1、高中数学常用公式及结论大全(新课标 ) 必修 1 1、集合的含义与表示 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。它具有三大特性： 确定性、互异性、无序性。集合的表示有列举法、描述法。 描述法格式为：元素 |元素的特征 ，例如, 5|Nxxx且 2、常用数集及其表示方法 （1）自然数集N（又称非负整数集） ：0、1、 2、3、 （2）正整数集N *或 N +：1、2、 3、 （3）整数集Z：-2、-1、0、1、 （4）有理数集Q：包含分数、整数、有限小数等 （5）实数集R：全体实数的集合 （6）空集 ：不含任何元素的集合 3、元素与集合的关系：属于，不属于 例如： a 是
2、集合 A 的元素，就说a 属于 A，记作 aA 4、集合与集合的关系：子集、真子集、相等 （ 1）子集的概念 如果集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素， 那么集合A 叫做集合B 的子集 (如图 1)，记 作BA或AB. 若集合 P 中存在元素不是集合Q 的元素，那么P 不包含于Q， 记作QP （ 2）真子集的概念 若集合 A 是集合 B 的子集，且B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 叫做集合 B 的 真子集 (如图 2). A B 或 BA. （ 3） 集合相等：若集合 A 中的元素与集合B 中的元素完全相同则称集合A 等于集合 B,记作 A=B. BAABBA, 5、重要结论（1
3、）传递性：若BA，CB，则CA （2）空 集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集. 6、 含有n个元素的集合, 它的子集个数共有2 n 个；真子集有2 n 1 个；非空子集有2 n 1 个( 即 不计空集 ) ；非空的真子集有2 n 2 个. 7、集合的运算：交集、并集、补集 （ 1）一般地，由所有属于A 又属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集 记作 AB（读作 A 交 B） ，即 AB=x| x A，且 xB （ 2）一般地， 对于给定的两个集合A,B 把它们所有的元素并在一起所组成的集合,叫做 A,B 的并 B A A,B (图 1) 或 B A (图 2) AB AB
4、集记作AB（读作 A 并 B） ，即 AB=x| x A，或 xB （ 3）若 A 是全集 U 的子集，由U 中不属于A 的元素构成的集合， 叫做 A 在 U 中的补集，记作ACU , A,U|ACUxxx且 注：讨论集合的情况时，不要发遗忘了A的情况。 8、映射观点下的函数概念 如果 A，B都是非空的数集，那么 A到 B的映射 f ：A B就叫做 A到 B的函数， 记作 y=f(x)， 其中 xA，yB.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域， 象的集合C （CB）叫做函数y=f(x) 的值域 .函数符号y=f(x)表示“ y 是 x 的函数”，有时简记作函数f(x). 9、分段函数：在定
5、义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。如 3 12 2 x x y 0 0 x x 10、求函数的定义域的原则：（解决任何函数问题，必须要考虑其定义域） 分式的分母不为零；01, 1 1 :x x y则如 偶次方根的被开方数大于或等于零；05,5:xxy则如 对数的底数大于且不等于； 10),2(log:aaxy a 且则如 对数的真数大于； 02),2(log:xxy a 则如 指数为的底不能为零； x my)1(:如, 则01m 11、函数的奇偶性（在整个定义域内考虑） （1）奇函数满足)()(xfxf， 奇函数的图象关于原点对称； （2）偶函数满足)()(xfxf，偶函数的图象关于y
6、轴对称； 注：具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称;若奇函数在原点有定义,则0)0(f 根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、 偶函数、 既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 12、函数的单调性（在定义域的某个区间内考虑） 当 21 xx时，都有)()( 21 xfxf，则)(xf在该区间上是增函数，图象从左到右上升； 当 21 xx时，都有)()( 21 xfxf，则)(xf在该区间上是减函数，图象从左到右下降。 函数)(xf在某区间上是增函数或减函数，那么说)(xf在该区间具有单调性，该区间叫做 单调（增 /减）区间 13、一元二次方程 2 0axbxc(0)a （1）求根公式 : a a
7、cbb x 2 4 2 2, 1 （2）判别式：acb4 2 （3）0时方程有两个不等实根；0时方程有一个实根；0时方程无实根。 （4）根与系数的关系韦达定理: a b xx 21 ， a c xx 21 14、二次函数：一般式cbxaxy 2 (0)a；两根式)( 21 xxxxay(0)a （ 1）顶点坐标为 2 4 (,) 24 bacb aa ； （ 2）对称轴方程为：x= a b 2 ； ACU A x y 0 （ 3）当0a时，图象是开口向上的抛物线，在x= a b 2 处取得最小值 a bac 4 4 2 当0a时，图象是开口向下的抛物线，在x= a b 2 处取得最大值 a b
8、ac 4 4 2 （ 4）二次函数图象与x轴的交点个数和判别式的关系： 0时，有两个交点；0时，有一个交点（即顶点）；0时，无交点。 15、函数的零点 使0)(xf的实数 0 x叫做函数的零点。例如1 0 x是函数1)( 2 xxf的一个零点。 注：函数xfy有零点函数xfy的图象与x 轴有交点方程0 xf有实根 16、函数零点的判定： 如果函数xfy在区间ba,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(bfaf。那 么，函数xfy在区间ba,内有零点，即存在0,cfbac使得。 17、分数指数幂（0,am nN ，且1n） （ 1） nm n m aa. 如 2 3 3 xx；(2) n
9、m n m n m a a a 11 . 如 2 3 3 1 x x ； （3）()n n aa； （ 4）当n为奇数时， nn aa；当n为偶数时， ,0 | ,0 nn a a aa a a . 18、有理指数幂的运算性质（Qsra, 0） （1） srsr aaa；（2） rssr aa )(；（3） rrr baab)( 19、指数函数 x ay（0a且1a） ，其中x是自变量，a叫做底数，定义域是R 20、若Na b ，则 叫做以为底N的对数。记作：bN a log（1,0 aa，0N） 1a10a 图 象 性 质 （1）定义域： R （2）值域：（0， +） （3）过定点（ 0，1
10、） ，即 x=0 时， y=1 （4）在 R 上是增函数（4）在 R 上是减函数 x y 0 1 x y 0 1 其中，a叫做对数的底数，N叫做对数的真数。 注：指数式与对数式的互化公式： log b a NbaN(0,1,0)aaN 21、对数的性质 （ 1）零和负数没有对数，即N a log中0N； （ 2）1 的对数等于0，即01loga ； 底数的对数等于1，即1log a a 22、常用对数Nlg：以 10 为底的对数叫做常用对数，记为：NNlglog10 自然对数Nln：以 e(e=2.71828 ) 为底的对数叫做自然对数，记为：NN e lnlog 23、对数恒等式：Na N
11、alog 24、对数的运算性质（a0，a1，M 0，N0） (1)log ()loglog aaa MNMN; (2) logloglog aaa M MN N ; (3)loglog() n aa MnM nR（注意公式的逆用） 25、对数的换底公式 log log log m a m N N a (0a, 且1a,0m,且1m,0N). 推论或 1 log log a b b a ；loglogm n a a n bb m . 26、 对数函数xy a log（0a，且1a） ：其中，x是自变量，a叫做底数， 定义域是),0( 1a10a 图像 性质 定义域： (0, ) 值域： R 过定
12、点（ 1，0） 增函数减函数 取值范围 0 x1 时， y1 时， y0 0 x0 x1 时， y 0时，有 2 2 xaxaaxa. 小于取中间 22 xaxaxa或xa. 大于取两边 (2)、解一元二次不等式)0( ,0 2 acbxax的步骤： 求判别式acb4 2 000 求一元二次方程的解：两相异实根一个实根没有实根 画二次函数 cbxaxy 2 的图象 结合图象写出解集 0 2 cbxax解集 12 xxxxx或 a b xx 2 R 0 2 cbxax解集 21 xxxx 注：0 2 cbxax)0(a解集为 R 0 2 cbxax对Rx恒成立0 （ 3）高次不等式：数轴标根法(
13、奇穿偶回，大于取上，小于取下) （ 4）分式不等式：先移项通分，化一边为0，再将除变乘，化为整式不等式，求解。 如解分式不等式1 1 x x ：先移项;01 1 x x 通分; 0 )1( x xx 再除变乘0)12(xx，解出。 87、线性规划： （ 1）一条直线将平面分为三部分（如图）： （ 2）不等式0CByAx表示直线0CByAx 某一侧的平面区域，验证方法：取原点（0，0）代入不 等式，若不等式成立，则平面区域在原点所在的一侧。假如 直线恰好经过原点，则取其它点来验证，例如取点（1， 0） 。 （ 3）线性规划求最值问题：一般情况可以求出平面区域各个顶点的坐标，代入目标函数z，最 大
14、的为最大值。 选修 1-1 88、充要条件 0CByAx 直线0CByAx 0CByAx （1）若pq，则p是q充分条件，q是p必要条件 . （2）若pq，且qp，则p是q充要条件 . 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 89、逻辑联结词。 “p 或 q” 记作： pq; “p 且 q” 记作： pq; 非 p 记作： p 90、四种命题：原命题：若p，则 q 逆命题：若q，则 p 否命题：若p，则 q 逆否命题：若q，则 p 注意：（1）原命题与逆否命题同真同假，但逆命题的真假与否命题之间没有关系； （2） p 是指命题P 的否定，注意区别“否命题”。例如命题P： “若
15、 0a ，则 0b ” ， 那么 P的“否命题”是： “若0a，则0b” ，而 p 是： “若0a，则0b” 。 91、全称命题： 含有“任意”、 “所有” 等全称量词 （记为）的命题， 如 P：0)1( , 2 xRx 特称命题：含有“存在”、 “有些”等存在量词（记为）的命题，如q： 1, 2 xRx 注：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题， 如上述命题p 和 q 的否定： p：0) 1( , 2 mRm，q：1, 2 xRx 92、椭圆 定义：若F1， F2是两定点， P为动点，且aPFPF2 21 (a为常数 )则 P 点的轨迹是椭圆。 标准方程： 焦点在 x 轴:1
16、2 2 2 2 b y a x )0(ba；焦点在 y 轴:1 2 2 2 2 b x a y )0(ba； 长轴长 =a2，短轴长 =2b 焦距： 2c 恒等式：a 2-b2=c2 离心率： a c e 93、双曲线 定义：若F1， F2是两定点，aPFPF2 21 （a为常数），则动点P 的轨迹是双曲线。 图形：如图 标准方程： 焦点在 x 轴:1 2 2 2 2 b y a x )0,0(ba 焦点在 y 轴:1 2 2 2 2 b x a y )0,0(ba 实轴长 =a2，虚轴长 =2b，焦距： 2c 恒等式：a2+b2=c2 离心率： a c e 渐近线方程： 当焦点在x 轴时，
17、渐近线方程为x a b y；当焦点在y 轴时， 渐近线方程为x b a y 等轴双曲线：当ba时，双曲线称为等轴双曲线，可设为 22 yx。 94、抛物线 定义：到定点F 距离与到定直线l的距离相等的点M 的轨迹是抛物线（如左下图MF=MH ） 。 图形： 方程 )0( ,2 2 ppxy 2 2, (0 )yp xp 2 2, (0 )xp yp 2 2, (0 )xp yp 焦点：F)0, 2 ( p F(,0) 2 p F(0,) 2 p F(0,) 2 p 准线方程： 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 注意：几何特征：焦点到顶点的距离= 2 p ；焦点到准线的距离=p；
18、95导数的几何意义：)( 0 / xf表示曲线)(xf在 0 xx处的切线的斜率k； 导数的物理意义：)( 0 / xf表示运动物体在时刻 0 x处的瞬时速度。 96、几种常见函数的导数 (1) 0C（C为常数） . (2) )()( 1 Qnnxx nn . (3) xxcos)(sin. (4) xxsin)(cos. (5) x x 1 )(ln；aaa xx ln)(. (6) xx ee )(;. （7） 2 1 ) 1 ( xx 97、导数的运算法则 （1） ()uvuv. （2） ()uvuvuv. （3） 2 ()(0) uu vuv v vv . 98函数的单调性与其导函数的
19、正负的关系： 在某个区间（ a , b）内，如果0)( xf，那么函数)(xfy在这个区间内单调递增； 如果0)( xf，那么函数)(xfy在这个区间内单调递减。 注：若函数)(xfy在这个区间内单调递增，则0)( xf 若函数)(xfy在这个区间内单调递减，则0)( xf 99、判别)( 0 xf是极大（小）值的方法 (1) 求导)(xf； F)0, 2 ( p 准线 F M H 极大值 （2）令)(xf=0，解方程，求出所有实根 0 x （ 3）列表，判断每一个根 0 x左右两侧)( xf的正负情况： 如果在 0 x附近的左侧0)(xf，右侧0)(xf，则)( 0 xf是极大值； 如果在
20、0 x附近的左侧0)(xf，右侧0)(xf，则)( 0 xf是极小值 . 100、求函数在闭区间a , b上的最值的步骤： （1）求函数)(xf的所有极值； （2）求闭区间端点函数值)(),(bfaf； （3）将各极值与)(),(bfaf比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值。 注意：（1）无论是极值还是最值，都是函数值，即)( 0 xf，千万不能写成导数值)( 0 / xf。 （2）若在某区间内只有一个极值，则不用与端点比较也知道这个极值就是函数的最值。 选修 1-2 101、复数zabi，其中a叫做实部，b叫做虚部 (1) 复数的相等,abicdiac bd. （, , ,a b c d
21、R） (2) 当 a=0,b 0 时,z=bi为纯虚数 ; (3) 当 b=0 时,z=a 为实数 ; (4) 复数 z 的共轭复数是biaz (5) 复数zabi的模|z= 22 ab. (6)i 2 =-1, （ -i ） 2 =-1. (7) 复数zabi对应复平面上的点( , )a b， 102、复数的四则运算法则 (1) 加：()()()()abicdiacbd i; (2) 减：()()()()abicdiacbd i; (3) 乘：()()()()abicdiacbdbcad i; 类似多项式相乘 (4) 除： )( )( dicdic dicbia dic bia （分子、分母
22、乘分母共轭复数，此法称为“分母实数化”） 103、常用不等式： （ 1）重要不等式 : 若,a bR，则 22 2abab( 当且仅当a b 时取“ =”号) （ 2）基本不等式 : 若0,0 ba，则abba2 ( 当且仅当ab 时取“ =”号 ) 基本不等式的适用原则可口诀表示为：一正、二定、三相等 当ab为定值时，ba有最小值，简称“积定和最小” 当ba为定值时，ab有最大值，简称“和定积最大” 104、推理： （ 1）合情推理：包含归纳推理（从特殊到一般）和类比推理（从特殊到特殊） （ 2）演绎推理：从一般到特殊。三段论是演绎推理的一般模式，包括：大前提（已知的一般原 极小值 理） 、
23、小前提（所研究的特殊情况）、结论（根据一般原理，对特殊情况得出的判断） 105、证明： （ 1）直接证明：包括综合法（又叫由因导果法）和分析法（又叫执果索因法） （ 2）间接证明：又叫反证法，通常假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此 说明假设错误，从而证明原命题成立。 坐标系与参数方程 106、极坐标系：其中| OM （1）如图，点M的极坐标为),( （2）极坐标与直角坐标的互化公式： sin,cosyx; 222 yx， x y tan 107、参数方程形如)( , )( )( 为参数t tgy tfx （ *） 参数方程是借助参数t，间接给出yx,之间的关系 , 而普通方程
24、是直接给出x与y的关系， 如01yx （1）圆 222 ryx的参数方程是)( , sin cos 为参数 ry rx （2）椭圆1 2 2 2 2 b y a x 的参数方程)0,( , sin cos ba by ax 为参数 （3）参数方程与普通方程的互化：消去参数方程的参数，得到普通方程。 消去参数的方法有：公式法：用公式1cossin 22 等 代入法： 方程（*）中，由)(tfx解出)(xht， 代入)(tgy 加减消元法：方程（*）中，两式相加（减）消去参数t 请 同 学 们 试 着 将 圆 的 参 数 方 程)( , si n c o s 为 参 数 rby rax ， 化 为
25、 圆 的 标 准 方 程 _，说说你用的是什么方法？ 提示：解参数方程问题，通常先将参数方程化为普通方程，再求解。 几何证明选讲 108平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上 截得的线段也相等。 极点 O 极径 点 M),(yx )极角 极轴x y x 推论 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 推论 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分国一腰 109平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 推论： 平行于三角形的一边的直线截其他两边（或两边的延长线） ，所得的对应线段成比例 110判定两个三角形相似
26、的方法： 预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或延长线）相交，所构成的三角形相似 判定定理1：两角对应相等，两三角形相似 判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似 引理：若一条直线截三角形两边（或延长线）所得的对应线段成比例，那么直线平行第三边 111相似三角形的性质定理： 1）相似三角形对应高、中线、角平分线的比都等于相似比 2）相似三角形周长的比等于相似比 3）相似三角形面积的比等于相似比的平方 112直角三角形的射影定理 如图RtABC 中， CD 是斜边 AB 上的高，则 （1）BDADCD 2 （2）CDABBCAC （3）
27、ABADAC 2 ；ABBDBC 2 113圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等 推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角为直角 114圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 推论 1：经过圆心垂直于切线的直线必经过切点 推论 2：经过切点垂直于切线的直线必经过圆心 圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 115弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 如图：21 116与圆有关的定理： （1）相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等； （2）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长 的积相等； （3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线 段长的比例中项； （4）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线 平分两条切线的夹角。 1（ 2 C A B D
