1、立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 第五章 三角函数 立德树人 和谐发展 在在研究三角函数时，我们还常常遇到研究三角函数时，我们还常常遇到这样的这样的问题：已知任意角问题：已知任意角、 的三角函数值的三角函数值，如何，如何求求+、 或或 2的三角函数值？的三角函数值？ 下面我们先引出平面内两点间的距离公式下面我们先引出平面内两点间的距离公式，并，并从两角和的余弦从两角和的余弦 公式谈起公式谈起. 新课引入新课引入 立德树人 和谐发展 在坐标平面内的任意两点在坐标平面内的任意两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), x y O . . P1(x1, y1) P2(x2, y2) M1
2、(x1, 0) M2(x2, 0) N1(0, y1) N2(0, y2) Q P1Q=M1M2=x1x2，QP2=N1N2=y1y2， 由勾股定理，可得由勾股定理，可得 P1P22=P1Q2+QP22 =(x1x2)2+(y1y2)2, =x1x22+y1y22 由此得到平面由此得到平面内内P1(x1, y1), P2(x2, y2) 两点间距离公式：两点间距离公式： P1P2= .)()( 2 21 2 21 yyxx 、两点间距离公式两点间距离公式知识梳理 新课引入新课引入 立德树人 和谐发展 第一步，从“形”的角度出发，找到相互对称的两个角的终边关系； 第二步，从“数”的角度考虑，写出
3、单位圆上相互对称的的点的坐标； 第三步，“数形”融合，将前两步的结果整合，得出结论 整体感知 问题之前我们利用圆的对称性证明了诱导公式，你还记 得当时我们证明诱导公式的思路和步骤吗？ 新课引入新课引入 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 新课引入新课引入 探究：已知任意角探究：已知任意角 的正弦和余弦，能否由的正弦和余弦，能否由此推此推 出出 的余弦吗？的余弦吗？ , , 12 46 终边 终边 终边 1 A 1 P P (1,0)A y xo 2,k k Z 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 学习新知学习新知 cos() 差角余弦公式差角余弦公式 问题问题1：如下图所示，能否求解各点坐
4、标呢？：如下图所示，能否求解各点坐标呢？ 11 (cos,sin),(cos(),sin(),(cos ,sin),PAP 1 1 AP AP与问题问题2： 有什么关系？有什么关系？ 问题问题3：如何计算两点距离？：如何计算两点距离？ 1 1 AP AP与问题问题4：求解：求解 ？ 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 （其中，其中，,为任意角为任意角） 公式的结构特征公式的结构特征: : 左边：左边：两角差的余弦两角差的余弦 右边：右边：同名三角函数乘积的和同名三角函数乘积的和 1 1 2 222 cos() 1sin () (coscos )(sinsin ) 2 2cos() 2 2(c
5、os cossin sin ) 2cos()2(cos cossin sin ) cos() cos cossin sin AP AP 根据两点间的距离公式可得： 学习新知学习新知 立德树人 和谐发展 差角的余弦公式 cos()cos cossin sin简记作简记作 () C 新知探究 学习新知学习新知 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 利用差角余弦公式求利用差角余弦公式求 的值的值cos15 cos() cos cossin sin - - + + 典型例题典型例题 解：（1）解法一： cos15cos(4530 )cos45 cos30sin45 sin30 232162 22224
6、 ； 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 思考：你会求思考：你会求 的值吗的值吗?sin75 利用差角余弦公式求利用差角余弦公式求 的值的值cos15 cos() cos cossin sin - - + + 典型例题典型例题 解：（1）解法二： cos15cos(6045 )cos60 cos45sin60 sin45 123226 22224 ； 立德树人 和谐发展 （1） ；（2） ；cos()cosxx cossin 2 xx 证明：（1）将公式 中的，分别替换为，x，得 () C cos()coscossinsincosxxxx ； （2）将公式 中的，分别替换为 ，x，得 ()
7、C 2 coscoscossinsinsin 222 xxxx ； 新知探究 例1证明： 典型例题典型例题 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 cos() cos cossin sin - - + + 例例3.已知已知 2 sin, ， ， 4 4 = = 5 5 cos ， 5 5 = = - - 1 13 3 是第三象限角，求 求cos(-)-)的值的值 典型例题典型例题 解： （2）因为 ，故 ， 2 ， 2 3 cos1sin 5 因为是第三象限角，故 ， 2 12 sin1cos 13 因此 3541233 cos()cos cossin sin 51351365 立德树人 和谐发
8、展 在在这节课中，我们研究了两个角这节课中，我们研究了两个角的和的和与差的正弦、余弦和正与差的正弦、余弦和正 切公式切公式，这些，这些公式在今后有大量的应用公式在今后有大量的应用，应，应熟练地、灵活地熟练地、灵活地掌握掌握 (例例3就是反过来用公式的例子就是反过来用公式的例子). 课堂小结 () C 圆的旋转对称性 诱导公式 勾股定理两点间的距离公式 立德树人 和谐发展 作业布置 作业作业A 1课本课本P228 习题习题5.5 第第1，2题题 课后作业课后作业 2金版金版P139-P140 立德树人 和谐发展 15 sin 17 cos 3 3 22 2 sin 3 3 cos 4 cos()
9、 已知 ，是第二象限角，求 的值 已知 ，且 ， ， 求 的值 答案： 15 38 34 答案： 3 52 7 12 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 1 cos175 cos55sin175 sin55（） (2)cos(21)cos(24) sin(21)sin(24) 11 (3)sinsin,coscos, 22 (0, ),(0, ) 22 已知 cos()求 2 2 1 1 2 2 2 2 cos()cos cossin sin- -+ + 1.计算下列各式的值. 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 2. (1)cos80 cos20sin80 sin20 13 (2)cos
10、15sin15 22 计算下列各值 1 3.cos() cossin() sin 3 3 (,2 ),cos() 24 已知 且 求的值 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 31 4( )cossin. 22 f xxx例 ： 求函数的周期 .2 ) 6 cos( 6 sinsin 6 coscos 所以函数的周期是 解：原式 x xx 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 cos() cos cossin sin - - + + 思考题：思考题：已知已知 都是锐角都是锐角,， cos， 4 4 = = 5 5 5 cos 13 + +cos求的值 = = + + 变角变角: 分析：分析： coscos s si in ns si in nc co os sc co os s 5 5 3 3 1 13 3 1 12 2 5 5 4 4 1 13 3 5 5 6 65 5 1 16 6
