考点11 解三角形教师 .pdf

1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 考点 11解三角形 玩前必备 1正弦定理、余弦定理 在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为ABC 外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理 内容 a sin A b sin B c sin C2R a2b2c22bccos A； b2c2a22cacos B； c2a2b22abcos C 变形 (1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C； (2)sin A a 2R，sin B b 2R，sin C c 2R；

2、(3)abcsin Asin Bsin C； (4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A cos Ab 2c2a2 2bc ； cos Bc 2a2b2 2ac ； cos Ca 2b2c2 2ab 2.三角形面积公式： SABC1 2 ah(h 表示边 a 上的高) ； SABC1 2absin C 1 2bcsin A 1 2acsin B； 玩转典例 题型题型一一已知边角元素解三角形已知边角元素解三角形 例例 1（2018浙江）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若7a ，2b ，60A ，则 sinB ，c 【答案】 21 7 ，3

3、【解析】在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c 7a ，2b ，60A ，由正弦定理得： sinsin ab AB ，即 72 sin60sin B ， 解得 3 2 21 2 sin 77 B 由余弦定理得： 2 47 cos60 22 c c ，解得3c 或1c （舍)， 21 sin 7 B，3c 例例 2（2015广东）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若3a ， 1 sin 2 B ， 6 C ，则 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 b 【答案】1 【解析

4、】 1 sin 2 B ， 6 B 或 5 6 B 当 6 B 时，3a ， 6 C ， 2 3 A ，由正弦定理可得， 3 21 sin 32 b 则1b 当 5 6 B 时， 6 C ，与三角形的内角和为矛盾,故答案为：1 例例 3（2018北京）若ABC的面积为 222 3 () 4 acb，且C为钝角，则B 【答案】 3 【解析】ABC的面积为 222 3 () 4 acb，可得： 222 31 ()sin 42 acbacB， sin 3 cos B B ， 可得：tan3B ， 例例 4（2019 北京 15）在ABC中，a 3，bc 2， 1 cos 2 B （）求 b,c 的值

5、； （）求sin(BC)的值. 解析解析： （I）由余弦定理 222 2cosbacacB，得 222 1 32 3 2 bcc . 因为2bc，所以 2 22 1 232 3 2 ccc .解得5c ， 所以7b . （II）由 1 cos 2 B 得 3 sin 2 B .由正弦定理得 5 3 sinsin 14 c CB b . 在 ABC 中，B是钝角，所以C为锐角.所以 2 11 cos1sin 14 CC. 所以 4 3 sinsincoscossin 7 BCBCBC. 玩转跟踪 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用

6、讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 1.（2018北京）在ABC中，7a ，8b ， 1 cos 7 B （）求A； （）求AC边上的高 解： （）ab，AB，即A是锐角， 1 cos 7 B ， 22 14 3 sin11() 77 Bcos B ， 由正弦定理得 sinsin ab AB 得 4 3 7 sin3 7 sin 82 aB A b ，则 3 A （）由余弦定理得 222 2cosbacacB，即 2 1 644927 7 cc ， 即 2 2150cc，得(3)(5)0cc，得3c 或5c （舍)， 则AC边上的高 33 3 sin3 22 hcA 2.（2017新课标

7、）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 2 sin()8sin 2 B AC （1）求cosB； （2）若6ac，ABC的面积为 2，求b 解： （1） 2 sin()8sin 2 B AC，sin4(1cos)BB， 22 sincos1BB， 22 16(1cos )cos1BB， 22 16(1cos )cos10BB ， 2 16(cos1)(cos1)(cos1)0BBB，(17cos15)(cos1)0BB， 15 cos 17 B； （2）由（1）可知 8 sin 17 B ， 1 sin2 2 ABC SacB ， 17 2 ac， 22222 1715 2cos

8、2 217 bacacBac 222 15()21536 17154acacac，2b 题型二题型二已知边角关系解三角形已知边角关系解三角形 例例 5（2019 天津理 15）在ABC中，内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c.已知2bca， 3 sin4 sincBaC . （）求cosB的值； （）求sin 2 6 B 的值. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 解析解析（）在ABC中，由正弦定理 sinsin bc BC ，得sinsinbCcB，又由3 sin4 sin

9、cBaC，得 3 sin4 sinbCaC，即34ba.又因为2bca，得到 4 3 ba， 2 3 ca. 由余弦定理可得 222 222 416 1 99 cos 2 24 2 3 aaa acb B aa . （）由（）可得 2 15 sin1 cos 4 BB， 从而 15 sin22sincos 8 BBB ， 22 7 cos2cossin 8 BBB ， 故 153713 57 sin 2sin2 coscos2 sin 666828216 BBB . 例例 6（2019新课标）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知sinsin4 sinaAbBcC， 1 cos 4

10、A ，则( b c ) A6B5C4D3 【答案】A 【解析】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， sinsin4 sinaAbBcC， 1 cos 4 A ， 222 222 4 1 cos 24 abc bca A bc ，解得 2 1 3 2 cbc， 6 b c 故选：A 玩转跟踪 1.（2018天津）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知sincos() 6 bAaB （）求角B的大小； （）设2a ，3c ，求b和sin(2)AB的值 解： （）在ABC中，由正弦定理得 sinsin ab AB ，得sinsinbAaB， 又sincos() 6 bAaB

11、 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 sincos() 6 aBaB ，即 31 sincos()coscossinsincossin 66622 BBBBBB ， tan3B，又(0, )B， 3 B （）在ABC中，2a ，3c ， 3 B ， 由余弦定理得 22 2cos7bacacB，由sincos() 6 bAaB ，得 3 sin 7 A ， ac， 2 cos 7 A， 4 3 sin22sincos 7 AAA， 2 1 cos22cos1 7 AA ， 4 31133 3

12、 sin(2)sin2 coscos2 sin 727214 ABABAB 例例 8 （2019新课标）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c 设 22 (sinsin)sinsinsinBCABC （1）求A； （2）若22abc，求sinC 解： （1）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c 设 22 (sinsin)sinsinsinBCABC 则 222 sinsin2sinsinsinsinsinBCBCABC， 由正弦定理得： 222 bcabc， 222 1 cos 222 bcabc A bcbc ，0A， 3 A （2）22abc， 3 A ，由正弦定理得2sin

13、sin2sinABC， 62 sin()2sin 23 CC 解得 2 sin() 62 C ， 64 C ， 46 C ， 232162 sinsin()sincoscossin 46464622224 C 玩转练习 1.（2019江苏）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c （1）若3ac，2b ， 2 cos 3 B ，求c的值； （2）若 sincos 2 AB ab ，求sin() 2 B 的值 解： （1）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c 3ac，2b ， 2 cos 3 B ，由余弦定理得： 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721

14、144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 2222 2 1022 cos 263 acbc B acc ，解得 3 3 c （2） sincos 2 AB ab ，由正弦定理得： sinsincos 2 ABB abb ， 2sincosBB， 22 sincos1BB， 5 sin 5 B， 2 5 cos 5 B ， 2 5 sin()cos 25 BB 2. （2020桂林一模） 在锐角ABC中， 内角A、B、C所对的边分别为a、b、c， 已知(22 )coscoscbAaBc （1）求证：2bc； （2）若 15 sin 4 A ，2a ，求ABC的面

15、积 【解答】 （1）证明：(22 )coscoscbAaBc 由正弦定理可得，2sincos2sincossincossinsincossincossincosCABAABCABABBA， 即2sincossincos0CABA，A为锐角，则cos0A ， 2sinsinCB，由正弦定理可得2bc， （2）由题意可得 151 cos1 164 A ，由余弦定理可得， 22 1 24 4 bcbc， 因为2bc，解可得，2b ，1c ，故ABC的面积 11515 2 244 3.【广东省韶关市 2019 届高考模拟测试（4 月）数学试题】在ABC中，a、b、c分别是内角A、B、 C的对边，且3

16、cossin( coscos)bAA aCcA. （1）求角A的大小； （2）若 2 3a ，ABC的面积为 5 3 4 ，求ABC的周长 【答案】 （1） 3 A ； （2）5 3. 【解析】 （1）3 cossin( coscos)bAA aCcA， 由正弦定理可得：3sincossin(sincossincos)BAAACCAsinsin()sinsinAACAB， 即 3sincosBAsinsinAB ，sin0B ，tan 3A ，(0,)A， 3 A （2） 3 A ， 2 3a ，ABC的面积为 5 3 4 ， 135 3 sin 244 bcAbc ， 5bc ，由余弦定理可

17、得： 222 2cosabcbcA ， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 即 2222 12()3()15bcbcbcbcbc，解得：3 3bc， ABC的周长为 2 33 35 3abc . 4.（2020河南省实验中学高三二测（理） ）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 csin2Bbsin （A+B）0 （1）求角 B 的大小； （2）设 a4，c6，求 sinC 的值 【答案】 （1） 1 3 B（2） 3 21 14 【解析】csin2Bbsin（A+

18、B）0，由正弦定理可得，sinCsin2BsinBsin（A+B）0， 化简可得 2sinCsinBcosBsinBsinC0，sinBsinC0，cosB 1 2 ， B（0，） ， 1 3 B. （2）由余弦定理可得：cosB 222 1 22 acb ac ， 2 16361 2462 b ，b2 7， 由正弦定理可得：sinC 3 21 14 csinB b . 5.（2020北京市平谷区高三一模）在ABC中， 3 B ， 7b ，.求BC边上的高. 21 sin 7 A ，sin3sinAC，2ac，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 【答案】见解析 【解析】选择，在AB

19、C中，由正弦定理得 sinsin ab AB ，即 7 321 72 a ，解得2a ； 由余弦定理得 222 2cosbacacB ，即 2 22 1 722 2 2 cc ， 化简得 2 230cc ，解得3c 或1c （舍去） ； 所以BC边上的高为 33 3 sin3 22 hcB . 选择， 在ABC中， 由正弦定理得 sinsin ac AC ， 又因为sin3sinAC， 所以 3sinsin ac CC ， 即3ac； 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 由余弦定理得 22

20、2 2cosbacacB ，即 2 2 2 1 732 3 2 ccc c ， 化简得 2 77c ，解得1c 或1c （舍去） ；所以BC边上的高为 33 sin1 22 hcB . 选择，在ABC中，由2ac，得2ac；由余弦定理得 222 2cosbacacB ， 即 2 2 2 1 7222 2 cccc ，化简得 2 230c+ c ，解得1c 或3c （舍去） ； 所以BC边上的高为 33 sin1 22 hcB . 6.（2020江西省南昌市第十中学校高三模拟（理） ）ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，已知 2 6 sincossin 2 A aBbA.

21、（1）求cos A； （2）若21,5abc，求ABC的面积. 【答案】 （1） 2 3 ； （2） 5. 【解析】 （1） 2 6 sincossin 2 A aBbA， 2 6cos 2 A abba， 2 1 cos 26 A ，故 2 2 cos2cos1 23 A A . （2） 222 2cosabcbcA ，又21,5abc， 2 42 21()225 33 bcbcbcbc，6bc .由（1）可知 5 sin 3 A ，从而ABC的面积 1 sin5 2 SbcA. 7 （2020北京市西城区高三一模）已知ABC满足，且 2 6 3 bA ，求sinC的值及ABC 的面积. （

22、从 4 B ， 3a ， 3 2asinB 这三个条件中选一个， 补充到上面问题中， 并完成解答.） 【答案】见解析 【解析】选择时： 4 B , 2 3 A，故 62 sinsinsincoscossin 4 CABABAB . 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 根据正弦定理： sinsin ab AB ，故3a ，故 193 3 sin 24 SabC . 选择时， 3a ，6b ，故BA，A为钝角，故无解. 选择时， 3 2sinaB ，根据正弦定理： sinsin ab AB ，

23、故 6 sin3 2 3 2sin B B ， 解得 2 sin 2 B ， 62 sinsinsincoscossin 4 CABABAB . 根据正弦定理： sinsin ab AB ，故3a ，故 193 3 sin 24 SabC 。 8.（2020黑龙江哈尔滨师大附中高三模拟（理） ）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知2 cos2bCac. （）求B； （）若2a ，D为AC的中点，且 3BD ，求c. 【答案】 （） 2 3 B ； （）4c . 【解析】 （）由正弦定理得2sincos2sinsinBCAC， 又由sin sin()sincoscossinABCBCBC ，得2cossinsin0BCC， 因为0C，所以sin0C ，所以 1 cos 2 B .因为0B，所以 2 3 B . （）因为D为AC的中点，所以 2BABCBD ， 所以 22 ()(2)BABCBD ，即 22 12acac ， 因为2a ，解方程 2 280cc ，得4c .