1、2021 年全国统一高考数学试卷（新高考卷） 一选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1. 复数 2i 1 3i 在复平面内对应的点所在的象限为（） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 2. 设集合 1,2,3,4,5,6,1,3,6,2,3,4UAB ，则 U AB （） A.3B.1,6C.5,6D.1,3 3. 若抛物线 2 2(0)ypx p的焦点到直线 1yx 的距离为 2，则 p （ ） A. 1B. 2C.2 2D. 4 4. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果在卫星导航系
2、统中，地球静止同步卫星的轨道 位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离） 将地球看作是一 个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数地球表面上能 直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为 2 2(1cos )Sr（单位： 2 km ） ，则S占地球表面积的百分比约为（） A. 26%B. 34%C. 42%D. 50% 5. 正四棱台的上下底面的边长分别为 2，4，侧棱长为 2，则其体积为（） A.20 12 3B.28 2C. 56 3 D. 28 2 3 6. 某物理
3、量的测量结果服从正态分布 2 10,N ，下列结论中不正确的是（） A.越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大 B.越小，该物理量在一次测量中大于 10的概率为 0.5 C.越小，该物理量在一次测量中小于 9.99 与大于 10.01 的概率相等 D.越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等 7. 已知 5 log 2a ， 8 log 3b ， 1 2 c ，则下列判断正确的是（） A.cbaB.bacC.acbD.abc 8. 已知函数 fx的定义域为R，2f x为偶函数，21fx为奇函数，则（） A. 1 0 2 f B.1
4、0f C. 20fD. 40f 二选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9. 下列统计量中，能度量样本 12 , n x xx 的离散程度的是（） A. 样本 12 , n x xx 的标准差B. 样本 12 , n x xx 的中位数 C. 样本 12 , n x xx 的极差D. 样本 12 , n x xx 的平均数 10. 如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点则满足MNOP 的是（） A.B. C.D. 11. 已知直线 2 :0
5、l axbyr与圆 222 :C xyr，点( , )A a b，则下列说法正确的是（） A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 12. 设正整数 01 011 2222 kk kk naaaa ，其中0,1 i a ，记 01k naaa 则 （） A. 2nn B. 231nn C.8543nnD.21 n n 三填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13. 已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程
6、为_ 14. 写出一个同时具有下列性质的函数 :fx_ 1212 f x xf xf x；当(0,)x时，( )0fx；( ) fx是奇函数 15. 已知向量 0abc ， 1a ， 2bc ，a b b cc a _ 16. 已知函数 12 ( )1,0,0 x f xexx ，函数 ( )f x 的图象在点 11 ,A x f x和点 22 ,B xf x的两条 切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 | | AM BN 取值范围是_ 四解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 17. 记 n S是公差不为 0 的等差数列 n a 的前n项和，若 35
7、244 ,aS a aS （1）求数列 n a 的通项公式 n a； （2）求使 nn Sa 成立的n的最小值 18. 在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，1ba，2ca. （1）若2sin3sinCA，求ABC的面积； （2）是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由 19. 在四棱锥Q ABCD 中，底面ABCD是正方形，若2,5,3ADQDQAQC （1）证明：平面QAD 平面ABCD； （2）求二面角B QDA的平面角的余弦值 20. 已知椭圆C的方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，右焦点为( 2,0)F，且离心率为
8、6 3 （1）求椭圆C的方程； （2）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线 222( 0)xybx相切证明：M，N，F三点共线 的充要条件是|3MN 21. 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来， 设一个这种微生物为第 0 代， 经过一次繁殖后为第 1 代，再经过一次繁殖后为第 2 代，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示 1 个微生物个体繁殖下一代的个数，()(0,1,2,3) i P Xip i （1）已知 0123 0.4,0.3,0.2,0.1pppp ，求 ()E X ； （2） 设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程： 2
9、3 0123 pp xp xp xx 的一个最小正实根，求证：当 ()1E X 时，1p ，当 ()1E X 时， 1p ； （3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义 22. 已知函数 2 ( )(1) x f xxeaxb （1）讨论 ( )f x 的单调性； （2）从下面两个条件中选一个，证明： ( )f x 有一个零点 2 1 ,2 22 e aba； 1 0,2 2 aba 2021 年全国统一高考数学试卷（新高考全国卷） 参考答案与试题解析 一选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1. 复数 2i 1 3i
10、在复平面内对应的点所在的象限为（） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【思路分析】利用复数的除法可化简 2i 1 3i ，从而可求对应的点的位置. 【解析】 ： 2i1 3i2i55i1 i 1 3i10102 ，所以该复数对应的点为 1 1 , 2 2 ， 该点在第一象限，故选：A. 2. 设集合 1,2,3,4,5,6,1,3,6,2,3,4UAB ，则 U AB （） A.3B.1,6C.5,6D.1,3 【思路分析】根据交集、补集的定义可求 U AB . 【解析】 ：由题设可得 U 1,5,6B ，故 U 1,6AB ，故选：B. 3. 若抛物线 2 2(0)y
11、px p的焦点到直线 1yx 的距离为 2，则 p （ ） A. 1B. 2C.2 2D. 4 【思路分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得 p的值. 【解析】 ：抛物线的焦点坐标为 ,0 2 p ，其到直线 10 xy 的距离： 0 1 2 2 1 1 p d ，解得： 2p ( 6p 舍去).故选：B. 4. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道 位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离） 将地球看作是一 个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所
12、成角的度数地球表面上能 直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为 2 2(1cos )Sr（单位： 2 km ） ，则S占地球表面积的百分比约为（） A. 26%B. 34%C. 42%D. 50% 【思路分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果. 【解析】 ：由题意可得，S占地球表面积的百分比约为： 2 2 6400 1 640036000 0 2(1 . cos)1 cos 442 4 2% 22 r r .故选：C. 5. 正四棱台的上下底面的边长分别为 2，4，侧棱长为 2，则其体积为（） A.20 12 3B
13、.28 2C. 56 3 D. 28 2 3 【思路分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解. 【解析】 ：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图， 因为该四棱台上下底面边长分别为 2，4，侧棱长为 2， 所以该棱台的高 2 2 22 222h ，下底面面积 1 16S ，上底面面积 2 4S ， 所以该棱台的体积 1212 1128 2164642 333 Vh SSS S.故选：D. 6. 某物理量的测量结果服从正态分布 2 10,N ，下列结论中不正确的是（） A.越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大 B.越小，该物理
14、量在一次测量中大于 10 的概率为 0.5 C.越小，该物理量在一次测量中小于 9.99 与大于 10.01 的概率相等 D.越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等 【思路分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解. 【解析】 ： 对于 A， 2 为数据的方差， 所以越小， 数据在 10 附近越集中， 所以测量结果落在 9.9,10.1 内的概率越大，故 A 正确； 对于 B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于 10 的概率为0.5，故 B 正确； 对于 C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率
15、与小于9.99的概率相 等，故 C 正确； 对于 D，因为该物理量一次测量结果落在9.9,10.0的概率与落在10.2,10.3的概率不同，所以一次测量 结果落在9.9,10.2的概率与落在10,10.3的概率不同，故 D 错误. 故选：D. 7. 已知 5 log 2a ， 8 log 3b ， 1 2 c ，则下列判断正确的是（） A.cbaB.bacC.acbD.abc 【思路分析】对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系，由此可得出结论. 【解析】 ： 5588 1 log 2log5log 2 2log 3 2 ab，即acb.故选：C. 8. 已知函数 fx的定义域为R，2f x
16、为偶函数，21fx为奇函数，则（） A. 1 0 2 f B.10f C. 20fD. 40f 【思路分析】推导出函数 fx是以4为周期的周期函数，由已知条件得出 10f，结合已知条件可得 出结论. 【解析】 ：因为函数2f x为偶函数，则 22fxfx ，可得31f xfx， 因为函数21fx为奇函数，则 1221fxfx ，所以， 11fxfx ， 所以，311f xf xf x ，即 4f xf x， 故函数 fx是以4为周期的周期函数， 因为函数 21F xfx为奇函数，则 010Ff， 故 110ff ，其它三个选项未知.故选：B. 二选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 2
17、0 分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9. 下列统计量中，能度量样本 12 , n x xx 的离散程度的是（） A. 样本 12 , n x xx 的标准差B. 样本 12 , n x xx 的中位数 C. 样本 12 , n x xx 的极差D. 样本 12 , n x xx 的平均数 【思路分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项. 【解析】 ：由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度； 由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势； 由极差的定义可知，极差
18、考查的是数据的离散程度； 由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC. 10. 如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点则满足MNOP 的是（） A.B. C.D. 【思路分析】根据线面垂直的判定定理可得 BC 的正误，平移直线MN构造所考虑的线线角后可判断 AD 的正误. 【解析】 ：设正方体的棱长为2， 对于 A，如图（1）所示，连接AC，则/MN AC， 故POC（或其补角）为异面直线 ,OP MN所成的角， 在直角三角形OPC， 2OC ，1CP ，故 12 tan 22 POC， 故MNOP不成立，故 A 错误. （或者易得OP在上底
19、面的射影为MN，故MNOP不成立） 对于 B，如图（2）所示，取NT的中点为Q，连接PQ，OQ，则OQ NT ，PQ MN ， 由正方体SBCMNADT可得SN 平面ANDT，而OQ 平面ANDT， 故SN OQ ，而SNMNN，故OQ 平面SNTM， 又MN 平面SNTM，OQ MN ，而OQ PQQ ， 所以MN 平面OPQ，而PO 平面OPQ，故MNOP，故 B 正确. 对于 C，如图（3） ，连接BD，则/BD MN，由 B 的判断可得OPBD， 故OPMN，故 C 正确. 对于 D，如图（4） ，取AD的中点Q，AB的中点K，连接 ,AC PQ OQ PK OK， 则/AC MN，
20、因为DP PC ，故 /PQ AC，故/PQ MN， 所以 QPO 或其补角为异面直线 ,PO MN所成的角， 因为正方体的棱长为 2，故 1 2 2 PQAC， 22 123OQAOAQ， 22 4 15POPKOK ， 222 QOPQOP，故QPO不是直角， 故 ,PO MN不垂直，故 D 错误.故选：BC. 11. 已知直线 2 :0l axbyr与圆 222 :C xyr，点( , )A a b，则下列说法正确的是（） A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
21、【思路分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为 222 ,abr的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆 的位置关系即可得解. 【解析】 ：圆心0,0C到直线l的距离 2 22 r d ab ， 若点,A a b在圆C上，则 222 abr，所以 2 22 = r dr ab ， 则直线l与圆C相切，故 A 正确； 若点 ,A a b在圆C内，则 222 abr，所以 2 22 r dr ab ， 则直线l与圆C相离，故 B 正确； 若点 ,A a b在圆C外，则 222 abr，所以 2 22 r dr ab ， 则直线l与圆C相交，故 C 错误； 若点,A a b在直线l上，则 222 0a
22、br即 222 =abr， 所以 2 22 = r dr ab ，直线l与圆C相切，故 D 正确.故选：ABD. 12. 设正整数 01 011 2222 kk kk naaaa ，其中0,1 i a ，记 01k naaa 则 （） A. 2nnB. 231nn C.8543nnD.21 n n 【思路分析】利用 n 的定义可判断 ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断 B 选项的正误. 【解析】 ：对于 A 选项， 01k naaa ， 121 011 22222 kk kk naaaa ， 所以， 01 2 k naaan ，A 选项正确； 对于 B 选项，取2n ， 012 2371
23、21 21 2n ， 73 ， 而 01 20 21 2 ，则 21，即 721，B 选项错误； 对于 C 选项， 34302343 0101 8522251 21 2222 kk kk naaaaaa ， 所以， 01 852 k naaa ， 23201232 0101 4322231 21 2222 kk kk naaaaaa ， 所以， 01 432 k naaa ，因此， 8543nn ，C 选项正确； 对于 D 选项， 011 21222 nn ，故21 n n，D 选项正确. 故选：ACD. 三填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13. 已知双曲线 22 22
24、 10,0 xy ab ab 的离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程为_ 【思路分析】由双曲线离心率公式可得 2 2 3 b a ，再由渐近线方程即可得解. 【解析】 ：因为双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的离心率为 2， 所以 222 22 2 cab e aa ，所以 2 2 3 b a ， 所以该双曲线的渐近线方程为3 b yxx a .故答案为：3yx . 【归纳总结】本题考查了双曲线离心率的应用及渐近线的求解，考查了运算求解能力，属于基础题. 14. 写出一个同时具有下列性质的函数 :fx_ 1212 f x xf xf x；当(0,)x时，( )0fx；( ) fx
25、是奇函数 【思路分析】根据幂函数的性质可得所求的 fx. 【解析】 ：取 4 f xx ，则 4 44 21121122 xf xfxxx xf xx，满足， 3 4fxx ，0 x 时有 0fx ，满足， 3 4fxx的定义域为R， 又 3 4fxxfx ，故 fx 是奇函数，满足. 故答案为： 4 f xx （答案不唯一， 2*n xNfnx 均满足） 【归纳总结】熟悉常见基本初等函数的基本性质有利于进行构造. 15. 已知向量 0abc ， 1a ， 2bc ，a b b cc a _ 【思路分析】由已知可得 2 0abc ，展开化简后可得结果. 【解析】 ：由已知可得 2 222 29
26、20abcabca bb cc aa bb cc a ， 因此， 9 2 a bb cc a .故答案为： 9 2 . 【归纳总结】三个数的完全平方的式子要熟悉. 16. 已知函数 12 ( )1,0,0 x f xexx，函数( )f x的图象在点 11 ,A x f x和点 22 ,B xf x的两条 切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 | | AM BN 取值范围是_ 【 思 路 分 析 】 结 合 导 数 的 几 何 意 义 可 得 12 0 xx ， 结 合 直 线 方 程 及 两 点 间 距 离 公 式 可 得 1 2 1 1 x eAxM ， 2 2 2 1 x eBxN
27、 ，化简即可得解. 【解析】 ：解法一：由题意， 10 1 1,0 , x x x ex fxe ex ，则 0 , , 0 x x x fx e e x ， 所以点 1 1,1 x A xe 和点 2 2, 1 x B x e ， 12 , xx AMBN keke , 所以 12 12 1,0 xx eexx ， 所以 1111 11 ,0:,11 xxxx eexxeAMeyMx ， 所以 11 2 22 111 1 xx xe xexAM， 同理 2 2 2 1 x eBxN , 所以 1 11 1 21 2 2 22 1 22 2 2 111 0,1 11 1 x xx x xx x
28、 exee e ee e N x AM B . 故答案为：( ) 0,1 解法二： （浙江王海雷补解）由题 e1 ,0 e1,0 x x x f x x ，得 e,0 e ,0 x x x fx x ， 故 1 ex AM k ， 2 ex AN k， 又 12 e1 xx AMAN AMANkk ，得 12 0 xx， 如图易得AEMBFN ，且有BF OE ， 所以 tan AMAEAE AOE BNBFOE ， 而 0 10an=teAOE，所以 0,1 AM BN 故填：故填： 0,1 【归纳总结】 解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件 12 0 xx ，消去一个变量后，运算即可
29、得解. 四解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 17. 记 n S是公差不为 0 的等差数列 n a 的前n项和，若 35244 ,aS a aS （1）求数列 n a 的通项公式 n a； （2）求使 nn Sa 成立的n的最小值 【思路分析】(1)由题意首先求得 3 a的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式； (2)首先求得前 n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定 n 的最小值. 【解析】 ：(1)由等差数列的性质可得： 53 5Sa ，则： 333 5,0aaa ， 设等差数列的公差为d，从而有： 2 2433 a aadad
30、d ， 412343333 22Saaaaadadaadd ， 从而： 2 2dd ，由于公差不为零，故：2d ， 数列的通项公式为： 3 326 n aandn . (2)由数列的通项公式可得： 1 264a ，则： 2 1 426 2 n n n Snnn ， 则不等式 nn Sa 即： 2 526nnn，整理可得： 160nn ， 解得：1n 或6n，又n为正整数，故n的最小值为7. 【归纳总结】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等 差数列的有关公式并能灵活运用. 18. 在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，1ba，2ca. （
31、1）若2sin3sinCA，求ABC的面积； （2）是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由 【思路分析】 （1）由正弦定理可得出23ca，结合已知条件求出a的值，进一步可求得b、c的值，利用 余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sinB，再利用三角形的面积公式可求得结果； （2）分析可知，角C为钝角，由cos0C 结合三角形三边关系可求得整数a的值. 【解析】 ： （1）因为2sin3sinCA，则2223caa，则4a ，故5b ，6c ， 222 1 cos 28 abc C ab +- =，所以，C为锐角，则 2 3 7 sin1cos 8 C
32、C， 因此， 113 715 7 sin4 5 2284 ABC SabC ； （2）显然cba，若ABC为钝角三角形，则C为钝角， 由余弦定理可得 22 2 2222 1223 cos0 22121 aaaabcaa C aba aa a ， 解得13a ，则0 3a， 由三角形三边关系可得12aaa ，可得1a ，aZ，故2a . 19. 在四棱锥QABCD中，底面ABCD是正方形，若2,5,3ADQDQAQC （1）证明：平面QAD 平面ABCD； （2）求二面角B QDA 的平面角的余弦值 【思路分析】 （1）取AD的中点为O，连接 ,QO CO，可证QO 平面ABCD，从而得到面QA
33、D 面 ABCD. （2）在平面ABCD内，过O作/OT CD，交BC于T，则OTAD，建如图所示的空间坐标系，求出 平面QAD、平面BQD的法向量后可求二面角的余弦值. 【解析】 ： （1）取AD的中点为O，连接 ,QO CO. 因为QA QD ，OAOD，则QO AD， 而2,5ADQA，故5 12QO . 在正方形ABCD中，因为2AD ，故1DO ，故5CO ， 因为3QC ，故 222 QCQOOC，故QOC为直角三角形且QOOC， 因为OCADO，故QO 平面ABCD， 因为QO 平面QAD，故平面QAD 平面ABCD. （2）解法一：在平面ABCD内，过O作/OT CD，交BC于
34、T，则OTAD， 结合（1）中的QO 平面ABCD，故可建如图所示的空间坐标系. 则0,1,0 ,0,0,2 ,2, 1,0DQB，故2,1,2 ,2,2,0BQBD . 设平面QBD的法向量, ,nx y z ， 则 0 0 n BQ n BD 即 220 220 xyz xy ，取1x ，则 1 1, 2 yz， 故 1 1,1, 2 n . 而平面QAD的法向量为1,0,0m ，故 12 cos, 3 3 1 2 m n . 二面角B QDA 的平面角为锐角，故其余弦值为 2 3 . 解法二： （浙江王海雷补解）过B作BM QD 于点M 由（1）可知：平面QAD 平面ABCD BAAD
35、BA面QAD 在 BQD 中， 22 3BQQAAB,5QD ，2 2BD 222 5 cos 25 QBQDBD BQD QBQD ，即 2 5 sin 5 BM BQD BQ 得： 6 5 5 BM 即 5 sinBMA 3 BA BM ， 2 cos 3 BMA 即二面角B QDA 的平面角的余弦值为 2 3 20. 已知椭圆C的方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，右焦点为( 2,0)F，且离心率为 6 3 （1）求椭圆C的方程； （2）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线 222( 0)xybx相切证明：M，N，F三点共线 的充要条件是|3MN 【思路分析】 （1）由
36、离心率公式可得3a ，进而可得 2 b，即可得解； （2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证3MN ； 充分性：设直线 :,0MNykxb kb ，由直线与圆相切得 22 1bk，联立直线与椭圆方程结合弦长 公式可得 2 2 2 24 13 1 3 k k k ，进而可得1k ，即可得解. 【解析】 ： （1）由题意，椭圆半焦距 2c 且 6 3 c e a ，所以3a ， 又 222 1bac，所以椭圆方程为 2 2 1 3 x y； （2）由（1）得，曲线为 22 1(0)xyx， 当直线MN的斜率不存在时，直线:1MN x ，不合题意； 当直线MN的斜率
37、存在时，设 1122 ,M x yN xy ， 必要性： 若M，N，F三点共线，可设直线 :2MNyk x 即20kxyk， 由直线MN与曲线 22 1(0)xyx相切可得 2 2 1 1 k k ，解得1k ， 联立 2 2 2 1 3 yx x y 可得 2 46 230 xx ，所以 1212 2 , 3 24 3 xxxx， 所以 2 1212 1 143MNxxx x , 所以必要性成立； 充分性：设直线:,0MNykxb kb即 0kxyb ， 由直线MN与曲线 22 1(0)xyx相切可得 2 1 1 b k ，所以 22 1bk， 联立 2 2 1 3 ykxb x y 可得
38、222 1 36330kxkbxb ， 所以 2 1212 22 633 , 1 31 3 kbb xxxx kk ， 所以 2 2 2 22 1212 22 633 1414 1 31 3 kbb MNkxxxxk kk 2 2 2 24 1 1 3 k k k 3， 化简得 2 2 310k ，所以1k ， 所以 1 2 k b 或 1 2 k b ，所以直线:2MN yx或2yx ， 所以直线MN过点( 2,0)F，M，N，F三点共线，充分性成立； 所以M，N，F三点共线的充要条件是|3MN 【归纳总结】 解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重
39、中之重. 21. 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来， 设一个这种微生物为第 0 代， 经过一次繁殖后为第 1 代，再经过一次繁殖后为第 2 代，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示 1 个微生物个体繁殖下一代的个数，()(0,1,2,3) i P Xip i （1）已知 0123 0.4,0.3,0.2,0.1pppp ，求 ()E X ； （2） 设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程： 23 0123 pp xp xp xx 的一个最小正实根，求证：当 ()1E X 时，1p ，当 ()1E X 时， 1p ； （3）根据你的理解
40、说明（2）问结论的实际含义 【思路分析】 （1）利用公式计算可得 ()E X . （2）利用导数讨论函数的单调性，结合 10f及极值点的范围可得 fx的最小正零点. （3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明. 【解析】 ： （1） ()0 0.4 1 0.32 0.23 0.11E X . （2）设 32 3210 1f xp xp xpxp ， 因为 3210 1pppp ，故 32 322030 f xp xp xpppxp， 若1E X ，则 123 231ppp，故 230 2ppp . 2 32203 32fxp xp xppp ， 因为 203 00fppp ， 230 1
41、20fppp ， 故 fx 有两个不同零点 12 ,x x，且 12 01xx ， 且 12 ,xxx 时， 0fx； 12 ,xx x时， 0fx； 故 fx在 1 ,x ， 2, x 上为增函数，在 12 ,x x 上为减函数， 若 2 1x ，因为 fx在 2, x 为增函数且 10f ， 而当 2 0,xx 时，因为 fx在 12 ,x x 上为减函数，故 2 10f xf xf ， 故1为 23 0123 pp xp xp xx的一个最小正实根， 若 2 1x ，因为 10f且在 2 0,x 上为减函数，故 1 为 23 0123 pp xp xp xx的一个最小正实根， 综上，若1
42、E X ，则1p . 若 1E X ，则 123 231ppp ，故 230 2ppp . 此时 203 00fppp ， 230 120fppp， 故 fx 有两个不同零点 34 ,x x，且 34 01xx ， 且 34 ,xxx 时， 0fx； 34 ,xx x 时， 0fx ； 故 fx在 3 ,x ， 4, x 上为增函数，在 34 ,x x 上为减函数， 而 10f，故 4 0f x ， 又 0 00fp ，故 fx在 4 0,x 存在一个零点 p，且 1p . 所以 p为 23 0123 pp xp xp xx的一个最小正实根，此时1p ， 故当 1E X 时， 1p . （3）
43、意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过 1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过 1，则若干代后被灭绝的概率小于 1. 22. 已知函数 2 ( )(1) x f xxeaxb （1）讨论 ( )f x 的单调性； （2）从下面两个条件中选一个，证明： ( )f x 有一个零点 2 1 ,2 22 e aba； 1 0,2 2 aba 【思路分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可； (2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论. 【解析】 ：(1)由函数的解析式可得： 2 x fxx ea ， 当0a 时，若,0 x ，则 0
44、,fxf x单调递减， 若0,x，则 0,fxf x单调递增； 当 1 0 2 a 时，若,ln 2xa ，则 0,fxf x 单调递增， 若ln 2,0 xa，则 0,fxf x单调递减， 若 0,x，则 0,fxf x 单调递增； 当 1 2 a 时， 0,fxf x在R上单调递增； 当 1 2 a 时，若,0 x ，则 0,fxf x单调递增， 若0,ln 2xa，则 0,fxf x单调递减， 若ln 2,xa，则 0,fxf x单调递增； (2)若选择条件： 由于 2 1 22 e a ，故 2 12ae，则 21,01 0bafb ， 而 2 10 b fbb eabb ， 而函数在
45、区间,0上单调递增，故函数在区间,0上有一个零点. 2 ln 22ln 21ln 2faaaaab 2 2ln 21ln 22aaaaa 2 2 ln 2ln 2aaaa ln 22ln 2aaa ， 由于 2 1 22 e a ， 2 12ae，故 ln 22ln 20aaa ， 结合函数的单调性可知函数在区间 0, 上没有零点. 综上可得，题中的结论成立. 若选择条件： 由于 1 0 2 a ，故21a ，则 01 21 0fba ， 当0b 时， 2 4,42ea， 2 240fea b ， 而函数在区间0,上单调递增，故函数在区间0,上有一个零点. 当0b 时，构造函数 1 x H x
46、ex ，则 1 x Hxe， 当,0 x 时， 0,HxH x 单调递减， 当0,x时， 0,HxH x 单调递增， 注意到 00H，故 0H x 恒成立，从而有：1 x ex，此时： 22 111 x f xxeaxbxxaxb 2 11a xb， 当 1 1 b x a 时， 2 110a xb， 取 0 1 1 1 b x a ，则 0 0fx ， 即： 1 00,10 1 b ff a ， 而函数在区间 0, 上单调递增，故函数在区间 0, 上有一个零点. 2 ln 22ln 21ln 2faaaaab 2 2ln 21ln 22aaaaa 2 2 ln 2ln 2aaaa ln 22
47、ln 2aaa ， 由于 1 0 2 a ，021a，故ln 22ln 20aaa ， 结合函数的单调性可知函数在区间,0上没有零点. 综上可得，题中的结论成立. 【归纳总结】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所 以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考 查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知 单调性，求参数(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题(4)考查数形结合思想的应用 初高中数学教研微信系列群简介： 目前有 15
48、 个群（13 个高中群，2 个初中群） ，共 5000 多优秀、特、高级教师，省、市、区县教研员、 教辅公司数学编辑、报刊杂志高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕高中数学教学研究展开教研活动的微 信群. 宗旨：脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的高中数学教研！ 特别说明： 1.本系列群只探讨高中数学教学研究、高中数学试题研究等相关话题； 2.由于本群是集“研究写作发表（出版） ”于一体的“桥梁” ，涉及业务合 作，特强调真诚交流，入群后立即群名片： 教师格式：省+市+真实姓名，如：四川成都张三 编辑格式：公司或者刊物（简写）+真实姓名 欢迎各位老师邀请你身边热爱高中数学教研（不喜欢研究的谢绝）的教师好友（学生谢绝）加入，大家 共同研究，共同提高！ 群主二维码：见右图
