（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册5.1 任意角和弧度制讲义（学生版+教师版）.zip

任意角和弧度制任意角和弧度制 要点一：任意角的概念要点一：任意角的概念 1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 正角:按逆时针方向旋转所形成的角. 负角:按顺时针方向旋转所形成的角. 零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 2.终边相同的角、象限角 终边相同的角为|360kkZ ， 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我x 们就说这个角是第几象限角. 要点诠释：要点诠释： (1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (2)终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.360 3常用的象限角 角的终边所在位置角的集合 x 轴正半轴Zkk,360| y 轴正半轴Zkk,90360| x 轴负半轴Zkk,180360| y 轴负半轴Zkk,270360| x 轴Zkk,180| y 轴Zkk,90180| 坐标轴Zkk,90| 是第一象限角，所以|36036090 ,kkkZ 是第二象限角，所以|36090360180 ,kkkZ 是第三象限角，所以|360180360270 ,kkkZ 是第四象限角，所以|360270360360 ,kkkZ 要点二：弧度制要点二：弧度制 1弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度角，记作 1，或 1 弧度，或 1(单位可以省略不rad 写). 2角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： 180rad 1rad=57.30=5718，1=0.01745(rad) 0 180 180 3弧长公式：(是圆心角的弧度数)，rl| 扇形面积公式：. 2 | 2 1 2 1 rrlS 要点诠释：要点诠释： (1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地, 正角的弧度数是2， 一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0,角的正负主要由角的旋转方向来决定. (2)角的弧度数的绝对值是：，其中， 是圆心角所对的弧长，是半径. r l lr 【典型例题典型例题】 类型一：终边相同的角的集合类型一：终边相同的角的集合 例 1在与 10030角终边相同的角中，求满足下列条件的角。 （1）最大的负角；（2）360720内的角。 例 2已知、的终边有下列关系，分别求、间的关系式。 （1）、的终边关于原点对称； （2）、的终边关于 x 轴对称； （3）、的终边关于 y 轴对称。 类型二：角类型二：角所在象限的研究所在象限的研究 n 例 3若是第二象限角，试分别确定，的终边所在的位置。2 2 3 举一反三：举一反三： 【变式 1】若是第三象限的角，则 2，分别是第几象限的角？ 2 【变式 2】集合，则( ), 42 |Zk k xxM , 24 |Zk k xxN A、 B、 C、 D、NM NM NM NM 类型三：弧度制与角度制的互化类型三：弧度制与角度制的互化 例 4用弧度表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合，如图所 示（不包括边界） 。 例 5设角，。 1 570 2 750 1 3 5 2 7 3 （1）将，用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限； 1 2 （2）将，用角度制表示出来，并在7200之间找出与它们有相同终边的所有角。 1 2 类型四：扇形的弧长、面积与圆心角问题类型四：扇形的弧长、面积与圆心角问题 例 6已知一扇形的圆心角为（0） ，所在圆的半径为 R （1）若=60，R=10 cm，求扇形的弧长及该扇形的面积； （2）一扇形的周长为 20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 举一反三：举一反三： 【变式 1】扇形 AOB 的面积是 4 cm2，它的周长是 10 cm，求扇形的圆心角的弧度数及弦 AB 的长。 任意角和弧度制任意角和弧度制 要点一：任意角的概念要点一：任意角的概念 1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 正角:按逆时针方向旋转所形成的角. 负角:按顺时针方向旋转所形成的角. 零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 2.终边相同的角、象限角 终边相同的角为|360kkZ ， 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我x 们就说这个角是第几象限角. 要点诠释：要点诠释： (1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (2)终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.360 3常用的象限角 角的终边所在位置角的集合 x 轴正半轴Zkk,360| y 轴正半轴Zkk,90360| x 轴负半轴Zkk,180360| y 轴负半轴Zkk,270360| x 轴Zkk,180| y 轴Zkk,90180| 坐标轴Zkk,90| 是第一象限角，所以|36036090 ,kkkZ 是第二象限角，所以|36090360180 ,kkkZ 是第三象限角，所以|360180360270 ,kkkZ 是第四象限角，所以|360270360360 ,kkkZ 要点二：弧度制要点二：弧度制 1弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度角，记作 1，或 1 弧度，或 1(单位可以省略不rad 写). 2角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： 180rad 1rad=57.30=5718，1=0.01745(rad) 0 180 180 3弧长公式：(是圆心角的弧度数)，rl| 扇形面积公式：. 2 | 2 1 2 1 rrlS 要点诠释：要点诠释： (1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地, 正角的弧度数是2， 一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0,角的正负主要由角的旋转方向来决定. (2)角的弧度数的绝对值是：，其中， 是圆心角所对的弧长，是半径. r l lr 【典型例题典型例题】 类型一：终边相同的角的集合类型一：终边相同的角的集合 例 1在与 10030角终边相同的角中，求满足下列条件的角。 （1）最大的负角；（2）360720内的角。 【解析】 （1）与 10030角终边相同的角的一般形式为=k360+10030（kZ） ， 由360k360+100300，得10390k36010030，解得 k=28， 故所求的最大负角为=50 （2）由 360k360+10030720，得9670k3609310，解得 k=26。故所求的角为 =670 例 2已知、的终边有下列关系，分别求、间的关系式。 （1）、的终边关于原点对称； （2）、的终边关于 x 轴对称； （3）、的终边关于 y 轴对称。 【解析】 （1）由于、的终边互为反向延长线，故、相差 180的奇数倍（如下图） ， 于是（kZ） 。(21) 180k （2）由于与的终边相同（如下图） ，于是=+k360，即+=k360（kZ） 。 （3）由于的终边与的终边互为反向延长线（如下图） ， 故()=(2k+1)180，即+=(2k+1)180（kZ） 类型二：角类型二：角所在象限的研究所在象限的研究 n 例 3若是第二象限角，试分别确定，的终边所在的位置。2 2 3 【解析】解法一：因为是第二象限的角，所以 k360+90k360+180（kZ） 。 （1）因为 2k360+1802k360+360（kZ） ，2 故是第三、第四象限的角或角的终边在 y 轴的负半轴上。2 （2）因为 k180+45k180+90（kZ） ，当 k=2n（nZ）时，n360+45n360+90； 2 2 当 k=2n+1（nZ）时，n360+225n360+270（kZ） ，所以是第一或第三象限的角。 2 2 （3）因为 k120+30k120+60（kZ） 。当 k=3n（nZ）时，n360+30n360+60； 3 3 当 k=3n+1（nZ）时，n360+150n360+180； 3 当 k=3n+2（nZ）时，n360+270n360+300，所以是第一或第二象限或第四象限的角。 3 3 举一反三：举一反三： 【变式 1】若是第三象限的角，则 2，分别是第几象限的角？ 2 【答案】一、二象限或轴的正半轴上；二、四象限y 【变式 2】集合，则( ), 42 |Zk k xxM , 24 |Zk k xxN A、 B、 C、 D、NM NM NM NM 【答案】C 【解析】( 法一) 取特殊值-1，-3，-2，-1，0，1，2，3，4,kZk (法二)在平面直角坐标系中，数形结合 (法三)集合 M 变形， (21)2 , 44 kk xkZ 集合 N 变形， (2)2 , 44 kk xkZ 是的奇数倍，是的整数倍，因此.(21)k(2)kMN 类型三：弧度制与角度制的互化类型三：弧度制与角度制的互化 例 4用弧度表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合，如图所 示（不包括边界） 。 【解析】 （1）如下图，以 OB 为终边的角为 330，可看成是30，化为弧度，即， 6 而rad，所求集合为。 5 7575 18012 5 |22, 612 kkkZ （2）如上图，以 OB 为终边的角 225，可看成是135，化成弧度，即， 3 4 而rad，所求集合为。 3 135135 1804 33 |22, 44 kkkZ 例 5设角，。 1 570 2 750 1 3 5 2 7 3 （1）将，用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限； 1 2 （2）将，用角度制表示出来，并在7200之间找出与它们有相同终边的所有角。 1 2 【解析】 （1），。 1 195 5704 66 2 25 7504 66 所以在第二象限，在第一象限。 1 2 （2），设=k360+（kZ） ， 1 3 108 5 1 因为7200，所以720k360+1080，解得 k=2 或 k=1， 所以在7200间与有相同终边的角是612和252。 1 同理=420，在7200间与有相同终边的角是60。 2 2 类型四：扇形的弧长、面积与圆心角问题类型四：扇形的弧长、面积与圆心角问题 例 6已知一扇形的圆心角为（0） ，所在圆的半径为 R （1）若=60，R=10 cm，求扇形的弧长及该扇形的面积； （2）一扇形的周长为 20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【解析】 （1）设弧长为 l，弓形面积为 S，则，60 3 R=10，（cm） ，设扇形面积为 S， 10 10 33 l 3 50 10 3 10 2 1 2 1 lRS （2）设扇形的半径为 R，弧为为 l， 则 l+2R=20，即 l=202R， （0R10） 扇形的面积 22 11 (202 )10(5)25 22 SlRR RRRR 当 R=5 cm 时，S 有最大值 25 cm2， 此时 l=10 cm，2rad l a R 因此，当=2 rad 时，扇形的面积取最大值 举一反三：举一反三： 【变式 1】扇形 AOB 的面积是 4 cm2，它的周长是 10 cm，求扇形的圆心角的弧度数及弦 AB 的长。 【解析】设长为 cm，扇形半径为 R cm，则由题意， ABl 得，解得 或 （不合题意，舍去） 。 210 1 4 2 lR l R 4 2 R l 1 8 R l （rad） 。 21 42 弦（cm） 。 11 2 4 sin8sin 44 AB