0）的焦点为 F，且 F 与圆 M：x2+（y+4）2=1 上点的 距离的最小值为 4. （1）求 p； （2）若点 P 在 M 上，PA,PB 是 C 的两条切线，A,B 是切点，求PAB 的最大值. （二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做， 则按所做的第一题计分。 22.选修 4 一 4：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，C 的圆心为 C（2，1），
10、半径为 1. （1）写出C 的一个参数方程；的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）过点 F（4,1）作C 的两条切线, 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴 建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程. 23.选修 4 一 5：不等式选讲（10 分） 已知函数 f（x）=|x-a|+|x+3|. （1）当 a=1 时，求不等式 f（x）6 的解集； （2）若 f（x） a ,求 a 的取值范围. 2021 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学乙卷（参考乙卷（参考答案答案） 注意事项：注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案
11、后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答 案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 1-5 CCABD 6-10 CBBAD 11-12 CB 13.4 14.3 5 15.22 16.或 17.解： （1）各项所求值如下所示 = 1 10(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0 = 1 10(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3 1 2=1 10 x
12、 (9.7-10.0) 2 + 2 x (9.8-10.0)2 + (9.9-10.0)2 + 2 X (10.0-10.0)2 + (10.1-10.0) 2+2 x (10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2 = 0.36, 2 2=1 10 x (10.0-10.3) 2 +3 x (10.1-10.3)2 +(10.3-10.3)2 +2 x (10.4-10.3)2+2 x (10.5-10.3) 2+ (10.6-10.3)2 = 0.04. (2)由(1)中数据得 -=0.3,21 2+22 10 0.1838 显然 -21 2+22 10 ， 所以不认为新设备生产产品的
13、该项指标的均值较旧设备有显 著提高。 18.解： （1）因为 PD平面 ABCD，且矩形 ABCD 中，ADDC，所以以 , , 分别为 x，y，z 轴正方向，D 为原点建立空间直角坐标系 D-xyz。 设 BC=t，A（t，0，0） ，B（t，1，0） ，M（ 2，1，0） ，P(0,0,1),所以 =（t，1， -1） ， =（ 1 2，1，0） ， 因为 PBAM，所以 =-2 2 +1=0，所以 t=2，所以 BC=2。 （2）设平面 APM 的一个法向量为 m m=（x，y，z） ，由于 =（-2，0，1） ，则 AP = 2x + z = 0 AM = 2 2 x + y = 0
14、令 x=2，得 m m=（2，1，2） 。 设平面 PMB 的一个法向量为 n n=（x t，yt，zt） ，则 CB = 2= 0 PB = 2+ = 0 令=1，得 n n=(0,1,1). 所以 cos（m m，n n）= |= 3 7 2= 314 14 ,所以二面角 A-PM-B 的正弦值为70 14 . 19.（1）由已知 2 + 1 =2,则 +1=Sn(n2) 21 + 1 =22bn-1+2=2bnbn-bn-1= 1 2(n2),b1= 3 2 故bn是以3 2为首项， 1 2为公差的等差数列。 （2）由（1）知 bn=3 2+（n-1） 1 2= +2 2 ,则 2 +
15、2 +2=2Sn= +2 +1 n=1 时，a1=S1=3 2 n2 时，an=Sn-Sn-1=+2 +1- +1 = 1 (+1) 故 an= 3 2 , = 1 1 (+1), 2 20.（1）xf(x)=xf(x)+xf(x) 当 x=0 时，xf(x)=f(0)=lna=0,所以 a=1 （2）由 f(x)=ln(1-x),得 x1 当 0 x1 时，f(x)=ln(1-x)0，xf(x)0；当 x0 时，f(x)=ln(1-x)0， xf(x)0 故即证 x+f(x)xf(x),x+ln(1-x)-xln(1-x)0 令 1-x=t(t0 且 t1)，x=1-t,即证 1-t+lnt
16、-(1-t)lnt0 令 f(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt,则 f(t)=-1-1 -(-1)lnt+ 1 =-1+1 +lnt- 1 =lnt 所以 f(t)在（0,1）上单调递减，在（1,+）上单调递增，故 f(t)f（1）=0, 得证。 21.解： （1）焦点F(0, P 2)到x 2 + (y + 4)2= 1的最短距离为P 2 + 3 = 4，所以 p=2. （2）抛物线y = 1 4 x2，设 A(x1,y1）,B(x2,y2),P(x0,y0)，则 l= y = 1 2 x1(x 1) + y1= 1 2 1 1 4 1 2 = 1 2 1 1, l: = 1 2 2
17、2,且x0 2 = y0 2 8y0 15. l, l都过点 P(x0,y0）,则 y0= 1 2 x1x0 y1, y0= 1 2 x2x0 y2, 故l:0= 1 2 0 ，即 = 1 2 0 0. 联立y = 1 2 x0 x y0 x2= 4y ，得x2 2x0 x + 4y0= 0， = 4x0 2 16y0. 所以|AB| = 1 + x0 2 4 4x0 2 16y0=4 + x0 2 x0 2 4y0 ， d= |0 240| 0 2+4 ， 所以 S= 1 2 | d=1 2 |x 0 2 4y0| x0 2 4y0=1 2 (x 4 2 4y0) 3 2=1 2 (y02
18、12y0 15) 3 2. 而y0 5,3.故当 y0=-5 时，S达到最大，最大值为205. 22. (1)因为C 的圆心为(2,1)，半径为 1.故C 的参数方程为 = 2 + = 1 + （ 为参数). (2)设切线 y=k（x-4)+1,即 kx-y-4k+1=0.故 |214+1| 1+2 =1 即|2k|=1 + 2,42=1 + 2，解得 k= 3 3 .故直线方程为 y= 3 3 (x-4)+1, y= 3 3 (x-4)+1 故两条切线的极坐标方程为sin= 3 3 cos - 4 3 3+1 或sin= 3 3 cos + 4 3 3+1. 23.解：(l)a = 1 时，f(x) = |x-1|+|x+3|， 即求|x-1|+|x-3| 6 的解集. 当 x1 时，2x 十 2 6,得 x 2; 当-3x-a,而由绝对值的几何意义，即求 x 到 a 和-3 距离的最小值. 当 x 在 a 和-3 之间时最小，此时 f(x)最小值为|a+3|,即|a+3|-a. A-3 时,2a+30，得 a-3 2；a-a,此时 a 不存在. 综上，a-3 2.
