（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册5.4.3 正切函数的性质和图象讲义（学生版+教师版）.zip

正切函数的性质与图象正切函数的性质与图象 要点一：正切函数的图象要点一：正切函数的图象 由于 tan（x+）=tanx , y=tanx 是周期为 的周期函数只把 y=tanx , x的图象左、右移动) 2 , 2 ( k 个单位（kz）就得到 y=tanx（xR 且 xk+）的图象. 2 要点二：正切函数的性质要点二：正切函数的性质 1定义域：， zkkxx, 2 | 2值域：R 3周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是 4奇偶性：正切函数是奇函数，即xxtantan 要点诠释：要点诠释： 观察正切函数的图象还可得到：点是函数，且的对称,0 () 2 k kz tan ,yx xR 2 xk 中心，正切函数图象没有对称轴 奎屯 王新敞 新疆 5单调性：在开区间内，函数单调递增 奎屯 王新敞 新疆 zkkk 2 , 2 要点诠释：要点诠释： 正切函数在开区间内单调递增，不能说正切函数在整个定义域上是增函zkkk 2 , 2 数 要点三：正切函数型要点三：正切函数型的性质的性质tan()(0,0)yAxA 1定义域：将“”视为一个“整体”令解得x, 2 xkkz x 2值域：, 3单调区间：（1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与x0(0)AA 的相同（反） ；（3）解不等式，得出范围tan (,) 2 yx xkkz x 4.正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sinyxcosyxtanyx 图象 定义域RR , 2 x xkk 值域 1,11,1 R 最值 当时，2 2 xk k ； max 1y 当 2 2 xk 时，k min 1y 当时， 2xkk ； max 1y 当时，2xkk min 1y 无最值 周期性22 类型一：正切函数的图象类型一：正切函数的图象 例 1 （1）作出函数 y=tan x+2，的简图；, 2 2 x （2）作出下列函数的图象，并判断它们的周期性 y=tan |x|； y=|tan x| 奇偶性奇函数偶函数奇函数 单调性 在2,2 22 kk 上是增函数；k 在 3 2,2 22 kk 上是减函数k 在上2,2kkk 是增函数； 在 上2,2kkk 是减函数 在, 22 kk 上是增函数k 对称轴 2 xkk xkk无对称轴 对称中心 ,0kk ,0 2 kk ,0 2 k k 【变式 1】函数在区间内的图象大致是（ ）tansin| tansin|yxxxx 3 , 22 类型二：正切函数的周期性类型二：正切函数的周期性 例 2判断下列函数是否是周期函数.若是周期函数，求其最小正周期. （1）； （2）； （3）； （4）. 2 tanyx| tan|yxtan |yxtan(2) 3 yx 类型三：正切函数的单调性类型三：正切函数的单调性 例 3设函数( )tan() 23 x f x （1）求函数的定义域、周期和单调区间 （2）求不等式的解集( )3f x 举一反三：举一反三： 【变式 1】求函数的单调增区间.| tan(2 -)| 3 yx 【变式 2】函数在区间单调递减，求实数的取值范围.( )tanf xx(,) 2 2 类型四：正切函数性质的综合应用类型四：正切函数性质的综合应用 例 4函数 f（x）=tanx（0）的图象的相邻两个零点的距离为，则的值是（ ） 2 () 6 f A B C D13 3 3 3 【变式 1】 （1）求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性；tan 3 3 yx （2）求函数，的值域； 2 tan10tan1yxx , 4 3 x （3）设函数，已知函数的图象与 x 轴相邻两交点的( )tan()f xx(0,0) 2 ( )yf x 距离为，且图象关于点对称，求的解析式 2 ,0 8 M ( )f x 正切函数的性质与图象正切函数的性质与图象 要点一：正切函数的图象要点一：正切函数的图象 由于 tan（x+）=tanx , y=tanx 是周期为 的周期函数只把 y=tanx , x的图象左、右移动) 2 , 2 ( k 个单位（kz）就得到 y=tanx（xR 且 xk+）的图象. 2 要点二：正切函数的性质要点二：正切函数的性质 1定义域：， zkkxx, 2 | 2值域：R 3周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是 4奇偶性：正切函数是奇函数，即xxtantan 要点诠释：要点诠释： 观察正切函数的图象还可得到：点是函数，且的对称,0 () 2 k kz tan ,yx xR 2 xk 中心，正切函数图象没有对称轴 奎屯 王新敞 新疆 5单调性：在开区间内，函数单调递增 奎屯 王新敞 新疆 zkkk 2 , 2 要点诠释：要点诠释： 正切函数在开区间内单调递增，不能说正切函数在整个定义域上是增函zkkk 2 , 2 数 要点三：正切函数型要点三：正切函数型的性质的性质tan()(0,0)yAxA 1定义域：将“”视为一个“整体”令解得x, 2 xkkz x 2值域：, 3单调区间：（1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与x0(0)AA 的相同（反） ；（3）解不等式，得出范围tan (,) 2 yx xkkz x 4.正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sinyxcosyxtanyx 图象 定义域RR , 2 x xkk 值域 1,11,1 R 最值 当时，2 2 xk k ； max 1y 当 2 2 xk 时，k min 1y 当时， 2xkk ； max 1y 当时，2xkk min 1y 无最值 周期性22 类型一：正切函数的图象类型一：正切函数的图象 例 1 （1）作出函数 y=tan x+2，的简图；, 2 2 x （2）作出下列函数的图象，并判断它们的周期性 y=tan |x|； y=|tan x| 【解析】 （1）将函数 y=tan x 的图象向上平移 2 个单位得到，如图, 2 2 x （2） tan (,0,) 2 tan | tan (,0,) 2 xxkxkZ yx xxkxkZ 故当 x0 时，函数 y=tan |x|在 y 轴右侧的图象就是 y=tan x 的图象； 奇偶性奇函数偶函数奇函数 单调性 在2,2 22 kk 上是增函数；k 在 3 2,2 22 kk 上是减函数k 在上2,2kkk 是增函数； 在 上2,2kkk 是减函数 在, 22 kk 上是增函数k 对称轴 2 xkk xkk无对称轴 对称中心 ,0kk ,0 2 kk ,0 2 k k 当 x0 时，函数 y=tan |x|在 y 轴左侧的图象为 y=tan x 在 y 轴左侧的图象关于 x 对称的图象，如图 观察图象可知，y=tan |x|不是周期函数 ，类似可作出其图象，如下图所示 tan (,) 2 | tan| tan (,) 2 xkxkkZ yx xkxkkZ 观察图象可知，y=|tan x|是以 为周期的周期函数 【变式 1】函数在区间内的图象大致是（ ）tansin| tansin|yxxxx 3 , 22 【答案】D 类型二：正切函数的周期性类型二：正切函数的周期性 例 2判断下列函数是否是周期函数.若是周期函数，求其最小正周期. （1）； （2）； （3）； （4）. 2 tanyx| tan|yxtan |yxtan(2) 3 yx 【解析】 （1） 22 ( )tantan ()()f xxxf x 函数是周期函数，最小正周期是 2 tanyx （2）( ) | tan| | tan()|()f xxxf x 是周期函数，最小正周期是| tan|yx （3）由图象知，函数不是周期函数 （4）是周期函数，最小正周期是 2 类型三：正切函数的单调性类型三：正切函数的单调性 例 3设函数( )tan() 23 x f x （1）求函数的定义域、周期和单调区间 （2）求不等式的解集( )3f x 【解析】 （1）根据函数，可得，kZ，( )tan() 23 x f x 232 x k 求得，故函数的定义域为 5 2 3 xk 5 |2, 3 x xkkZ 它的周期为2 1 2 令，kZ，求得， 2232 x kk 5 22 33 kxk 故函数的增区间为，kZ 5 (2,2) 33 kk （2）求不等式，即，( )3f x tan()3 23 x 2233 x kk 求得，故不等式的解集为，kZ 4 22 33 kxk 4 (2,2 33 kk 举一反三：举一反三： 【变式 1】求函数的单调增区间.| tan(2 -)| 3 yx 【答案】 5 , 26212 kk 【变式 2】函数在区间单调递减，求实数的取值范围.( )tanf xx(,) 2 2 【解析】函数在区间单调递减( )tanf xx(,) 2 2 ，且，即： ，解得：, 2 2 x 0 2 2 0 x x 22 x ，, 222 2 22 22 10 类型四：正切函数性质的综合应用类型四：正切函数性质的综合应用 例 4函数 f（x）=tanx（0）的图象的相邻两个零点的距离为，则的值是（ ） 2 () 6 f A B C D13 3 3 3 【答案】C 【解析】函数 f（x）=tanx（0）图象相邻两个零点的距离为， 2 ，=2，f（x）=tan2x； 2 T ()tan(2)tan3 663 f 【变式 1】 （1）求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性；tan 3 3 yx （2）求函数，的值域； 2 tan10tan1yxx , 4 3 x （3）设函数，已知函数的图象与 x 轴相邻两交点的( )tan()f xx(0,0) 2 ( )yf x 距离为，且图象关于点对称，求的解析式 2 ,0 8 M ( )f x 【解析】 （1）由，得，3 32 xk 5 318 k x 所求定义域为 5 , 318 k x xRxkZ 且 值域为 R，周期，是非奇非偶函数 3 T 在区间（kZ）上是增函数 5 , 318318 kk （2）设 tan x=t，, 4 3 x 1, 3t y=tan2x+10tan x1=t2+10t1=(t5)2+24 当 t=1，即时，ymin=8，当，即时， 4 x 3t 3 x max 10 34y 函数的值域为8,10 34 （3）由题意可知，函数的最小正周期，即( )f x 2 T |2 0，=2从而( )tan(2)f xx 函数的图象关于点对称，( )yf x,0 8 M （kZ） ，即（kZ） 2 82 k 2 24 k ，只能取0 2 4 故( )tan 2 4 f xx