1、10.3.2随机模拟 讲课人：邢启强 2 用频率估计概率，用频率估计概率，通过大量重复试验，反复计算事通过大量重复试验，反复计算事 件发生的频率，再由频率的稳定值估计概率，是十件发生的频率，再由频率的稳定值估计概率，是十 分费时的分费时的. . 有没有其他方法可以替代试验呢？有没有其他方法可以替代试验呢？ 对于实践中大量非古典概型的事件概率，又缺对于实践中大量非古典概型的事件概率，又缺 乏相关原理和公式求解乏相关原理和公式求解. .因此，我们设想通过计算机因此，我们设想通过计算机 模拟试验解决这些矛盾模拟试验解决这些矛盾. . 新课引入新课引入 我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生 随机数
2、.实际上，我们也可以根据不同的随机试验构 建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行 大量重复试验了. 讲课人：邢启强 3 对于抛掷一枚质地均匀硬币的试验，我们可以让计 算器或计算机产生取值于集合0,1的随机数，用0表 示反面朝上，用1表示正面朝上.这样不断产生0,1两 个随机数，相当于不断地做抛掷硬币的试验。 学习新知学习新知 例例:若抛掷一枚均匀的硬币若抛掷一枚均匀的硬币50次，如果没有硬币，你次，如果没有硬币，你 有什么办法得到试验的结果？有什么办法得到试验的结果？ 产生产生5050个个0 0，1 1两个随机数两个随机数. . 思考：思考：若抛掷一枚均匀的骰子若抛掷一枚均匀的骰子303
3、0次，如果没有骰次，如果没有骰 子，你有什么办法得到试验的结果？子，你有什么办法得到试验的结果？ 用用3030个个1 16 6之间的随机数之间的随机数. . 讲课人：邢启强 4 学习新知学习新知 一个袋中装有2个红球和3个白球，这些球除颜色不同外没有 其他差别.对于从袋中摸出一个球的试验，我们可以让计算器 或计算机产生取值于集合（1,2,3,4,5的随机数，用1,2表示红 球，用3,4,5表示白球.这样不断产生15之间的整数随机数， 相当于不断地做从袋中摸球的试验. 下表是用电子表格软件模拟上述摸球试验的结果，其中n为 实验次数,nA为摸到红球的频数，fn(A)为摸到红球的频率. 画出折线图,
4、从图中可以看出,随 着实验次数的增加,摸到红球的频 率稳定于概率0.4 利用随机模拟解决问题的方法叫 蒙特卡洛(Monte Carlo)方法 讲课人：邢启强 5 思考：思考：一般地一般地, ,如果一个古典概型的基本事件如果一个古典概型的基本事件 总数为总数为n,n,在没有试验条件的情况下，你有什在没有试验条件的情况下，你有什 么办法进行么办法进行m m次实验次实验, ,并得到相应的试验结果并得到相应的试验结果? ? 将将n n个基本事件编号为个基本事件编号为1 1，2 2，n n，用，用m m个个1 1n n 之间的随机数之间的随机数. . 思考：思考：如果一次试验中各基本事件不都是等可能如果
5、一次试验中各基本事件不都是等可能 发生，利用上述方法获得的试验结果可靠吗？发生，利用上述方法获得的试验结果可靠吗？ 学习新知学习新知 蒙特卡洛(Monte Carlo)方法最大优点最大优点: :不需要对试不需要对试 验进行具体操作，可以广泛应用到各个领域验进行具体操作，可以广泛应用到各个领域. . 讲课人：邢启强 6 例例1 1 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨 的概率均为的概率均为40%40%，用随机模拟方法估计这三天中恰有，用随机模拟方法估计这三天中恰有 两天下雨的概率约是多少？两天下雨的概率约是多少？ 要点分析：要点分析： （1 1）今后三天的
6、天气状况是随机的，共有四种可能结果，每个）今后三天的天气状况是随机的，共有四种可能结果，每个 结果的出现不是等可能的结果的出现不是等可能的. . （2 2）用数字）用数字1 1，2 2，3 3，4 4表示下雨，数字表示下雨，数字5 5，6 6，7 7，8 8，9 9，0 0表表 示不下雨，体现下雨的概率是示不下雨，体现下雨的概率是40%.40%. 典型例题典型例题 （3 3）用随机数表产生三个一组随机数）用随机数表产生三个一组随机数, ,代表三天的天气状况代表三天的天气状况. . （4 4）产生）产生3030组随机数，相当于做组随机数，相当于做3030次重复试验，以其中表示恰有次重复试验，以其
7、中表示恰有 两天下雨的随机数的频率作为这三天中恰有两天下雨的概率的近两天下雨的随机数的频率作为这三天中恰有两天下雨的概率的近 似值似值. . （5 5）据有关概率原理可知，这三天中恰有两天下雨的）据有关概率原理可知，这三天中恰有两天下雨的 概率概率P=3P=30.420.420.6=0.288.0.6=0.288. 讲课人：邢启强 7 用随机模拟估计概率的步骤 (1)建立概率模型,构造或描述概率过程.构造与问题相一 致的随机数组进行模拟. (2)进行模拟试验，可用计算器或计算机按要求产生随按要求产生随 机变量机变量进行模拟试验； (3)统计试验结果,建立估计量，从中得到问题的解建立估计量，从中
8、得到问题的解. 巩固练习巩固练习 方法总结方法总结 已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟 的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算 器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中 ，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组， 代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数： 907966191925271932812458569683431 257393027556488730113537989据此估计， 该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（） A.0.35B.0.25 C.0.20D.0.15 B 讲课人：邢启强 8 例2.
9、从你所在班级任意选出6名同学,调查他们的出生月 份,假设出生在一月，二月十二月是等可能的.设事 件A=“至少有两人出生月份相同”，设计一种试验方法， 模拟20次，估计事件A发生的概率. 典型例题典型例题 解：方法1根据假设，每个人的出生月份在12个月中是等 可能的，而且相互之间没有影响，所以观察6个人的出生 月份可以看成可重复试验. 因此，可以构建如下有放回摸球试验进行模拟：在袋子 中装入编号为1,2,，12的12个球，这些球除编号外没有 什么差别，有放回地随机从袋中摸6次球，得到6个数代 表6个人的出生月份，这就完成了一次模拟试验。 如果这6个数中至少有2个相同，表示事件A发生了.重复 以上
10、模拟试验20次，就可以统计出事件A发生的频率. 讲课人：邢启强 9 典型例题典型例题 方法2 利用电子表格软件模拟试验.在 A1,B1,C1,D1,E1,F1单元格分别输入 =RANDBETWEEN(1,12)”，得到6个数，代表 6个人的出生月份，完成一次模拟试验. 选中A1,B1,C1,D1,E1,F1单元格，将鼠标指向 右下角的黑点，按住鼠标左键拖动到第20行， 相当于做20次重复试验. 统计其中有相同数的频率，得到事件A的概率的 估计值. 下表是20次模拟试验的结果.事件A发生了14次， 事件A的概率估计值为0.70,与事件A的概率（约 0.78)相差不大. 讲课人：邢启强 10 典型
11、例题典型例题 讲课人：邢启强 11 典型例题典型例题 例3在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和 乙进入了决赛，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙 获胜的概率为0.4.利用计算机模拟试验，估计甲获得 冠军的概率 分析：奥运会羽毛球比赛规则是3局2胜制，甲获得冠军的结 果可能是2:0或2:1.显然，甲连胜2局或在前2局中赢一局输一 局，并赢得第3局的概率，与打满3局，甲胜2局或3局的概 率相同.每局比赛甲可能胜，也可能负，3局比赛所有可能结 果有8种，但是每个结果不是等可能出现的，因此不是古典 概型，可以用计算机模拟比赛结果. 讲课人：邢启强 12 解:设事件A=“甲获得冠军”，事件B=
12、“单局比赛甲胜”， 则P(B)=0.6. 用计算器或计算机产生15之间的随机数，当出现随 机数1,2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6. 由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，例如，产 生20组随机数：423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 354相当于做了20次重复试验. 其中事件A发生了13次，对应的数组分别是 423,123,423,114,332,152,342,512,125,432,334, 151,314, 用频率估计事件A的概率的近似为13/20=0.65.
13、 用随机模拟的方法得到的是20次试验中A事件发 生的频率，它是概率的近似值，事件A的概率的 精确值为0.648. 讲课人：邢启强 13 例4.种植某种树苗，成活率是0.9. 若种植该种树苗5棵，用随机模拟 方法估计恰好4棵成活的概率 典型例题典型例题 用随机模拟估计概率的步骤 (1)建立概率模型,构造或描述概率过程.构造与问题相一 致的随机数组进行模拟. (2)进行模拟试验，可用计算器或计算机按要求产生随按要求产生随 机变量机变量进行模拟试验； (3)统计试验结果,建立估计量，从中得到问题的解建立估计量，从中得到问题的解. 讲课人：邢启强 14 讲课人：邢启强 15 1.用随机模拟方法估计概率
14、时，其 准确度决定于() A产生的随机数的大小 B产生的随机数的个数 C随机数对应的结果 D产生随机数的方法 B 2.用随机模拟方法得到的频率() A大于概率 B小于概率 C等于概率 D是概率的近似值 D 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 16 巩固练习巩固练习 3.某人有5把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把 钥匙试着开门 (1)不能开门就扔掉,问第三次才打开门的概率是多大? (2)如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是多大？ 设计一个试验，用随机模拟方法估计上述概率 解析 用计算器或计算机产生1到5之间的取整数值的随机 数，1,2表示能打开门，3,4,5表示打不开门 (1)三个一组(每组数
15、字不重复)，统计总组数N，并统计前 两个大于2，第三个是1或2的组数N1，则N(N1)即为不能打开门 即扔掉，第三次才打开门的概率的近似值 (2)三个一组(每组数字可重复)，统计总组数M，并统计前 两个大于2，第三个为1或2的组数M1，则M(M1)即为试过的钥 匙不扔掉，第三次才打开门的概率的近似值 讲课人：邢启强 17 4.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机 模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先 由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示 命中,5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代 表三次投篮的结果.经随机模拟产生
16、了20组随机数： 907966191925271932812458569683 431257393027556488730113537989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A.0.35B.0.25 C.0.20D.0.15 巩固练习巩固练习 B 讲课人：邢启强 18 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 19 整数随机数模拟试验估计概率时，首先要 确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验 结果我们可以从以下三方面考虑： 当试验的基本事件等可能时，基本事件 总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表 一个基本事件； 研究等可能事件的概率时，用按比例分 配的方法确定表示各个结果的
17、数字个数及总个 数； 当每次试验结果需要n个随机数表示时， 要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注 意每组中的随机数字能否重复. 规律总结规律总结 讲课人：邢启强 20 2.2.用计算机或计算器产生的随机数，是依照确定的算法产生用计算机或计算器产生的随机数，是依照确定的算法产生 的数，具有周期性（周期很长），这些数有类似随机数的性的数，具有周期性（周期很长），这些数有类似随机数的性 质，但不是真正意义上的随机数，称为伪随机数质，但不是真正意义上的随机数，称为伪随机数. . 随机模拟方法是通过将一次试验所有等可能发生随机模拟方法是通过将一次试验所有等可能发生 的结果数字化，由计算机或计算器产
18、生的随机数，的结果数字化，由计算机或计算器产生的随机数， 来替代每次试验的结果，其基本思想是用产生整来替代每次试验的结果，其基本思想是用产生整 数值随机数的频率估计事件发生的概率，这是一数值随机数的频率估计事件发生的概率，这是一 种简单、实用的科研方法，在实践中有着广泛的种简单、实用的科研方法，在实践中有着广泛的 应用应用. . 1.例如我们要产生09之间的随机整数，像彩票摇奖那样， 把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中，充分搅拌后 摇出一个球，这个球上的号码就称为随机数。 随机数与伪随机数随机数与伪随机数 随机模拟方法随机模拟方法 课堂小结课堂小结 讲课人：邢启强 21 1 .随机试验
19、中，事件随机试验中，事件A发生的次数叫频数，频发生的次数叫频数，频 数除以试验的次数叫做事件数除以试验的次数叫做事件A发生的频率。发生的频率。 2 .频率是通过试验计算出来的结果，是不稳定频率是通过试验计算出来的结果，是不稳定 的，通过很多次试验总结出来的频率可以估计的，通过很多次试验总结出来的频率可以估计 概率。概率。 3 .很多事件发生的概率是不知道的，我们在使很多事件发生的概率是不知道的，我们在使 用其概率时都使用频率代替。用其概率时都使用频率代替。 4.有些试验的结果可以用随机数模拟产生，随有些试验的结果可以用随机数模拟产生，随 机数模拟省时省力，是预测和决策的重要方法。机数模拟省时省力，是预测和决策的重要方法。 课堂小结课堂小结
