1、1 集合的基本关系及运算集合的基本关系及运算 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、集合之间的关系要点一、集合之间的关系 1.集合与集合之间的集合与集合之间的“包含包含”关系关系 集合 A 是集合 B 的部分元素构成的集合，我们说集合 B 包含集合 A； 子集：如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合 A 是 集合 B 的子集(subset).记作：AB(BA)或，当集合 A 不包含于集合 B 时，记作 AB，用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：AB(BA)或 要点诠释：要点诠释： 真子集：若集合AB，存在元素 xB 且xA，则称集合 A 是集
2、合 B 的真子集(proper subset). 记作：AB(或 BA) 规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 2.集合与集合之间的集合与集合之间的“相等相等”关系关系 ABBA且，则 A 与 B 中的元素是一样的，因此 A=B 要点诠释：要点诠释： 任何一个集合是它本身的子集，记作AA 要点二、集合的运算要点二、集合的运算 1.并集并集 一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集，记作： AB 读作：“A 并 B”，即：AB=x|xA，或 xB Venn 图表示： 2 2.交集交集 一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的元
3、素所组成的集合，叫做集合 A 与 B 的交集；记作：AB， 读作：“A 交 B”，即 AB=x|xA，且 xB；交集的 Venn 图表示： 要点诠释：要点诠释： （1） 并不是任何两个集合都有公共元素， 当集合 A 与 B 没有公共元素时， 不能说 A 与 B 没有交集， 而是AB （2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“AB 中的任意元素都是 A 与 B 的公共元素”，同时“A 与 B 的公共元素都属于 AB” （3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合 A 与 B 的所有公共元素组成的集合. 3.补集补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个
4、集合为全集， 通常记作 U. 补集： 对于全集 U 的一个子集 A， 由全集 U 中所有不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集(complementary set)，简称为集合 A 的补集， 记作： UU AA=x|xUxAC；即且；补集的 Venn 图表示： 4.集合基本运算的一些结论集合基本运算的一些结论 ABAABBAA=AA=AB=BA ， AABBABAA=AA=AAB=BA， UU (C A)A=U (C A)A=， 若 AB=A，则AB，反之也成立 3 若 AB=B，则AB，反之也成立 若 x(AB)，则 xA 且 xB 若 x(AB)，则 xA
5、，或 xB 【典型例题】【典型例题】 类型一、集合间的关系类型一、集合间的关系 例 1. 若集合|21,|41,Ax xkkzBx xllz，则（C）. A.ABB.BAC.A=BD.ABZ 例 2. 写出集合a，b，c的所有不同的子集. 【解析】不含任何元素子集为，只含 1 个元素的子集为a，b，c，含有 2 个元素的子集有 a，b，a，c，b，c，含有 3 个元素的子集为a，b，c，即含有 3 个元素的集合共 23=8 个子集. 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知, a bA, , , ,a b c d e，则这样的集合A有个. 【答案】7 个 【变式 2】已知集合 A=1，2，3，平
6、面内以（x，y）为坐标的点集合 B=（x，y）xA，yA， x+yA，则 B 的子集个数为（） A3B4C7D8 【答案】D【解析】 集合 A=1，2，3，平面内以（x，y）为坐标的点集合 B=（x，y）xA， yA，x+yA，B=（1，1） ， （1，2） ， （2，1）B 的子集个数为：23=8 个 例 3集合 A=x|y=x2+1，B=y|y=x2+1，C=(x,y)|y=x2+1，D=y=x2+1是否表示同一集合？ 【答案】以上四个集合都不相同 【解析】集合 A=x|y=x2+1的代表元素为 x，函数的定义域 A=(,) ； 集合 B=y|y=x2+1的代表元素为 y，故值域 B=1,
7、)； 集合 C=(x,y)|y=x2+1的代表元素为点（x，y） ，故集合 C 表示的是 y=x2+1 上的所有点组成的集合； 集合 D=y=x2+1是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素：方程 y=x2+1 4 举一反三：举一反三： 【变式 1】 设集合( , )|34Mx yyx，( , )|32Nx yyx ，则MN （） A. 1,1B.1,1xy C.( 1,1)D.( 1,1) 【答案】D 【变式 2】设 M=x|x=a2+1，aN+，N=x|x=b2-4b+5，bN+，则 M 与 N 满足() A. M=NB. MNC. NMD. MN= 【答案】B 【解析】 当 aN+时，
8、元素 x=a2+1，表示正整数的平方加 1 对应的整数，而当 bN+时，元素 x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中 b-2 可以是 0，所以集合 N 中元素是自然数的平方加 1 对应的整数，即 M 中 元素都在 N 中，但 N 中至少有一个元素 x=1 不在 M 中，即 MN，故选 B. 例 4已知, 0,yxNyxxyxM若 M=N， 则 2 ()(xyx)() 1001002 yxy= A200B200C100D0 【答案】D 【解析】由 M=N，知 M，N 所含元素相同.由 O0，|x|，y可知Ox,xy, x-y 若 x=0，则 xy=0，即 x 与 xy 是相同元素，破坏了 M
9、 中元素互异性，所以 x0. 若 xy=0，则 x=0 或 y=0，所以 y=0，即 N 中元素 0，y 是相同元素，故 xy0 若0 x-y=，则 x=y，M，N 可写为 M=x，x2，0，N=0，|x|，x 由 M=N 可知必有 x2=|x|，即|x|2=|x|，|x|=0 或|x|=1 若|x|=0 即 x=0，以上讨论知不成立，若|x|=1 即 x=1 当 x=1 时，M 中元素|x|与 x 相同，破坏了 M 中元素互异性，故 x1 当 x=-1 时，M=-1，1，0，N=0，1，-1符合题意，综上可知，x=y=-1 2 ()(xyx)() 1001002 yxy=-2+2-2+2+2
10、=0 5 举一反三：举一反三： 【变式 1】设 a，bR，集合 b 1,a+b,a=0,b a ，则 b-a=() 【答案】2 【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征： b 10,b,01,a+b,aa0ab=0 a ，又， 当 b=1 时，a=-1， b 0,b=0,-1,1 a ， 当 b =1 a 时，b=a 且 a+b=0，a=b=0(舍) 综上：a=-1，b=1，b-a=2. 类型二、集合的运算类型二、集合的运算 例 5.已知集合2Mx yx， 2 Ny yx，则 MN（） AB 1 1 , C 0 x x D 0y y 【答案】C【解析】集合 M 中的代表元素是 x，集合 N 的
11、代表元素是 y，表示构成相关函数的因变量 取值范围，故可知：M=x|xR，N=y|y0，所以 MN=x|x0 例 6.已知全集 U=R，集合 A=xRx23x40，B=xR2ax4+a，aR （1）当 a=1 时，求() U AB ； （2）若 AB=A，求 a 的取值范围 【解析】A=xRx23x40， （1）当 a=1 时，B=xR2x5，()| 12 U ABxRx （2）由已知 AB=A，得BA； 当B 时 2a4+a，即 a4，满足BA； 当B 时 24 21 44 aa a a ，即 1 0 2 a时，满足BA； 综上所述 a 的取值范围为 1 0 2 a或 a4 6 举一反三：举
12、一反三： 【变式 1】（1）已知：M=x|x2，P=x|x2-x-2=0，求 MP 和 MP； （2）已知：A=y|y=3x2， B=y|y=-x2+4， 求：AB，AB； （3）已知集合 A=-3， a2，1+a， B=a-3， a2+1， 2a-1， 其中 aR，若 AB=-3，求 AB. 【解析】 （1）P=2，-1，MP=x|x2 或 x=-1，MP=2. （2）A=y|y0， B=y|y4，AB=y|0y4， AB=R. （3）AB=-3，-3B，则有： a-3=-3a=0， A=-3，0，1， B=-3，1，-1AB=-3，1，与已知不符，a0； 2a-1=-3a=-1， A=-3
13、，1，0， B=-4，2，-3，符合条件，AB=-4，-3，0，1，2. 【变式 2】设集合 A=2，a2-2a，6，B=2，2a2，3a-6，若 AB=2，3，求 AB. 【解析】由 AB=2，3，知元素 2，3 是 A，B 两个集合中所有的公共元素， 所以 32，a2-2a，6 ，则必有 a2-2a=3，解方程 a2-2a-3=0 得 a=3 或 a=-1 当 a=3 时，A=2，3，6，B=2，18，3 AB=2，3，62，18，3=2，3，6，18 当 a=-1 时，A=2，3，6，B=2，2，-9 这既不满足条件 AB=2，3，也不满足 B 中元素具有互异性，故 a=-1 不合题意，
14、应舍去. 综上 AB=2，3，6，18 例 7.设全集 U=xN+|x8，若 A(CuB)=1，8，(CuA)B=2，6，(CuA)(CuB)=4，7， 求集合 A，B. 【解析】全集 U=1，2，3，4，5，6，7，8 由 A(CuB)=1，8知，在 A 中且不在 B 中的元素有 1，8；由(CuA)B=2，6，知不在 A 中且在 BN 中的元素有 2，6；由(CuA)(CuB)=4，7，知不在 A 中且不在 B 中的元素有 4，7，则元素 3，5 必 在 AB 中. 由集合的图示可得:A=1，3，5，8，B=2，3，5，6. 7 类型三、集合运算综合应用类型三、集合运算综合应用 例 8已知
15、集合 A=x|4x2， B=x|1x3，C=x|xa，aR （1）若（AB）C=，求实数 a 的取值范围； （2）若（AB）C，求实数 a 的取值范围 【解析】 （1）A=x|4x2， B=x|1x3，又（AB）C=，如图，a3； （2）画数轴同理可得：a4 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知集合 P=xx21,M=a.若 PM=P,则 a 的取值范围是（） A(-, -1B1, +） C-1，1D （-，-1 1，+） 【答案】C【解析】P x11x 又 PMP，MP，11a 例 9.已知集合 22 2 ,|120ABx xaxa ，若ABB,求实数a的取值范围. 【解析】ABB,BA. 当B 时，此时方程 22 120 xaxa无解，由0 ，解得4,a 或4a . 当B 时，此时方程 22 120 xaxa有且仅有一个实数解-2， 0 ，且 22 ( 2)2120aa，解得4a . 综上，实数a的取值范围是4,a 或4a . 【变式 2】设全集UR，集合| 12 ,|40AxxBxxp ，若BCuA， 求实数p的取值范围. 【解析】 CuA=|1,2x xx 或，| 4 p Bx x . BCuA，1 4 p ，即4p .实数p的取值范围是4p .
