1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 考点 23二项分布和正态分布 玩前必备 1独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试 验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的 (2)在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p，则 P(Xk) Cknpk(1p)n k(k0,1,2，n)，此时称随机变量 X 服从二项分布，记为 XB(n，p)，并称 p 为成功 概率 2两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量 X 服从两点分布，则 E
2、(X)p，D(X)p(1p) (2)若 XB(n，p)，则 E(X)np，D(X)np(1p) 3正态分布 (1)正态曲线：函数，(x) 2 2 () 2 1 e 2 x u ，x(，)，其中实数和为参数(0，R)我们称函数 ，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线 (2)正态曲线的特点 曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交； 曲线是单峰的，它关于直线 x对称； 曲线在 x处达到峰值 1 2； 曲线与 x 轴之间的面积为 1； 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿 x 轴平移，如图甲所示； 当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“
3、矮 胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示 (3)正态分布的定义及表示 一般地，如果对于任何实数 a，b(ab)，随机变量 X 满足 P(aXb)ba，(x)dx，则称随机变量 X 服从正态 分布，记作 XN(，2) 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 P(X)0.682 6； P(2X2)0.954 4； P(3X3)0.997 4. 玩转典例 题型题型一一二项分布二项分布 例例 1（湖南高考）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有 4 个 红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球
4、，在摸出的 2 个球中，若都 是红球，则获一等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖 （1）求顾客抽奖 1 次能获奖的概率； （2）若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望 例例 2(广东高考)已知随机变量 X 服从二项分布 B(n，p)，若 E(X)30，D(X)20，则 p_. 玩转跟踪 1.为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取 100 名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在 高速公路上行驶时的平均车速情况为：在 55 名男性驾驶员中，平均车速超过 100 km/h 的有 40 人，不超过 100 km/
5、h 的有 15 人；在 45 名女性驾驶员中，平均车速超过 100 km/h 的有 20 人，不超过 100 km/h 的有 25 人 (1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过 100 km/h 的人中随机抽取 2 人，求这 2 人恰好有 1 名男性驾驶 员和 1 名女性驾驶员的概率； (2)以上述样本数据估计总体， 从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取 3 辆， 记这 3 辆车平均车速超过 100 km/h 且为男性驾驶员的车辆为 X，求 X 的分布列 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 2.(2019天津高考)设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为2 3.假定甲、乙两
6、位同学到校 情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立 (1)用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 X 的分布列和数学期望； (2)设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的天数恰 好多 2”，求事件 M 发生的概率 题型题型二二 正态分布正态分布 例例 3（2014新课标）从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测 量结果得如下频率分布直方图： （）求这 500 件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差 2 s（同一组中数据用该组区间的中点值作代 表） ； （）由
7、直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布 2 ( ,)N ，其中近似为样本平均数x， 2 近似为样本方差 2 s ( ) i利用该正态分布，求(187.8212.2)PZ； ( )ii某用户从该企业购买了 100 件这种产品， 记X表示这 100 件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的 产品件数，利用( ) i的结果，求EX 附：15012.2 若 2 ( ,)ZN 则()0.6826PZ，(22 )0.9544PZ 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 例例 4（2015山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布(0N， 2 3 )，从中随机抽取一件， 其长
8、度误差落在区间(3,6)内的概率为() （ 附 ： 若 随 机 变 量服 从 正 态 分 布 2 ( ,)N ， 则()68.26%P， (22 )95.44%)P A4.56%B13.59%C27.18%D31.74% 玩转跟踪 1 （2017 新课标）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸(单位：cm)根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸 服从正态分布 2 ( ,)N (1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(3 ,3 ) 之外的零件数，求 (1)P X 及X的数学期望； (2
9、)一天内抽检零件中， 如果出现了尺寸在(3 ,3 ) 之外的零件， 就认为这条生产线在这一天的生产 过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 ()试说明上述监控生产过程方法的合理性； ()下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 995101299699610019929981004 10269911013100292210041005995 经计算得 16 1 1 9.97 16 i i xx ， 1616 222 11 11 ()(16) 1616 ii ii sxxxx 0.212，其中 i x为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，16 用样本平均数x作为的估计值，用样
10、本标准差s作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的 生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和(精确到 001) 附：若随机变量Z服从正态分布 2 ( ,)N ，则(33 )PZ=0997 4， 16 0.99740.9592， 0.0080.09 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 2.(2020开封模拟)某商场经营的某种包装的大米质量(单位：kg)服从正态分布 N(10，2)，根据检测结果可 知 P(9.910.1)0.96， 某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利， 若该公司有 1 000 名职工， 则分发到的大米质量在 9.9 kg 以下的职工数大约为() A10B2
11、0 C20D40 玩转练习 1.（2017 新课标）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次， 表示抽到的二等品件数，则DX= 2.（2016 四川）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在 2 次试验中成功次数X的均值是 3. （2018 全国卷 1） 某工厂的某种产品成箱包装， 每箱 200 件， 每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验， 如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是 否对余下的所有产品作检验， 设每件产品为不合格品的概率都为) 10( pp， 且
12、各件产品是否为不合格品 相互独立 （1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为)(pf,求)(pf的最大值点 0 p （2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 0 p作为p的值已知每件产 品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用 （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX; （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 4 （2017 天津）从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口
13、遇到红灯 的概率分别为 1 1 1 , , 2 3 4 . （）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望； （）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 5. (2016全国)某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机 器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内 更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这
14、 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器 三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数 (1)求 X 的分布列； (2)若要求 P(Xn)0.5，确定 n 的最小值； (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n19 与 n20 之中选其一，应选用哪个？ 6(2020江西省五校协作体试题)食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食 品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售已 知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为1 7，
15、第二轮检测不合格的概率为 1 8，第三轮检测合格的概率为 8 9， 每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互之间没有影响 (1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率； (2)如果这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利 400 元，如果不能在该超市销售，则每箱亏损 200 元，现 有 4 箱这种蔬菜，求这 4 箱蔬菜总收益的分布列 7.(2020河北省九校第二次联考)已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为1 3，某植物研究所分三个小组分 别独立进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立假定某次试验种子发芽则 称该次试验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次试验是失
16、败的 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 (1)第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次失败的概率； (2)第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的绝对值为 X，求 X 的分布列及数学期望； (3)第三小组进行试验，到成功了四次为止，在第四次成功之前共有三次失败的前提下，求恰有两次连续失 败的概率 8.(2020济南市学习质量评估)某医药公司研发生产一种新的保健产品， 从一批产品中随机抽取 200 盒作为样 本，测量产品的一项质量指标值，该指标值越高越好由测量结果得到如下频率分布直方图： (1)求 a，并试估计这 200 盒产品的该项指标值的平均值 (2)由样本估计总体，结合频率分布直方
17、图认为该产品的该项质量指标值服从正态分布 N(，102)，计算 该批产品该项指标值落在(180,220上的概率； 国家有关部门规定每盒产品该项指标值不低于 150 均为合格，且按该项指标值从低到高依次分为：合格、 优良、优秀三个等级，其中(180,220为优良，不高于 180 为合格，高于 200 为优秀，在的条件下，设该 公司生产该产品 1 万盒的成本为 15 万元，市场上各等级每盒该产品的售价(单位：元)如表，求该公司每万 盒的平均利润. 等级合格优良优秀 售价102030 附若N(，2)，则 P()0.682 7，P(22)0.954 5. 9 （2020广州一模）某企业质量检验员为了检
18、测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了 80 个 零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：)mm，得到如图的频率分布直方图： 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 （1）根据频率分布直方图，求这 80 个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01)； （2）若从这 80 个零件中尺寸位于62.5，64.5)之外的零件中随机抽取 4 个，设X表示尺寸在64.5，65上 的零件个数，求X的分布列及数学期望EX； （3） 已知尺寸在63.0，64.5)上的零件为一等品， 否则为二等品， 将这 80 个零件尺寸的样本频率视为概率 现 对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱 100 个企业在交付买家
19、之前需要决策是否对每箱的所有 零件进行检验，已知每个零件的检验费用为 99 元若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验， 如果有二等品进入买家手中，企业要向买家对每个二等品支付 500 元的赔偿费用现对一箱零件随机抽检 了 11 个，结果有 1 个二等品，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企业是否对该箱 余下的所有零件进行检验？请说明理由 10 （2020绿园区校级模拟）为增强市民交通规范意识，我市面向全市征召劝导员志愿者，分布于各候车 亭或十字路口处现从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者，他们的年龄情况如表所示 （1）频率分布表中的、位置应填什
20、么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图） ，再根据频率 分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在30，35)岁的人数； （2）在抽出的 100 名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取 20 人参加“规范摩的司机的交通意识”培训 活动，从这 20 人中选取 2 名志愿者担任主要负责人，记这 2 名志愿者中“年龄低于 30 岁”的人数为X， 求X的分布列及数学期望 分组（单位：岁）频数频率 20，25)50.05 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 25，30)0.20 30，35)35 35，40)300.30 40，45100.10 合计1001.00 11 （2020眉山模拟）在某社区举
21、行的 2020 迎春晚会上，张明和王慧夫妻俩参加该社区的“夫妻蒙眼击鼓” 游戏，每轮游戏中张明和王慧各蒙眼击鼓一次，每个人击中鼓则得积分 100 分，没有击中鼓则扣积分 50 分， 最终积分以家庭为单位计分已知张明每次击中鼓的概率为 3 4 ，王慧每次击中鼓的概率为 2 3 ；每轮游戏中 张明和王慧击中与否互不影响，假设张明和王慧他们家庭参加两轮蒙眼击鼓游戏 （1）若家庭最终积分超过 200 分时，这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机，问张明和王慧他们家庭可以 领取一台全自动洗衣机的概率是多少？ （2）张明和王慧他们家庭两轮游戏得积分之和的分布列和数学期望( )E 12.（2020九龙坡区模拟）
22、某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一 户居民月用电量标准a，用电量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费为此，政府调查了 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 100 户居民的月平均用电量（单位：度） ，以160，180)，180，200)，200，220)，220，240)，240， 260)；260，280)，280，300分组的频率分布直方图如图所示 （）根据频率分布直方图的数据，求出x的值并估计该市每户居民月平均用电量的值： （）现从该市所有居民中随机抽取 3 户，其中月平均用电量介于240，280)的户数为，用频率估计概 率，求的分布列及数学期望( )E
