1、6.2指 数 函 数 第1课时指数函数的概念、图象和性质 必备知识必备知识自主学习自主学习 1.1.指数函数指数函数 一般地一般地, ,函数函数y=ay=ax x(a0,a1)(a0,a1)叫作指数函数叫作指数函数, ,它的定义域是它的定义域是R.R. 导思导思 1.1.指数函数的解析式是什么指数函数的解析式是什么? ? 2.2.指数幂的大小比较及函数值域的求解指数幂的大小比较及函数值域的求解, ,主要利用了指数函数的主要利用了指数函数的 哪个性质哪个性质? ? 【思考】【思考】 当指数函数的底数当指数函数的底数a=0,a=1,a0a=0,a=1,a0 x0时时,a,ax x恒等于恒等于0,0
2、,没有研究的必要没有研究的必要; ;当当x0 x0时时,a,ax x无意义无意义. . (2)(2)如果如果a0,a0,a0,且且a1.a1. 1 1 , 2 4 2.2.指数函数指数函数y=ay=ax x(a0,a1)(a0,a1)的图象与性质的图象与性质 a1a10a10a1a10a10a0 x0时时,y1;,y1; 当当x0 x0时时,0y1,0y0 x0时时,0y1;,0y1; 当当x0 x1,y1 注意注意: :在同一坐标系中有多个指数函数图象时在同一坐标系中有多个指数函数图象时, ,图象的相对位置与底数的大小有图象的相对位置与底数的大小有 如下关系如下关系: : 在在y y轴右侧轴
3、右侧, ,图象从上到下相应的底数由大变小图象从上到下相应的底数由大变小; ; 在在y y轴左侧轴左侧, ,图象从下到上相应的底数由大变小图象从下到上相应的底数由大变小, ,即无论在即无论在y y轴的左侧还是右侧轴的左侧还是右侧, , 底数按逆时针方向变大底数按逆时针方向变大. .这一性质可通过令这一性质可通过令x=1x=1时时,y,y的取值去理解的取值去理解. .如图所示如图所示: : 【基础小测】【基础小测】 1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”) (1)y=x(1)y=x6 6是指数函数是指数函数. .( () ) (2)(2)指数函数的图象都在指数函数
4、的图象都在x x轴的上方轴的上方. .( () ) (3)(3)若指数函数若指数函数y=ay=ax x是减函数是减函数, ,则则0a1. 0a0D.a0且且a1a1 【解析】【解析】选选C.C.由指数函数的定义得由指数函数的定义得 解得解得a=2.a=2. 2 a3a31 a0a1 ， 且， 3.3.已知函数已知函数f(x)=3f(x)=3x x- - 则则f(x)f(x)( () ) A.A.是奇函数是奇函数, ,且在且在R R上是增函数上是增函数 B.B.是偶函数是偶函数, ,且在且在R R上是增函数上是增函数 C.C.是奇函数是奇函数, ,且在且在R R上是减函数上是减函数 D.D.是偶
5、函数是偶函数, ,且在且在R R上是减函数上是减函数 x 1 3 （ ） ， 【解析】【解析】选选A.A.由题意知由题意知f(x)=3f(x)=3x x- - f(-x)=3f(-x)=3-x -x- -3 - -3x x=-f(x),=-f(x), 所以所以f(x)f(x)为奇函数为奇函数. . 又因为又因为y=3y=3x x是增函数是增函数,y=- ,y=- 也是增函数也是增函数, , 所以所以f(x)f(x)在在R R上是增函数上是增函数. . x 1 3 （ ） ， x x 11 33 （ ） x 1 3 （ ） 4.(4.(教材二次开发教材二次开发: :习题改编习题改编) )函数函数
6、y= y= 的定义域是的定义域是 ( () ) A.(-,0)A.(-,0)B.(-,0B.(-,0 C.0,+)C.0,+)D.(0,+)D.(0,+) 【解析】【解析】选选C.C.由由2 2x x-10-10得得2 2x x1,1,即即x0,x0, 所以函数的定义域为所以函数的定义域为0,+).0,+). x 21 5.5.已知函数已知函数f(x)=af(x)=ax x+b(a0,+b(a0,且且a1)a1)经过点经过点(-1,5),(0,4),(-1,5),(0,4),则则f(-2)f(-2)的值为的值为 _._. 【解析】【解析】由已知得由已知得 解得解得 所以所以f(x)= +3,f
7、(x)= +3,所以所以f(-2)= +3=4+3=7.f(-2)= +3=4+3=7. 答案答案: :7 7 1 0 ab5 ab4 ， ， 1 a 2 b3 ， ， x 1 2 （ ） 2 1 2 （ ） 关键能力关键能力合作学习合作学习 类型一指数函数的概念类型一指数函数的概念( (数学抽象数学抽象) ) 【题组训练】【题组训练】 1.(20201.(2020济宁高一检测济宁高一检测) )下列函数中是指数函数的是下列函数中是指数函数的是_(_(填序号填序号).). y=4y=4x x; ;y=xy=x4 4; ;y=-4y=-4x x; ;y= y= y=2y=2-x -x; ; y=2
8、y=2x-1 x-1. . 2.(20202.(2020南宁高一检测南宁高一检测) )若指数函数若指数函数f(x)f(x)的图象经过点的图象经过点(2,9),(2,9),则则f(x)=f(x)= _,f(-1)=_._,f(-1)=_. 【思路导引】【思路导引】1.1.根据指数函数的定义进行判断根据指数函数的定义进行判断. . 2.2.设出指数函数的解析式设出指数函数的解析式, ,将点的坐标代入解析式得方程求解将点的坐标代入解析式得方程求解. . 2x 1 2 （ ）； 【解析】【解析】1.1.y= y= y=2y=2-x -x= = 所以所以都是指数函数都是指数函数. . 答案答案: : 2
9、.2.设设f(x)=af(x)=ax x(a0(a0且且a1),a1),因为因为f(x)f(x)的图象经过点的图象经过点(2,9),(2,9),代入得代入得a a2 2=9,=9,解得解得a=3a=3或或 a=-3(a=-3(舍去舍去),),所以所以f(x)=3f(x)=3x x, ,所以所以f(-1)=3f(-1)=3-1 -1= . = . 答案答案: :3 3x x 2xx 11 24 （ ）（ ） ； x 1 . 2 （ ） 1 3 1 3 【解题策略】【解题策略】 1.1.判断一个函数是指数函数的方法判断一个函数是指数函数的方法 (1)(1)把握指数函数解析式的特征把握指数函数解析式
10、的特征: :底数底数a0a0且且a1;a1;a ax x的系数为的系数为1;1;自变量自变量x x 的系数为的系数为1.1. (2)(2)有些函数需要对解析式变形后判断有些函数需要对解析式变形后判断, ,如如y= y= 是指数函数是指数函数. . 2.2.求指数函数解析式的步骤求指数函数解析式的步骤 (1)(1)设指数函数的解析式为设指数函数的解析式为f(x)=af(x)=ax x(a0(a0且且a1).a1). (2)(2)利用已知条件求底数利用已知条件求底数a.a. (3)(3)写出指数函数的解析式写出指数函数的解析式. . x x 11 33 （ ） 【补偿训练】【补偿训练】 1.1.函
11、数函数f(x)=(2a-3)af(x)=(2a-3)ax x是指数函数是指数函数, ,则则f(1)=f(1)=( () ) A.8A.8B. B. C.4C.4D.2D.2 【解析】【解析】选选D.D.函数函数f(x)=(2a-3)af(x)=(2a-3)ax x是指数函数是指数函数, , 所以所以2a-3=1,2a-3=1,解得解得a=2,a=2, 所以所以f(x)=2f(x)=2x x, ,所以所以f(1)=2.f(1)=2. 3 2 2.2.指数函数指数函数y=f(x)y=f(x)的图象经过点的图象经过点 那么那么f(4)f(4)f(2)=_.f(2)=_. 【解析】【解析】设指数函数的
12、解析式为设指数函数的解析式为y=ay=ax x(a0(a0且且a1),a1), 因为函数的图象经过点因为函数的图象经过点 所以所以 =a=a-2 -2, ,所以 所以a=2,a=2, 所以指数函数的解析式为所以指数函数的解析式为y=2y=2x x, , 所以所以f(4)f(4)f(2)=2f(2)=24 42 22 2=2=26 6=64.=64. 答案答案: :6464 1 2 4 （，）， 1 2 4 （，）， 1 4 类型二与指数函数有关的定义域和值域问题类型二与指数函数有关的定义域和值域问题( (逻辑推理、数学运算逻辑推理、数学运算) ) 【典例】【典例】求下列函数的定义域和值域求下列
13、函数的定义域和值域: : 【思路导引】【思路导引】求与指数函数有关的函数的定义域时求与指数函数有关的函数的定义域时, ,只需使函数式有意义即可只需使函数式有意义即可, , 求值域时可以从相应指数函数的值域入手或依据单调性求解求值域时可以从相应指数函数的值域入手或依据单调性求解. . 2 1 x x 4 x x2x 3 1y1 3 ; 2y2 21 3y; 4y. 32 （ ）（ ）； （ ）（ ） （ ）（ ） 【解析】【解析】(1)(1)要使函数式有意义要使函数式有意义, ,则则1-31-3x x0,0,即即3 3x x1=31=30 0, ,因为函数因为函数y=3y=3x x在在R R上是
14、上是 增函数增函数, ,所以所以x0.x0. 故函数故函数y= y= 的定义域为的定义域为(-,0.(-,0. 因为因为x0,x0,所以所以0303x x1,1,所以所以01-301-3x x1.0,y|y0,且且y1.y1. (3)(3)要使函数式有意义要使函数式有意义, ,则则-|x|0,-|x|0,解得解得x=0.x=0. 所以函数所以函数y= y= 的定义域为的定义域为x|x=0.x|x=0. 因为因为x=0,x=0,所以所以 = =1,= =1, 即函数即函数y= y= 的值域为的值域为y|y=1.y|y=1. 1 x 4 2 1 x4 1 x 4 2 1 x 4 2 0 2 3 （
15、 ） x2 3 （ ） x2 3 （ ） x2 3 （ ） (4)(4)定义域为定义域为R.R.因为因为x x2 2-2x-3=(x-1)-2x-3=(x-1)2 2-4-4,-4-4, 所以所以 =16. =16. 又又 0,0,所以函数所以函数y= y= 的值域为的值域为(0,16.(0,16. 2 x2x 3 1 2 （ ） 4 1 2 （ ） 2 x2x 3 1 2 （ ） 2 x2x 3 1 2 （ ） 【解题策略】【解题策略】 求指数型函数的定义域和值域的一般方法求指数型函数的定义域和值域的一般方法 1.1.求指数型函数的定义域时求指数型函数的定义域时, ,先观察函数是先观察函数是
16、y=ay=ax x型还是型还是y=ay=af(x) f(x)型 型. . (1)(1)由于指数函数由于指数函数y=ay=ax x(a0,(a0,且且a1)a1)的定义域是的定义域是R,R,所以函数所以函数y=ay=af(x) f(x)的定义域与 的定义域与 f(x)f(x)的定义域相同的定义域相同. . (2)(2)对于函数对于函数y=f(ay=f(ax x)(a0,)(a0,且且a1)a1)的定义域的定义域, ,关键是找出关键是找出t=at=ax x的值域的哪些部的值域的哪些部 分在分在y=f(t)y=f(t)的定义域中的定义域中. . (3)(3)求求y= y= 型函数的定义域时型函数的定
17、义域时, ,往往转化为解指数不等式往往转化为解指数不等式( (组组).). x fa（） 2.2.求与指数函数有关的函数值域的关注点求与指数函数有关的函数值域的关注点: : (1)(1)指数函数的值域为指数函数的值域为(0,+).(0,+). (2)(2)在求形如在求形如y=ay=af(x) f(x)(a0, (a0,且且a1)a1)的函数值域时的函数值域时, ,先求得先求得f(x)f(x)的值域的值域( (即函数即函数 t=f(x)t=f(x)中中t t的范围的范围),),再根据再根据y=ay=at t的单调性的单调性, ,列出指数不等式列出指数不等式( (组组),),得出得出a at t的
18、范围的范围, , 即即y=ay=af(x) f(x)的值域 的值域. . 【跟踪训练】【跟踪训练】 已知集合已知集合A= A= 则满足则满足AB=BAB=B的集合的集合B B可以是可以是( () ) A. A. B. B. C.x|-1x1C.x|-1x1 D.x|x0D.x|x0 2 x1 1 y|yxR 2 （ ） ， 1 0 2 ， 1 x|0 x 2 【解析】【解析】选选B.B.由题意由题意, ,可知集合可知集合A A为函数为函数y= ,xRy= ,xR的值域的值域. .令令t=xt=x2 2+1,+1,则函则函 数可化为数可化为y= ,y= ,由由xRxR得得t1.t1.所以所以y=
19、 y= 的值域为的值域为 即集合即集合 A= .A= .又又AB=B,AB=B,所以所以B BA.A. 2 x1 1 2 （ ） t 1 2 （ ） t 1 2 （ ） 1 y|0y 2 ， 1 y|0y 2 【拓展延伸】【拓展延伸】二次函数与指数函数的综合问题二次函数与指数函数的综合问题 对于这类问题对于这类问题, ,本质上考查的还是闭区间上的二次函数的最值问题本质上考查的还是闭区间上的二次函数的最值问题. .在处理方式在处理方式 上可以利用换元法将指数函数换成上可以利用换元法将指数函数换成t=at=ax x的形式的形式, ,再利用定义域和再利用定义域和t=at=ax x的单调性求的单调性求
20、 出出t t的范围的范围, ,此时纯粹就是闭区间上的二次函数的最值问题了此时纯粹就是闭区间上的二次函数的最值问题了. . 【拓展训练】【拓展训练】 求函数求函数y= -3y= -3 +2,x-2,2 +2,x-2,2的值域的值域. . 【解析】【解析】y= -3y= -3 +2= -3 +2= -3 +2, +2,令令t= ,t= , 则则y=ty=t2 2-3t+2= -3t+2= 因为因为x-2,2,x-2,2,所以所以 t= 4,t= 4, 当当t= t= 时时,y,ymin min=- ; =- ;当当t=4t=4时时,y,ymax max=6. =6. 所以函数所以函数y= -3y=
21、 -3 +2,x-2,2 +2,x-2,2的值域是的值域是 x 1 4 （ ） x 1 2 （ ） x 1 4 （ ） x 1 2 （ ） 2x 1 2 （ ） x 1 2 （ ） x 1 2 （ ） 2 31 t. 24 （） 1 4 x 1 2 （ ） 3 2 1 4 x 1 4 （ ） x 1 2 （ ） 1 6. 4 ， 类型三指数函数性质的简单应用类型三指数函数性质的简单应用( (逻辑推理、直观想象逻辑推理、直观想象) ) 角度角度1 1指数幂的大小比较指数幂的大小比较 【典例】【典例】比较下列各题中两个值的大小比较下列各题中两个值的大小: : (3)0.2(3)0.20.3 0.3
22、,0.3 ,0.30.2 0.2. . 1.82.5 0.50.5 55 1) 77 23 2) 34 （ ）(，(； （ ）(，(； 【思路导引】【思路导引】 【解析】【解析】(1)(1)因为因为0 1,0 -1.8 -2.5,-2.5, 所以所以 5 7 x 5 ( ) 7 1.8 5 ) 7 （ 2.5 5 ( ). 7 x 2 () 3 x 3 ( ) 4 0.5 2 ( ) 3 0.5 3 ( ). 4 (3)(3)因为因为00.20.31,00.20.31,所以指数函数所以指数函数y=0.2y=0.2x x与与y=0.3y=0.3x x在定义域在定义域R R上均是减函数上均是减函数
23、, ,且且 在区间在区间(0,+)(0,+)上函数上函数y=0.2y=0.2x x的图象在函数的图象在函数y=0.3y=0.3x x的图象的下方的图象的下方, ,所以所以0.20.20.2 0.2 0.30.30.2 0.2, ,又根据指数函数 又根据指数函数y=0.2y=0.2x x在在R R上是减函数上是减函数, ,可知可知0.20.20.3 0.30.2 0.20.2 0.2, ,所以 所以0.20.20.3 0.3 0.30.30.2 0.2. . 角度角度2 2解指数不等式解指数不等式 【典例】【典例】使不等式使不等式9 92x-1 2x-1 成立的成立的x x的集合是的集合是( (
24、) ) 【思路导引】【思路导引】化同底后利用单调性解不等式化同底后利用单调性解不等式. . 【解析】解析】选选A.A.不等式即不等式即3 34x-2 4x-2 , ,可得可得4x-2 ,4x-2 , 解得解得x .x0,a(a0,且且a1),a1),即即a a2x-1 2x-1 1a1时时, ,指数函数指数函数y=ay=ax x是增函数是增函数, , 由由2x-1 ,2x-1 ,解得解得x .x . 当当0a10a ,2x-1 ,解得解得x .x . 3 2 a ， 3 2 5 4 3 2 5 4 【解题策略】【解题策略】 1.1.比较两个幂的大小的常用方法比较两个幂的大小的常用方法 (1)(
25、1)作差作差( (商商) )法法; ; (2)(2)函数单调性法函数单调性法; ; (3)(3)中间值法中间值法, ,即要比较即要比较A A与与B B的大小的大小, ,先找一个中间值先找一个中间值C,C,再分别比较再分别比较A A与与C,BC,B与与C C的的 大小大小, ,由不等式的传递性得到由不等式的传递性得到A A与与B B的大小的大小. . 2.2.指数不等式的三种类型指数不等式的三种类型 (1)(1)形如形如a ax xaab b的不等式的不等式, ,借助于函数借助于函数y=ay=ax x的单调性求解的单调性求解, ,如果如果a a的取值不确定的取值不确定, ,需需 分分a1a1与与
26、0a10abb的不等式的不等式, ,注意将注意将b b转化为以转化为以a a为底数的指数幂的形式为底数的指数幂的形式, ,再借助于函数再借助于函数 y=ay=ax x的单调性求解的单调性求解. . (3)(3)形如形如a ax xbbx x的不等式的不等式, ,利用函数图象求解利用函数图象求解. . 【题组训练】【题组训练】 1.(20201.(2020济宁高一检测济宁高一检测) )若若a=2a=20.7 0.7,b=2 ,b=20.5 0.5,c= ,c= 则则a,b,ca,b,c的大小关系是的大小关系是 ( () ) A.cabA.cabB.cbaB.cba C.abcC.abcD.bac
27、D.bac 【解析】【解析】选选A.A.由由y=2y=2x x在在R R上是增函数上是增函数, ,知知1ba2,c= =2,1baab.cab. 1 1 ( 2 ) ， 1 1 ( ) 2 2.2.求满足下列条件的求满足下列条件的x x的取值范围的取值范围: : (1)3(1)3x-1 x-19 9x x; ; (2)0.2(2)0.2x x25;a ax+7 x+7(a0, (a0,且且a1).a1). 【解析解析】(1)(1)因为因为3 3x-1 x-19 9x x, ,所以所以3 3x-1 x-13 32x 2x, , 又又y=3y=3x x在定义域在定义域R R上是增函数上是增函数,
28、, 所以所以x-12x,x-12x,所以所以x-1,x-1, 即即x x的取值范围是的取值范围是(-,-1).(-,-1). (2)(2)因为因为00.21,00.21,所以指数函数所以指数函数f(x)=0.2f(x)=0.2x x在在R R上是减函数上是减函数. . 又又25=0.225=0.2-2 -2, ,所以 所以0.20.2x x0.2-2,x-2,即即x x的取值范围是的取值范围是(-2,+).(-2,+). (3)(3)当当a1a1时时, ,因为因为a a-5x -5xa ax+7 x+7, , 所以所以-5xx+7,-5xx+7,解得解得x- ;x- ; 当当0a10aa ax
29、+7 x+7, , 所以所以-5xx+7,-5x- .x- . 综上所述综上所述, ,当当a1a1时时,x,x的取值范围是的取值范围是 当当0a10a1时时,x,x的取值范围是的取值范围是 7 6 7 6 7 ( 6 ，)； 7 (). 6 ， 【补偿训练】【补偿训练】 已知已知 则则a,b,ca,b,c的大小关系是的大小关系是( () ) A.cabA.cabB.abcB.abc C.bacC.bacD.cbaD.cba 113 344 333 a( ),b( ),c( ), 552 【解析】【解析】选选D.D.对于指数函数对于指数函数y=ay=ax x, ,若若x0,x0, 则当则当0a1
30、0a1;1;当当a1a1时时, ,有有0a0ax x1.1. 所以所以0 1, 1.0 1, 1. 又因为函数又因为函数y= y= 在在R R上是减函数上是减函数, , 综上知综上知, , ,即即cba.cb0D.a0且且a1a1 【解析】【解析】选选C.C.由指数函数定义知由指数函数定义知 解得解得a=3.a=3. 2 a21 a0a1 （）， ，且， 2.(20202.(2020嘉兴高一检测嘉兴高一检测) )当当x0 x0时时, ,指数函数指数函数(a-1)(a-1)x x10 x0时时,(a-1),(a-1)x x11恒成立恒成立, ,所以所以0a-11,0a-11,即即1a2.1abc
31、A.abcB.bacB.bac C.cabC.cabD.bcaD.bca 【解析】【解析】选选B.c0,b=5B.c3,1a3,1aac.bac. 5.5.已知函数已知函数f(x)=af(x)=ax x(a0,(a0,且且a1)a1)的图象经过点的图象经过点(2,4),(2,4),则则a=_,a=_,若若 a a2x+1 2x+1a a3x-1 3x-1, ,则 则x x的取值范围是的取值范围是_._. 【解析】【解析】因为因为f(x)f(x)的图象经过点的图象经过点(2,4),(2,4), 所以所以a a2 2=4,=4,解得解得a=2,a=2,若若a a2x+1 2x+1a a3x-1 3x-1, ,即 即2 22x+1 2x+12 23x-1 3x-1, , 故故2x+13x-1,2x+12.x2. 答案答案: :2 2
