1、 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 1. 椭圆的定义椭圆的定义 和和 等于常数等于常数 2a ( 2a|F1F2|0) 的点的轨迹的点的轨迹. 平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的 2. 引入问题引入问题 回顾定义 ( ) 1 F 2 F 0, c 0, cX Y O yxM, 交点轨迹。，两圆不相交，不存在的轨迹是椭圆；如果其交点 那么两圆相交，上运动时，如果在线段我们知道，当点 为半径作圆。为圆心、线段在以 为半径作圆，为圆心、线段，以点在平面内，取定点 上的动点。是直线，上取两个定点如图，在直线 ABFFM ABFFABP PBF PAFFF lPBAl 21 21
2、 2 121 , , , 探究探究 的轨迹是什么形状？两圆的交点 满足什么几何条件？外运动，这时动点点在线段的条件下，让如图，在 M MABPABFF 21 两个定点两个定点F1、F2双曲线的双曲线的焦点焦点; |F1F2| 焦距焦距. 平面内平面内与两个定点与两个定点F F1 1，F F2 2的距离的的距离的差差的的绝绝 对值对值等于非零常数等于非零常数( (小于小于|F|F1 1F F2 2|)|)的点的轨迹的点的轨迹 叫做叫做双曲线双曲线. . 双曲线定义双曲线定义 问题问题 12F F1. 为什么这个常数要小于为什么这个常数要小于 | |？ y xo F2F1 M 12 |M FM F
3、常 数-= 12 FF（小于） F2F1 M x O y 如何求双曲线的标准方程？如何求双曲线的标准方程？ 设设M（x , y）, 即即 | (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 | = 2a 以以F1,F2所在的直线为所在的直线为X轴，轴， 线段线段F1F2的中点为原点建立的中点为原点建立 直角坐标系直角坐标系, 1. 建系建系. . 2.设点设点 3.列式列式|MF1| - |MF2|= 2a 4.4.化简化简. . 双曲线的双曲线的 焦距为焦距为2c（c0）,常数常数=2=2a a(a0）, , 则则F F1 1(-c,0),F(-c,0),F2 2(c,0)(c,0)，
4、aycxycx2 2 2 2 2 将上述方程化为： aycxycx2 2 2 2 2 两边再平方后整理得： 22222222 acayaxac 022 ac 0ac0 22 ac 0 222 bacb设 代入上式得： 001 2 2 2 2 ba b y a x ， 1),( 22 2 2 2 222 ac y a x aca得两边同除以 移项两边平方后整理得： 2 2 2 ycxaacx 焦点在焦点在y y轴上的双曲线的轴上的双曲线的 标准方程是什么？标准方程是什么？ 001 2 2 2 2 ba b x a y ， 222 bac (0,c) (0,-c) F2 F1 y x o yxM,
5、 两种标准方程的特点两种标准方程的特点 方程用方程用“”号连接。号连接。 大小不定大小不定。ba, 。 222 bac 如果如果 的系数是正的，则焦点在的系数是正的，则焦点在 轴上；轴上； 如果如果 的系数是正的，则焦点在的系数是正的，则焦点在 轴上。轴上。（与分母大小无关）（与分母大小无关） 2 xx 2 yy 如何确定焦点位置？如何确定焦点位置？ 001 2 2 2 2 ba b y a x ， 001 2 2 2 2 ba b x a y ， y xo F 2 F 1 M x y F 2 F 1 M B 22 (2)33 a= b= c= xy则焦点坐标为 已知下列双曲线的方程：已知下列
6、双曲线的方程： 22 (1)1 a= b= c= 916 yx 则焦点坐标为 3 45(0,-5),(0,5) 312 (-2,0),(2,0) 解：因为双曲线焦点在解：因为双曲线焦点在x x轴上，所以设它的轴上，所以设它的 标准方程为标准方程为 2 2c=10 ,2a=6=10 ,2a=6 c=5 ,a=3=5 ,a=3 b b2 2= 5= 52 2- 3- 32 2= 16 = 16 )0,0(1 2 2 2 2 ba b y a x 所求双曲线的标准方程为所求双曲线的标准方程为 1 169 22 yx 求双曲线的标准方程。 ，于的距离的差的绝对值等到双曲线上一点 ，、的坐标为、已知双曲
7、线两个焦点 6, )0 , 5()0 , 5(2 21 1 FFP F 程。求炮弹爆炸点的轨迹方且声速为 ，地晚地听到爆炸声比在，在两地相距、已知 ,/m340 2800,3 s sBAmBA )340( 1 44400115600 3400680 44400,400 8002800 340,6802 6802340 , , 22 222 x yx xPPBPA acbc cAB aa PBPA yxP AB xBA 迹方程为所以，炮弹爆炸点的轨 ，因此的轨迹是双曲线的右支所以点因为 ，所以又 即 ），则的坐标为（设炮弹爆炸点 的中点重合。并且原点与线段 上，两点在系，使解：建立平面直角坐标
