1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 考点 37立体几何大题特训 1.【2019 年高考全国卷理数】如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60， E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点 （1）证明：MN平面C1DE； （2）求二面角AMA1N的正弦值 【答案】（1）见解析；（2） 10 5 . 【解析】（1）连结B1C，ME因为M，E分别为BB1，BC的中点， 所以MEB1C，且ME= 1 2 B1C又因为N为A1D的中点，所以ND= 1 2
2、A1D 由题设知A1B1 DC，可得B1C A1D，故ME ND，因此四边形MNDE为平行四边形，MNED 又MN平面EDC1，所以MN平面C1DE （2）由已知可得DEDA 以D为坐标原点，DA 的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 (2,0,0)A，A1(2， 0， 4)， (1, 3,2)M，(1,0,2) N， 1 (0,0, 4)A A ， 1 ( 1,3, 2)A M ， 1 ( 1,0, 2)A N ， (0,3,0
3、)MN 设( , , )x y zm为平面A1MA的法向量，则 1 1 0 0 AM A A m m ，所以 320 40 xyz z ， 可取( 3,1,0)m 设( , , )p q rn为平面A1MN的法向量，则 1 0 0 MN AN ， n n 所以 30 20 q pr ， 可取(2,0, 1)n 于是 2 315 cos, |525 m n m n m n ， 所以二面角 1 AMAN的正弦值为 10 5 【名师点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用 垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，
4、属于常规题型. 2【2019 年高考全国卷理数】如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE EC1 （1）证明：BE平面EB1C1； （2）若AE=A1E，求二面角BECC1的正弦值 【答案】（1）证明见解析；（2） 3 2 . 【解析】（1）由已知得， 11 BC 平面 11 ABB A，BE 平面 11 ABB A，故 11 BC BE 又 1 BEEC，所以BE 平面 11 EBC （2）由（1）知 1 90BEB由题设知RtABE 11 RtAB E，所以45AEB， 故AEAB， 1 2AAAB 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转
5、数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 以D为坐标原点，DA 的方向为x轴正方向，|DA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则C（0， 1， 0） ，B（1， 1， 0） ， 1 C（0， 1， 2） ，E（1， 0， 1） ， (1,0,0)CB ，(1, 1,1)CE ， 1 (0,0,2)CC 设平面EBC的法向量为n n=（x，y，x），则 0, 0, CB CE n n 即 0, 0, x xyz 所以可取n n=(0, 1, 1) .设平面 1 ECC的法向量为m m=（x，y，z），则 1 0, 0, CC C
6、E m m 即 20, 0. z xyz 所以可取m m=（1，1，0） 于是 1 cos, |2 n m n m n m 所以，二面角 1 BECC的正弦值为 3 2 【名师点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直以及线面垂直的判定，考查了利用空间向 量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力. 3 【2019 年高考全国卷理数】 图 1 是由矩形ADEB， RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形， 其中AB=1， BE=BF=2，FBC=60，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图 2. （1）证明：图 2 中的A，C，G，D四点共面，且平
7、面ABC平面BCGE； （2）求图 2 中的二面角BCGA的大小. 【答案】（1）见解析；（2）30. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 【解析】（1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点 共面 由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE 又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE （2）作EHBC，垂足为H因为EH平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面ABC 由已知，菱形BCGE的边长为2，EBC=60，可求得
8、BH=1，EH=3 以H为坐标原点，HC 的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz， 则A（1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，3），CG =（1，0，3），AC =（2，1，0） 设平面ACGD的法向量为n n=（x，y，z），则 0, 0, CG AC n n 即 30, 20. xz xy 所以可取n n=（3，6，3） 又平面BCGE的法向量可取为m m=（0，1，0），所以 3 cos, |2 n m n m n m 因此二面角BCGA的大小为30 【名师点睛】本题是很新颖的立体几何考题，首先是多面体折叠问题，考查考生在折叠过程中哪些量是不 变的，再者折叠后
9、的多面体不是直棱柱，最后通过建系的向量解法将求二面角转化为求二面角的平面角问 题，突出考查考生的空间想象能力. 4 【2019 年高考北京卷理数】如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PA=AD=CD=2， BC=3E为PD的中点，点F在PC上，且 1 3 PF PC （1）求证：CD平面PAD； （2）求二面角FAEP的余弦值； 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 （3）设点G在PB上，且 2 3 PG PB 判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由 【答案】
10、（1）见解析；（2） 3 3 ；（3）见解析. 【解析】（1）因为PA平面ABCD，所以PACD又因为ADCD，所以CD平面PAD （2）过A作AD的垂线交BC于点M因为PA平面ABCD，所以PAAM，PAAD 如图建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（2，1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0， 0，2）因为E为PD的中点，所以E（0，1，1） 所以(0,1,1),(2,2, 2),(0,0,2)AEPCAP 所以 12 222 2 4 , 33 333 3 3 PFPCAFAPPF . 设平面AEF的法向量为n n=（x，y，z），则 0, 0, AE AF n
11、 n 即 0, 224 0. 333 yz xyz 令z=1，则1,1yx 于是=( 1, 1,1)n 又因为平面PAD的法向量为p p=（1，0，0），所以 3 cos, |3 n p n p n p . 由题知，二面角FAEP为锐角，所以其余弦值为 3 3 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 （3）直线AG在平面AEF内 因为点G在PB上，且 2 ,(2, 1, 2) 3 PG PB PB ， 所以 242442 2 , 333333 3 PGPBAGAPPG . 由（2）知，平面AE
12、F的法向量=( 1, 1,1)n.所以 422 0 333 AG n. 所以直线AG在平面AEF内. 【名师点睛】（1）由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论； （2）建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角FAEP的余弦值； （3） 首先求得点G的坐标， 然后结合平面AEF的法向量和直线AG的方向向量即可判断直线是否在平面内. 5【2019 年高考天津卷理数】如图，AE 平面ABCD，,CFAEADBC， ,1,2ADABABADAEBC （1）求证：BF 平面ADE； （2）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值； （3）若二面角EBDF的余弦值为 1 3 ，求线段C
13、F的长 【答案】（1）见解析；（2） 4 9 ；（3） 8 7 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 【解析】依题意，可以建立以A为原点，分别以AB AD AE ，的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直 角坐标系（如图），可得(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)ABCD，(0,0,2)E设(0)CFhh， 则1,2,Fh （1） 依题意，(1,0,0)AB 是平面ADE的法向量， 又(0,2, )BFh ， 可得0BF AB ， 又因为直线BF 平面ADE，所以BF
14、 平面ADE （2）依题意，( 1,1,0),( 1,0,2),( 1, 2,2)BDBECE 设( , , )x y zn为平面BDE的法向量，则 0, 0, BD BE n n 即 0, 20, xy xz 不妨令1z ， 可得(2,2,1)n因此有 4 cos, 9| CE CE CE n n n 所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 4 9 （3）设( , , )x y zm为平面BDF的法向量，则 0, 0, BD BF m m 即 0, 20, xy yhz 不妨令1y ，可得 2 1,1, h m 由题意，有 2 2 4 |1 cos, |34 3 2 h h m n m
15、n mn ，解得 8 7 h 经检验，符合题意 所以，线段CF的长为 8 7 【名师点睛】本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识考查用空间向 量解决立体几何问题的方法考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 6【2019 年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC 求证：（1）A1B1平面DEC1； （2）BEC1E 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】（1）因为
16、D，E分别为BC，AC的中点，所以EDAB. 在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABA1B1，所以A1B1ED.又因为ED平面DEC1，A1B1平面DEC1， 所以A1B1平面DEC1. （2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BEAC. 因为三棱柱ABCA1B1C1是直棱柱，所以CC1平面ABC. 又因为BE平面ABC，所以CC1BE.因为C1C平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，C1CAC=C， 所以BE平面A1ACC1.因为C1E平面A1ACC1，所以BEC1E. 【名师点睛】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想 象能力和推理论证能力. 7
17、【2019 年高考浙江卷】（本小题满分 15 分）如图，已知三棱柱 111 ABCABC，平面 11 A ACC 平面 ABC,90ABC， 11 30 ,BACA AACAC E F分别是AC，A1B1的中点. （1）证明：EFBC； （2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值. . 【答案】（1）见解析；（2） 3 5 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 【解析】方法一： （1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1EAC 又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A
18、1ACC1，平面A1ACC1平面ABC=AC， 所以，A1E平面ABC，则A1EBC又因为A1FAB，ABC=90，故BCA1F 所以BC平面A1EF因此EFBC （2）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形 由于A1E平面ABC，故A1EEG，所以平行四边形EGFA1为矩形 由（1）得BC平面EGFA1，则平面A1BC平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上 连接A1G交EF于O，则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角） 不妨设AC=4，则在RtA1EG中，A1E=2 3，EG=3.由于O为A1G的中点，故 1 15 22 AG EOOG ，
19、所以 222 3 cos 25 EOOGEG EOG EO OG 因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是 3 5 方法二： （1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1EAC. 又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1， 平面A1ACC1平面ABC=AC，所以，A1E平面ABC 如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz 不妨设AC=4，则 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 A1（0，0，2 3），B（3，
20、1，0）， 1( 3,3,2 3) B， 3 3 (,2 3) 22 F ，C(0，2，0) 因此， 3 3 (,2 3) 22 EF ，(3,1,0)BC 由 0EF BC 得EFBC （2）设直线EF与平面A1BC所成角为由（1）可得 1 =(3 1 0)=(0 22 3)BCAC ， ， 设平面A1BC的法向量为n n ()xy z， ，由 1 0 0 BC AC n n ，得 30 30 xy yz ， 取n n(13 1)，故 |4 sin|cos|= 5| | EF EF EF ， n n n| ， 因此，直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为 3 5 【名师点睛】本题主要考查空
21、间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想 象能力和运算求解能力. 8【2020 北京市通州区三模数学试题】如图，在四棱柱 1111 ABCDABC D中，侧棱 1 A AABCD 底面， ABAC，1AB ， 1 2,5ACAAADCD=，点E为线段 1 AA上的点，且 1 2 AE （1）求证：BE 平面 1 ACB； （2）求二面角 11 DACB的余弦值； （3）判断棱 11 AB上是否存在点F，使得直线DF平面 1 ACB，若存在，求线段 1 AF的长；若不存在，说 明理由 【答案】（1）见解析；（2） 10 10 ；（3）见解析. 【解析】（1）因为 1 A
22、 AABCD 底面，所以 1 A AAC又因为ABAC， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 所以AC 平面 11 ABB A，又因为BE 平面 11 ABB A，所以AC BE 因为 1 1 2 AEAB ABBB ，EAB=ABB1=90，所以 1 RtRtABEBB A 所以 1 ABEAB B 因为 11 90BABAB B，所以 1 90BABABE 所以BE 1 AB又 1 ACABA，所以BE 平面 1 ACB （2）如图，以A为原点建立空间直角坐标系， 依题意可得 111
23、(0,0,0), (0,1,0), (2,0,0),(1, 2,0),(0,0,2),(0,1,2),(2,0,2),ABCDABC- 1 1 (1, 2,2), (0,0, ) 2 DE- 由（1）知， 1 (0,1,) 2 EB =-为平面 1 ACB的一个法向量， 设( , , )x y zn为平面 1 ACD的法向量因为 1 (1, 2,2),(2,0,0)ADAC =-=， 则 1 0, 0, AD AC n n 即 220, 20, xyz x 不妨设1z ，可得(0,1,1)n 因此 10 cos, 10| EB EB EB n n n = 因为二面角 11 DACB为锐角，所以
24、二面角 11 DACB-的余弦值为 10 10 （3）设 1 AFa=，则(0, ,2)Fa， ( 1,2,2)DFa = -+ 1 ( 1,2,2) (0,1,)2 10 2 DF EBaa = -+-=+ - =， 所以1a （舍）即直线DF的方向向量与平面 1 ACB的法向量不垂直， 所以，棱 11 AB上不存在点F，使直线DF平面 1 ACB 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 【名师点睛】本题主要考查线面垂直与平行、以及二面角的问题，熟记线面垂直的判定定理以及空间向量 的方法求二
25、面角即可，属于常考题型. （1）根据线面垂直的判定定理，直接证明，即可得出结论成立； （2）以A为原点建立空间直角坐标系，由（1）得到 1 (0,1,) 2 EB =-为平面 1 ACB的一个法向量，再求出 平面 1 ACD的一个法向量，求两向量夹角的余弦值，即可得出结果； （3）先设 1 AFa=，用向量的方法，由 0DF EB = 求出a的值，结合题意，即可判断出结论. 9.【山东省济南市 2020 一模】 如图 1， 在高为 6 的等腰梯形ABCD中，/ /ABCD， 且6CD ，12AB ， 将它沿对称轴 1 OO折起，使平面 1 ADOO 平面 1 BCOO.如图 2，点P为BC中点
26、，点E在线段AB上（不 同于A，B两点），连接OE并延长至点Q，使/ /AQOB. （1）证明：OD 平面PAQ； （2）若2BEAE，求二面角CBQA的余弦值. 【解析】（1） 由题设知OA，OB， 1 OO两两垂直，所以以O为坐标原点， OA，OB， 1 OO所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ的长度为m， 则相关各点的坐标为0,0,0O，6,0,0A，0,6,0B，0,3,6C，3,0,6D，6,0Qm. 点P为BC中点， 9 0,3 2 P ， 3,0,6OD ，0,0AQm ， 9 6, 3 2 PQm ， 0OD AQ ，0OD PQ ，ODAQ
27、，ODPQ ，且AQ 与PQ 不共线， OD 平面PAQ. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 （2）2BEAE，/ /AQOB， 1 3 2 AQOB， 则6,3,0Q，6,3,0QB ，0, 3,6BC . 设平面CBQ的法向量为 1 , ,nx y z ， 1 1 0 0 n QB n BC ， 630 360 xy yz ，令1z ，则2y ，1x ，则 1 1,2,1n ， 又显然，平面ABQ的法向量为 2 0,0,1n ， 设二面角CBQA的平面角为，由图可知，为锐角， 则 1
28、2 12 6 cos 6 n n nn . 10.（2020北京卷）如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，E 为 1 BB的中点 （）求证： 1/ / BC平面 1 AD E； （）求直线 1 AA与平面 1 AD E所成角的正弦值 【答案】（）证明见解析；（） 2 3 . 【解析】（）证明出四边形 11 ABC D为平行四边形，可得出 11 /BCAD，然后利用线面平行的判定定理可 证得结论； 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 （）以点A为坐标原点，AD、AB、 1 AA所在
29、直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Axyz， 利用空间向量法可计算出直线 1 AA与平面 1 AD E所成角的正弦值. 【详解】（）如下图所示： 在正方体 1111 ABCDABC D中， 11 /AB AB且 11 ABAB， 1111 /ABC D且 1111 ABC D， 11 /AB C D且 11 ABC D，所以，四边形 11 ABC D为平行四边形，则 11 /BCAD， 1 BC 平面 1 AD E， 1 AD 平面 1 AD E， 1/ BC平面 1 AD E； （）以点A为坐标原点，AD、AB、 1 AA所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标 系Axy
30、z， 设正方体 1111 ABCDABC D的棱长为2，则0,0,0A、 1 0,0,2A、 1 2,0,2D、0,2,1E， 1 2,0,2AD ，0,2,1AE ， 设平面 1 AD E的法向量为 , ,nx y z ，由 1 0 0 n AD n AE ，得 220 20 xz yz ， 令2z ，则2x ，1y ，则2,1, 2n . 1 1 1 42 cos, 3 23 n AA n AA nAA . 因此，直线 1 AA与平面 1 AD E所成角的正弦值为 2 3 . 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料
31、关注公众号玩转高中数学研讨 11. （2020全国 1 卷） 如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AEADABC 是底面的内接正三角形，P为DO上一点， 6 6 PODO （1）证明：PA 平面PBC； （2）求二面角BPCE的余弦值 【答案】（1）证明见解析；（2） 2 5 5 . 【解析】（1）要证明PA 平面PBC，只需证明PAPB，PAPC即可； （2）以 O 为坐标原点，OA 为 x 轴，ON 为 y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面PCB的法 向量为n ，平面PCE的法向量为m ，利用公式cos, | n m m n n m 计算即可得到答案. 【
32、详解】（1）由题设，知DAE为等边三角形，设1AE ， 则 3 2 DO ， 11 22 COBOAE，所以 62 64 PODO ， 2222 66 , 44 PCPOOCPBPOOB 又ABC为等边三角形，则2 sin60 BA OA ，所以 3 2 BA ， 222 3 4 PAPBAB，则 90APB ，所以 PAPB， 同理PAPC，又PCPBP，所以PA 平面PBC； （2）过 O 作ONBC 交 AB 于点 N，因为PO 平面ABC，以 O 为坐标原点，OA 为 x 轴，ON 为 y 轴建 立如图所示的空间直角坐标系， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（
33、721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 则 121313 (,0,0), (0,0,), (,0), (,0) 244444 EPBC ， 132 (,) 444 PC ， 132 (,) 444 PB ， 12 (,0,) 24 PE ， 设平面PCB的一个法向量为 111 ( ,)nx y z ， 由 0 0 n PC n PB ，得 111 111 320 320 xyz xyz ，令 1 2x ，得 11 1,0zy ， 所以( 2,0, 1)n ，设平面PCE的一个法向量为 222 (,)mxyz 由 0 0 m PC m PE ，得 222
34、 22 320 220 xyz xz ，令 2 1x ，得 22 3 2, 3 zy ， 所以 3 (1,2) 3 m 故 2 22 5 cos, 5| |10 3 3 n m m n nm ， 设二面角BPCE的大小为，则 2 5 cos 5 . 【点晴】本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量求二面角的大小，考查学生空间想象能力，数学运算 能力，是一道容易题. 12.（2020全国 3 卷）如图，在长方体 1111 ABCDABC D中，点,E F分别在棱 11 ,DD BB上，且 1 2DEED， 1 2BFFB 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（72114412
35、9）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 （1）证明：点 1 C在平面AEF内； （2）若2AB ，1AD ， 1 3AA ，求二面角 1 AEFA的正弦值 【答案】（1）证明见解析；（2） 42 7 . 【解析】（1）连接 1 C E、 1 C F，证明出四边形 1 AEC F为平行四边形，进而可证得点 1 C在平面AEF内； （2）以点 1 C为坐标原点， 11 C D、 11 C B、 1 CC所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系 1 Cxyz， 利用空间向量法可计算出二面角 1 AEFA的余弦值，进而可求得二面角 1 AEFA的正弦值. 【详解】（1）在
36、棱 1 CC上取点G，使得 1 1 2 CGCG，连接DG、FG、 1 C E、 1 C F， 在长方体 1111 ABCDABC D中，/AD BC且ADBC， 11 /BBCC且 11 BBCC， 1 1 2 CGCG， 1 2BFFB， 11 22 33 CGCCBBBF且CGBF， 所以，四边形BCGF为平行四边形，则/AF DG且AFDG， 同理可证四边形 1 DEC G为平行四边形， 1 /C E DG且 1 C EDG， 1 /C E AF且 1 C EAF，则四边形 1 AEC F为平行四边形，因此，点 1 C在平面AEF内； 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数
37、学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 （2）以点 1 C为坐标原点， 11 C D、 11 C B、 1 CC所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐 标系 1 Cxyz，则2,1,3A、 1 2,1,0A、2,0,2E、0,1,1F， 0, 1, 1AE ，2,0, 2AF ， 1 0, 1,2AE ， 1 2,0,1AF ， 设平面AEF的法向量为 111 ,mx y z ， 由 0 0 m AE m AF ，得 11 11 0 220 yz xz 取 1 1z ，得 11 1xy，则1,1, 1m ， 设平面 1 AEF的
38、法向量为 222 ,nxyz ， 由 1 1 0 0 n AE n AF ，得 22 22 20 20 yz xz ，取 2 2z ，得 2 1x ， 2 4y ，则 1,4,2n ， 37 cos, 7321 m n m n mn ， 设二面角 1 AEFA的平面角为，则 7 cos 7 ， 2 42 sin1 cos 7 . 因此，二面角 1 AEFA的正弦值为 42 7 . 【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能 力，属于中等题. 13.（2020新全国 1 山东）如图，四棱锥 P-ABCD 的底面为正方形，PD底面 ABCD设平面
39、PAD 与平面 PBC 的交线为 l 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 （1）证明：l平面 PDC； （2）已知 PD=AD=1，Q 为 l 上的点，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值 【答案】（1）证明见解析；（2） 6 3 . 【解析】（1）利用线面垂直的判定定理证得AD平面PDC，利用线面平行的判定定理以及性质定理， 证得/AD l，从而得到l 平面PDC； （2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点( ,0,1)Q m，之后求得平面QCD 的
40、法向量以及向量PB 的坐标，求得cos, n PB 的最大值，即为直线PB与平面QCD所成角的正弦值的 最大值. 【详解】（1）证明： 在正方形ABCD中，/AD BC， 因为AD 平面PBC，BC 平面PBC，所以/AD平面PBC， 又因为AD平面PAD，平面PAD平面PBCl，所以/AD l， 因为在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，所以,ADDClDC 且PD 平面ABCD，所以,ADPDlPD 因为CDPDD所以l 平面PDC； （2）如图建立空间直角坐标系Dxyz， 因为1PDAD，则有(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)DCAPB，
41、 设( ,0,1)Q m，则有(0,1,0),( ,0,1),(1,1, 1)DCDQmPB ， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 设平面QCD的法向量为( , , )nx y z ，则 0 0 DC n DQ n ，即 0 0 y mxz ， 令1x ，则zm ，所以平面QCD的一个法向量为(1,0,)nm ，则 2 1 0 cos, 31 n PBm n PB n PBm 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与 平面所成角的正弦值
42、等于 2 |1| |cos,| 31 m n PB m r uur 2 2 312 31 mm m 22 3232|36 111 1 313133 mm mm ，当且仅当1m 时取等号， 所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为 6 3 . 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定 和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目. 14.（2020浙江卷）如图，三棱台 DEFABC 中，面 ADFC面 ABC，ACB=ACD=45，DC =2BC （I）证明：EFDB； （II）求 DF 与面 DBC 所成角的正弦值
43、 【答案】（I）证明见解析；（II） 3 3 【解析】 【分析】（I）作DHAC交AC于H，连接BH，由题意可知DH 平面ABC，即有DHBC，根 据勾股定理可证得BCBH，又/ /EFBC，可得DHEF，BHEF，即得EF 平面BHD，即 证得EFDB； 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 （II）由/ /DFCH，所以DF与平面DBC所成角即为CH与平面DBC所成角，作HGBD于G，连 接CG，即可知HCG即为所求角，再解三角形即可求出DF与平面DBC所成角的正弦值 【详解】（）作DH
44、AC交AC于H，连接BH 平面ADFC 平面ABC，而平面ADFC 平面ABCAC，DH 平面ADFC， DH 平面ABC，而BC 平面ABC，即有DHBC 45ACBACD ， 222CDCHBCCHBC 在CBH中， 2222 2cos45BHCHBCCH BCBC ，即有 222 BHBCCH ，BHBC 由棱台的定义可知，/ /EFBC，所以DHEF，BHEF，而BHDHH， EF 平面BHD，而BD 平面BHD，EFDB （）因为/ /DFCH，所以DF与平面DBC所成角即为与CH平面DBC所成角 作HGBD于G，连接CG，由（1）可知，BC平面BHD， 因为所以平面BCD 平面BHD，而平面BCD平面BHDBD， HG 平面BHD，HG 平面BCD 即CH在平面DBC内的射影为CG，HCG即为所求角 在RtHGC中，设BCa，则 2CHa ， 22 33 BH DHa a HGa BDa ， 13 sin 33 HG HCG CH 故DF与平面DBC所成角的正弦值为 3 3 【点睛】本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成的角的求 法，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于基础题
