1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 考点 21事件和概率 玩前必备 1事件概念 (1)在条件 S 下，一定会发生的事件，叫作相对于条件 S 的必然事件 (2)在条件 S 下，一定不会发生的事件，叫作相对于条件 S 的不可能事件 (3)必然事件与不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件 (4)在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件，叫作相对于条件 S 的随机事件 (5)不可能同时发生的两个事件称为互斥事件。 (6)不可能同时发生且二者之一必须有一个发生的两个事件称为对立事件。 如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(AB)P(A)P(B) 若事件 A 与事件 A 互为对立事件，则 P(A)1P
2、( A ) 2频率估计概率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A)nA n 为事件 A 出现的频率 (2)在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件 A 发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事 件 A 发生的频率具有稳定性这时，我们把这个常数叫作随机事件 A 的概率，记作 P(A) 3古典概型 具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典的概率模型，简称古典概型 (1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果 (2)每一个试验结果出现的
3、可能性相等 4古典概型的概率公式 P(A)事件 A 包含的可能结果数 试验的所有可能结果数 m n. 5条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件 A 和 B， 在已知事件 A 发生的条件下， 事件 B 发生的概率叫做条件概率， 用符号 P(B|A) 来表示，其公式为 P(B|A)PAB PA (P(A)0) 在古典概型中，若用 n(A)表示事件 A 中基本事件的个数，则 P(B|A)nAB nA . (2)条件概率具有的性质 0P(B|A)1； 如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(BC|A)P(B|A)P(C|A) 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 6相互独立事件 (1)对于事件 A，B
4、，若事件 A 的发生与事件 B 的发生互不影响，则称事件 A，B 是相互独立事件 (2)若 A 与 B 相互独立，则 P(B|A)P(B)P(AB)P(B|A)P(A)P(A)P(B) (3)若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也都相互独立 (4)若 P(AB)P(A)P(B)，则 A 与 B 相互独立 玩转典例 题型题型一一事件的概念事件的概念 例例 1将一枚硬币向上抛掷 10 次，其中“正面向上恰有 5 次”是() A必然事件B随机事件C不可能事件D无法确定 例例 2从 40 张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从 110 各 10 张)中，任取一张，判
5、断下列给出的每对 事件，互斥事件为_，对立事件为_ “抽出红桃”与“抽出黑桃”； “抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； “抽出的牌点数为 5 的倍数”与“抽出的牌点数大于 9” 玩转跟踪 1.从 6 个男生 2 个女生中任选 3 人，则下列事件中必然事件是() A3 个都是男生B至少有 1 个男生 C3 个都是女生D至少有 1 个女生 2.一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷 1 次，设事件 A 表示向上的一面出现奇数点，事件 B 表示向上的一面出现的点数不超过 3，事件 C 表示向上的一面出现的 点数不小于 4，则() AA 与 B 是互斥而非对
6、立事件BA 与 B 是对立事件 CB 与 C 是互斥而非对立事件DB 与 C 是对立事件 题型二题型二频率估计概率、频率估计概率、互斥事件与对立事件概率互斥事件与对立事件概率 例例 3(2019全国卷)我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的 正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车 次的平均正点率的估计值为_ 例例 4一盒中装有 12 个球，其中 5 个红球，4 个黑球，2 个白球，1 个绿球从中随机取出 1 球，求： (1)取出 1 球是红球或黑球的概率； (2)取出 1 球
7、是红球或黑球或白球的概率 玩转跟踪 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 1经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下： 排队人数012345 人及 5 人以上 概率0.10.160.30.30.10.04 求：至多 2 人排队等候的概率； 至少 3 人排队等候的概率 题型题型三三古典概型的概率古典概型的概率 例例 5（2019 江苏 6）从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的 2 名同学中至 少有 1 名女同学的概率是. 例例 6（2020四川高三） 周易是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化如图是一个八卦图， 包含乾、坤、震、巽、坎、离、
8、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“” 表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（） A 3 56 B 3 28 C 3 14 D 1 4 玩转跟踪 1.(2018 全国卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每 个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的 数，其和等于 30 的概率是 A 1 12 B 1 14 C 1 15 D 1 18 2.2020大连第一中学分校高三月考（理） ）2020 年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发，一方有难
9、八方支援，全国各大医院抽调精兵强将参加武汉疫情狙击战，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，他 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 们分别乘坐 6 架我国自主生产的“运 20”大型运输机，编号分为 1，2，3，4，5，6 号，同时到达武汉天河飞 机场，每五分钟降落一架，其中 1 号与 6 号相邻降落的概率为（） A 1 12 B 1 6 C 1 5 D 1 3 题型题型四四相互独立事件概率相互独立事件概率 例例 7某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道 有关环保知识的问题已知甲家庭回答正确这道题的概率是3 4，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是 1 12
10、，乙、 丙两个家庭都回答正确的概率是1 4.若各家庭回答是否正确互不影响 (1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于 2 个家庭回答正确这道题的概率 例例 8（2020河北工业大学附属红桥中学高三月考）某人通过普通话二级测试的概率是 1 4 ，若他连续测试 3 次（各次测试互不影响） ，那么其中恰有 1 次通过的概率是 A 1 64 B 1 16 C 27 64 D 3 4 玩转跟踪 1.（新课标高考）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3 正常 工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）
11、超过 1000 小时的概率都是 0.5，且各 个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 1元件 2元件 3元件 2.（2020湖南高三期末（理） ）世界排球比赛一般实行“五局三胜制”，在 2019 年第 13 届世界女排俱乐部锦 标赛（俗称世俱杯）中，中国女排和某国女排相遇，根据历年数据统计可知，在中国女排和该国女排的比 赛中，每场比赛中国女排获胜的概率为 2 3 ，该国女排获胜的概率为 1 3 ，现中国女排在先胜一局的情况下获 胜的概率为（） 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 A 8 9 B 57 81 C 24 81 D 1 9 题型题型五五统计和概率综
12、合统计和概率综合 例例 9从某学校高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高， 被测学生身高全部介于 155 cm 和 195 cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组155,160)，第二组160,165)，第八组190,195，如图是 按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组比第七组多 1 人，第一组和第八组人数相同 (1)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图； (2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名，记他们的身高分别为 x，y，求|xy|5 的概 率 玩转跟踪 1海关对同时从 A，B，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测
13、，从各地区进口此种商品的数量(单 位：件)如下表所示工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测. 地区ABC 数量50150100 (1)求这 6 件样品中来自 A，B，C 各地区商品的数量； (2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同地区的概率 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 玩转练习 1. （2020全国 2 卷） 在新冠肺炎疫情防控期间， 某超市开通网上销售业务， 每天能完成 1200 份订单的配货， 由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压 500 份订单未配
14、货，预计第二天的新订单超过 1600 份的概率为 0.05，志愿者每人每天能完成 50 份订单的配 货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95，则至少需要志愿者（） A. 10 名B. 18 名C. 24 名 D. 32 名 2.（2020江苏卷）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数和为 5 的概率是 _. 3.（2020新全国 1 山东）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学 生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 （） A. 62%B. 56% C
15、. 46%D. 42% 4.（2020天津卷）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 1 2 和 1 3 假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、 乙两球都落入盒子的概率为_；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_ 5 （2017 山东）从分别标有1，2，9的9张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 张则抽到 的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是 A 5 18 B 4 9 C 5 9 D 7 9 6 （2015 广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球从袋中任取2个球， 所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为 A 5 21 B 10 21 C 11 21
16、D1 7.(2018 江苏)某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选中 2 名女生的 概率为 8.(2018 上海)有编号互不相同的五个砝码，其中 5 克、3 克、1 克砝码各一个，2 克砝码两个，从中随机选 取三个，则这三个砝码的总质量为 9 克的概率是_（结果用最简分数表示） 9.（2015 江苏）袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红球，2 只黄球，从中一次随机摸 出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为_ 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 10.(2016新课标全国,3)为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中
17、任选 2 种花种在一个花坛中,余下的 2 种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是() A.1 3 B.1 2 C.2 3 D.5 6 11.（2019 全国 I 理 6）我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“ ” ，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦 恰有 3 个阳爻的概率是 A 5 16 B 11 32 C 21 32 D 11 16 12.（2019新课标）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A 1 6 B 1 4 C 1 3 D 1 2 13 （2019新课标）生
18、物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标若从这 5 只兔子中随机取 出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为() A 2 3 B 3 5 C 2 5 D 1 5 14.（2019上海）某三位数密码，每位数字可在09这 10 个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两 位数字相同的概率是 15.（2020全国 1 卷）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前 抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直 至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛 结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 1 2 ， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率.
