1、第第 8 节节离散型随机变量的均值与方差、正态分布离散型随机变量的均值与方差、正态分布 考试要求1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、 方差的概念； 2.能计算简 单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题；3.了解正态密度 曲线的特点及曲线所表示的意义，并进行简单应用. 知 识 梳 理 1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 Xx1x2xixn Pp1p2pipn (1)均值 称 E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量 X 的均值或数学期望， 它反映 了离散型随机变量取值的平均水平. (2)方差 称 D(X) n i1_(xiE(X) 2
2、pi为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度，其算术平方根 D（X）为随机变量 X 的标准差. 2.均值与方差的性质 (1)E(aXb)aE(X)b. (2)D(aXb)a2D(X)(a，b 为常数). 3.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若 X 服从两点分布，则 E(X)p，D(X)p(1p). (2)若 XB(n，p)，则 E(X)np，D(X)np(1p). 4.正态分布 (1)正态分布的定义 如果对于任何实数 a，b(ab)，随机变量 X 满足 P(aXb)错误错误!，(x)dx，则 称随机变量 X 服从正态分布， 记为 XN(， 2).其中
3、，(x) 1 2e （x ）2 22 (0). (2)正态曲线的性质 曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交，与 x 轴之间的面积为 1； 曲线是单峰的，它关于直线 x对称； 曲线在 x处达到峰值 1 2； 当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越 集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. (3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(X)0.682_7； P(2X2)0.954_5； P(32c 1)P(X2c1)P(Xc3)， 2c1c323，c4 3. 答案 4 3 4.(2018全国卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p， 各成员的支付
4、方式相互独立.设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数， D(X)2.4， P(X 4)P(X6)，则 p() A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3 解析由题意知， 该群体的 10 位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布， 所 以 D(X)10p(1p)2.4，所以 p0.6 或 p0.4.由 P(X4)P(X6)，得 C410p4(1 p)6C610p6(1p)4，即(1p)20.5，所以 p0.6. 答案B 5.(2020合肥检测)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量 X，Y，其分布列分别为： X0123 P0.40.30.20.1 Y012 P0.30
5、.50.2 若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是_. 解析E(X)00.410.320.230.11. E(Y)00.310.520.20.9， 所以 E(Y)E(X)，故乙技术好. 答案乙 6.(多填题)(2020烟台调研)为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试. 若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布 N(100，17.52).已知成绩在 117.5 分 以上(含 117.5 分)的学生有 80 人，则此次参加考试的学生成绩不超过 82.5 分的概 率为_；如果成绩大于 135 分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别 优秀的大约有_人.(若 XN(，2)，则 P
6、(X)0.68，P(2 X2)0.96) 解析因为数学成绩x服从正态分布N(100， 17.52)， 则P(10017.5x10017.5) P(82.5x117.5)0.68，所以此次参加考试的学生成绩不超过 82.5 分的概率 P(x82.5)1P（82.5x117.5） 2 10.68 2 0.16.又 P(10017.52x 10017.52)P(65x135)0.96，所以数学成绩特别优秀的概率 P(x135) 1P（65x135） 2 10.96 2 0.02.又 P(x82.5)P(x117.5)0.16，则本 次考试数学成绩特别优秀的人数大约是 80 0.160.0210. 答
7、案0.1610 考点一离散型随机变量的均值与方差 【例 1】 (2020广州质检)2020 年元旦班级联欢晚会上， 某班设计了一个摸球表演 节目的游戏：在一个纸盒中装有 1 个红球，1 个黄球，1 个白球和 1 个黑球，这些 球除颜色外完全相同，同学不放回地每次摸出 1 个球，若摸到黑球，则停止摸球， 否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球表演两个节目， 摸到白球或 黄球表演 1 个节目，摸到黑球不用表演节目. (1)求 a 同学摸球三次后停止摸球的概率； (2)记 X 为 a 同学摸球后表演节目的个数，求随机变量 X 的分布列和数学期望. 解(1)设“a 同学摸球三次后停止摸球”为
8、事件 E， 则 P(E)A 2 3 A34 1 4，故 a 同学摸球三次后停止摸球的概率为 1 4. (2)随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，3，4. P(X0)1 4，P(X1) 2 A24 1 6，P(X2) 1 A24 A22 A34 1 6，P(X3) C12A22 A34 1 6，P(X 4)A 3 3 A44 1 4. 所以随机变量 X 的分布列为 X01234 P 1 4 1 6 1 6 1 6 1 4 期望 E(X)01 41 1 62 1 63 1 64 1 42. 规律方法(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能 值，写出随机变量的分布列，正确运
9、用均值、方差公式进行计算. (2)注意 E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)的应用. 【训练 1】 (2020泰安模拟)某大城市一家餐饮企业为了了解外卖情况，统计了某 个送外卖小哥某天从 9：00 到 21：00 这个时间段送的 50 单外卖，以 2 小时为一 时间段将时间分成六段，各时间段内外卖小哥平均每单的收入情况如表，各时间 段内送外卖的单数的频率分布直方图如图. 时间区间9，11)11，13)13，15)15，17)17，19)19，21 每单收入 (元) 65.566.45.56.5 (1)求频率分布直方图中 a 的值，并求这个外卖小哥送这 50 单获得的收入； (2)
10、这个外卖小哥记得在13，15)这个时间段只有 4 单外卖带有饮品，现在从13， 15)这个时间段送出的外卖中随机抽取 3 单外卖， 求这 3 单外卖中带有饮品的单数 X 的分布列和数学期望. 解(1)由频率分布直方图得 2a12(0.0520.0820.14)0.2，解得 a 0.1.又样本容量 n50， 在9，11)这个时间段送外卖的频数为 0.082508， 同理可求得11，13)，13，15)，15，17)，17，19)，19，21这 5 个时间段送外 卖的频数分别为 14，10，5，8，5. 外卖小哥送 50 单的收入为 86145.510656.485.556.5 293.5(元).
11、 (2)由(1)知，在13，15)这个时间段共送 10 单外卖，10 单外卖中有 4 单带饮品，6 单不带饮品，X 的可能取值为 0，1，2，3. P(X0) C36 C310 20 120 1 6， P(X1)C 1 4C26 C310 60 120 1 2， P(X2)C 2 4C16 C310 36 120 3 10， P(X3) C34 C310 4 120 1 30. X 的分布列为 X0123 P 1 6 1 2 3 10 1 30 E(X)01 61 1 22 3 103 1 30 6 5. 考点二二项分布的均值与方差 【例 2】 (2020昆明诊断)某地区为贯彻习近平总书记关于
12、“绿水青山就是金山银 山” 的理念， 鼓励农户利用荒坡种植果树.某农户考察三种不同的果树苗 A， B， C， 经引种试验后发现，引种树苗 A 的自然成活率为 0.8，引种树苗 B，C 的自然成活 率均为 p(0.7p0.9). (1)任取树苗 A，B，C 各一棵，估计自然成活的棵数为 X，求 X 的分布列及数学 期望 E(X). (2)将(1)中的 E(X)取得最大值时 p 的值作为 B 种树苗自然成活的概率.该农户决定 引种 n 棵 B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有 75%的树苗可经过人工栽培 技术处理，处理后成活的概率为 0.8，其余的树苗不能成活. 求一棵 B 种树苗最终成活的概
13、率； 若每棵树苗最终成活后可获利 300 元， 不成活的每棵亏损 50 元， 该农户为了获 利不低于 20 万元，问至少引种 B 种树苗多少棵？ 解(1)依题意，X 的所有可能取值为 0，1，2，3. 则 P(X0)0.2(1p)20.2p20.4p0.2， P(X1)0.8(1p)20.2C12p(1p) 0.8(1p)20.4p(1p)0.4p21.2p0.8， P(X2)0.2p20.8C12p(1p)0.2p21.6p(1p)1.4p21.6p， P(X3)0.8p2. X 的分布列为 X0123 P0.2p20.4p0.20.4p21.2p0.81.4p21.6p0.8p2 E(X)
14、0(0.2p20.4p0.2)1(0.4p21.2p0.8)2(1.4p21.6p) 30.8p22p0.8. (2)当 p0.9 时，E(X)取得最大值. 一棵 B 种树苗最终成活的概率为 0.90.10.750.80.96. 记 Y 为 n 棵树苗的成活棵数，M(n)为 n 棵树苗的利润， 则 YB(n，0.96)，E(Y)0.96n，M(n)300Y50(nY)350Y50n， E(M(n)350E(Y)50n286n， 要使 E(M(n)200 000，则有 n699. 所以该农户至少引种 700 棵 B 种树苗，就可获利不低于 20 万元. 规律方法二项分布的均值与方差 (1)如果
15、XB(n，p)，则用公式 E(X)np；D(X)np(1p)求解，可大大减少计算 量. (2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二 项分布，这时，可以综合应用 E(aXb)aE(X)b 以及 E(X)np 求出 E(aXb)， 同样还可求出 D(aXb). 【训练 2】 (2020东营质检)互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为 不少人日常生活中不可或缺的一部分.M 市某调查机构针对该市市场占有率最高 的两家网络外卖企业(以下简称外卖 A、外卖 B)的服务质量进行了调查，从使用过 这两种外卖服务的市民中随机抽取了 1 000 人， 每人分别对这两家外卖企
16、业评分， 满分均为 100 分，并将分数分成 5 组，得到以下频数分布表： 分数 种类 0，20)20，40)40，60)60，80)80，100 外卖 A(人数)50150100400300 外卖 B(人数)100100300200300 表中得分越高，说明市民对网络外卖服务越满意.若得分不低于 60 分，则表明该 市民对网络外卖服务质量评价较高，现将分数按“服务质量指标”划分成以下四 个档次： 分数0，40)40，60)60，80)80，100 服务质量指标0123 用频率表示概率，解决下列问题： (1)从该市使用过外卖 A 的市民中任选 5 人， 记对外卖 A 服务质量评价较高的人数 为
17、 X，求 X 的数学期望； (2)从参与调查的市民中随机抽取 1 人， 试求其评分中外卖 A 的“服务质量指标” 与外卖 B 的“服务质量指标”的差的绝对值等于 2 的概率. 解(1)由频数分布表可知，对外卖 A 服务质量评价较高的频率为300400 1 000 7 10， 将频率作为概率，则从该市使用过外卖 A 的市民中抽取 1 人，对外卖 A 服务质量 评价较高的概率 p 7 10， 显然 XB 5， 7 10 ， 故 E(X)5p57 10 7 2. (2)记外卖 A 的“服务质量指标”为事件 Ai，外卖 B 的“服务质量指标”为事件 Bi，i0，1，2，3， 则其评分中外卖 A 的“服
18、务质量指标”与外卖 B 的“服务质量指标” 的差的绝对 值等于 2 的概率为 P(A2B0A3B1A0B2A1B3)P(A2B0)P(A3B1)P(A0B2)P(A1B3)0.40.2 0.30.30.20.20.10.30.24. 考点三均值与方差在决策问题中的应用 【例 3】 某投资公司在 2019 年年初准备将 1 000 万元投资到“低碳”项目上， 现 有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 30%，也可 能亏损 15%，且这两种情况发生的概率分别为7 9和 2 9； 项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 50%，可能
19、损 失 30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为3 5， 1 3和 1 15. 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 解若按“项目一”投资，设获利为 X1万元，X1的所有可能取值为 300，150. 则 X1的分布列为 X1300150 P 7 9 2 9 E(X1)3007 9(150) 2 9200(万元). 若按“项目二”投资，设获利 X2万元，X2的所有可能取值为 500，300，0.则 X2的分布列为： X25003000 P 3 5 1 3 1 15 E(X2)5003 5(300) 1 30 1 15200(万元). D(X1)(300
20、200)27 9(150200) 22 935 000， D(X2)(500200)23 5(300200) 21 3(0200) 21 15140 000. 所以 E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)， 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥. 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资. 规律方法随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变 量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于 方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定. 【训练 3】 东方商店欲购进某种食品(保质期两天)，此商店每两天购进该食品一 次(
21、购进时，该食品为刚生产的).根据市场调查，该食品每份进价 8 元，售价 12 元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为 了解市场的需求情况，现统计该食品在本地区 100 天的销售量如下表： 销售量/份15161718 天数20304010 (视样本频率为概率) (1)根据该食品 100 天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为 X，求 X 的分布列与数学期望； (2)以两天内该食品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进 32 或 33 份，哪一种得到的利润更大？ 解(1)根据题意可得，X 的所有可能取值为 30，31，32，33，34，35，36.
22、则 P(X30)1 5 1 5 1 25， P(X31)1 5 3 102 3 25， P(X32)1 5 2 52 3 10 3 10 1 4， P(X33)1 5 1 102 3 10 2 52 7 25， P(X34) 3 10 1 102 2 5 2 5 11 50， P(X35)2 5 1 102 2 25， P(X36) 1 10 1 10 1 100. X 的分布列如下： X30313233343536 P 1 25 3 25 1 4 7 25 11 50 2 25 1 100 E(X)30 1 2531 3 2532 1 433 7 2534 11 5035 2 2536 1
23、10032.8. (2)当购进 32 份时，利润为 324 1 4 7 25 11 50 2 25 1 100 (3148) 3 25(30416) 1 25 107.5213.924.16125.6(元). 当购进 33 份时，利润为 334 7 25 11 50 2 25 1 100 (324 8) 1 4 (314 16) 3 25 (304 24) 1 2577.883012.963.84124.68(元). 125.6124.68， 可见，当购进 32 份时，利润更大. 考点四正态分布 【例 4】 (1)(多选题)(2020重庆调研)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从 正态分
24、布 N(1，21)，N(2，22)，其正态分布密度曲线如图所示，则下列说法正确 的是() A.甲类水果的平均质量为 0.4 kg B.甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右 C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数21.99 (2)已知随机变量 X 服从正态分布 N(4，62)，P(X5)0.89，则 P(X3)() A.0.89B.0.78C.0.22D.0.11 解析(1)由图象可知甲的正态曲线关于直线 x0.4 对称， 乙的正态曲线关于直线 x0.8 对称，所以10.4，20.8，A 项正确，C 项正确.由图可知甲类水果的质
25、量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右，B 项正确.因为乙的正态曲线 的最大值为 1.99，即 1 221.99，所以 21.99，D 项错误. (2)由题意知正态分布曲线关于直线 x4 对称.P(X3)P(X5).P(X5) 0.89，P(X5)10.890.11，P(X3)0.11. 答案(1)ABC(2)D 规律方法(1)利用 3原则求概率问题时， 要注意把给出的区间或范围与正态变量 的，进行对比联系，确定它们属于(，)，(2，2)，(3， 3)中的哪一个. (2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲 线关于直线 x对称，及曲线与 x 轴之间的面积为
26、 1.注意下面两个结论的活用： P(Xa)1P(Xa)；P(X)P(X). 【训练 4】 (2020豫南九校联考)若随机变量 X 服从正态分布 N(，2)，P( X)0.682 7，P(2X2)0.954 5，设 XN(1，2)，且 P(X3) 0.158 65，在平面直角坐标系 xOy 中，若圆 x2y22上有四个点到直线 12x 5yc0 的距离为 1，则实数 c 的取值范围是_. 解析因为 XN(1，2)，所以1，所以 P(X3)P(X1)1 21P(1X 3)，因为 P(X3)0.158 65，所以 P(1X3)0.682 7，所以 11， 13，所以2，由题意知，只需圆心(0，0)到
27、直线 12x5yc0 的距离 d 满足 0d1 即可.d |c| 12252 |c| 13，0 |c| 131，0|c|13，13c 13，c 的取值范围是(13，13). 答案(13，13) A 级基础巩固 一、选择题 1.(2020沈阳模拟)设离散型随机变量 X 可能的取值为 1，2，3，4，P(Xk)ak b，若 X 的数学期望为 E(X)3，则 ab() A. 1 10 B.0C. 1 10 D.1 5 解析由题意知(ab)(2ab)(3ab)(4ab)1，即 10a4b1，又 X 的 数学期望 E(X)3，则(ab)2(2ab)3(3ab)4(4ab)3，即 30a10b 3，a 1
28、 10，b0，ab 1 10. 答案A 2.(2019宁德二模)某校有 1 000 人参加某次模拟考试， 其中数学考试成绩近似服从 正态分布 N(105，2)(0)，试卷满分 150 分，统计结果显示数学成绩优秀(高于 120 分)的人数占总人数的1 5，则此次数学考试成绩在 90 分到 105 分之间的人数约 为() A.150B.200C.300D.400 解 析P(X 90) P(X 120) 0.2， P(90X120) 1 0.4 0.6 ， P(90X105)1 2P(90X120)0.3，此次数学考试成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为 1 0000.3300. 答案C
29、3.(2020宁波模拟)一个箱子中装有形状完全相同的 5 个白球和 n(nN*)个黑球.现 从中有放回的摸取 4 次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为 X，若 D(X) 1，则 E(X)() A.1B.2C.3D.4 解析由题意，XB(4，p)，D(X)4p(1p)1，p1 2，E(X)4p4 1 2 2. 答案B 4.签盒中有编号为 1，2，3，4，5，6 的六支签，从中任意取 3 支，设 X 为这 3 支 签的号码之中最大的一个，则 X 的数学期望为() A.5B.5.25C.5.8D.4.6 解析由题意可知，X 可以为 3，4，5，6，P(X3) 1 C36 1 20，P(X4)
30、C23 C36 3 20， P(X5)C 2 4 C36 3 10，P(X6) C25 C36 1 2.由数学期望的定义可求得 E(X)3 1 20 4 3 205 3 106 1 25.25. 答案B 5.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得 1 分，负者得 0 分，比赛进行到 有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为2 3，乙在每局 中获胜的概率为1 3，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数 X 的期望 E(X) 为() A.241 81 B.266 81 C.274 81 D.670 243 解析依题意，知 X 的所有可能值为 2，4，6，设每两局比赛
31、为一轮，则该轮结 束时比赛停止的概率为 2 3 2 1 3 2 5 9. 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛 结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有 P(X2)5 9， P(X4)4 9 5 9 20 81，P(X6) 4 9 2 16 81， 故 E(X)25 94 20 816 16 81 266 81 . 答案B 二、填空题 6.已知随机变量的分布列为 123 P0.5xy 若 E()15 8 ，则 D()_. 解析由分布列性质，得 xy0.5. 又 E()15 8 ，得 2x3y11 8 ，可得 x1 8， y3 8. D() 115 8 2 1 2
32、 215 8 2 1 8 315 8 2 3 8 55 64. 答案 55 64 7.某公司有 5 万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利 12%；如果 失败，一年后将丧失全部资金的 50%，下表是过去 200 例类似项目开发的实施结 果： 投资成功投资失败 192 例8 例 则估计该公司一年后可获收益的均值是_元. 解析由题意知，一年后获利 6 000 元的概率为 0.96，获利25 000 元的概率为 0.04，故一年后收益的均值是 6 0000.96(25 000)0.044 760(元). 答案4 760 8.(2020山东师大附中月考)现有 A，B，C 3 个项目，已知某投
33、资公司投资 A 项目 的概率为2 3，投资 B，C 项目的概率均为 p，且投资这 3 个项目是相互独立的，记 X 是该投资公司投资项目的个数， 若 P(X0) 1 12， 则随机变量 X 的数学期望 E(X) _. 解析由题意可知，X 的所有可能取值为 0，1，2，3，由于 P(X0) 1 12，故 1 3(1 p)2 1 12，p 1 2.P(X1) 2 3 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 4 12 1 3，P(X2) 2 3 1 2 1 2 2 3 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 5 12，P(X3)1 1 12 4 12 5 12 2 12 1 6
34、，E(X) 0 1 121 1 32 5 123 1 6 5 3. 答案 5 3 三、解答题 9.(2019青岛二模)为迎接 2022 年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪 促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过 1 小时免费，超过 1 小时的部 分每小时收费标准为 40 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算).有甲、 乙两人相互独 立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过 1 小时离开的概率分别为1 4， 1 6；1 小时以 上且不超过 2 小时离开的概率分别为1 2， 2 3；两人滑雪时间都不会超过 3 小时. (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所
35、付的滑雪费用之和为随机变量 X(单位：元)，求 X 的分布列与 数学期望 E(X)，方差 D(X). 解(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为 0，40，80 元， 两人都付 0 元的概率为 p11 4 1 6 1 24， 两人都付 40 元的概率为 p21 2 2 3 1 3， 两人都付 80 元的概率为 p3 11 4 1 2 11 6 2 3 1 4 1 6 1 24， 则两人所付费用相同的概率为 pp1p2p3 1 24 1 3 1 24 5 12. (2)由题设甲、乙所付费用之和为 X，X 可能取值为 0，40，80，120，160，则： P(X0)1 4 1 6 1 24； P(
36、X40)1 4 2 3 1 2 1 6 1 4； P(X80)1 4 1 6 1 2 2 3 1 4 1 6 5 12； P(X120)1 2 1 6 1 4 2 3 1 4； P(X160)1 4 1 6 1 24. X 的分布列为 X04080120160 P 1 24 1 4 5 12 1 4 1 24 E(X)0 1 2440 1 480 5 12120 1 4160 1 2480. D(X)(080)2 1 24(4080) 21 4(8080) 2 5 12(12080) 21 4(160 80)2 1 24 4 000 3 . 10.某公司开发了一种产品，有一项质量指标为“长度”
37、(记为 l，单位：cm)，先 从中随机抽取 100 件， 测量发现全部介于 85 cm 和 155 cm 之间， 得到如下频数分 布表： 分组85，95)95，105)105， 115)115， 125)125， 135)135， 145)145，155 频数2922332482 已知该批产品的该项质量指标值服从正态分布 N(，2)，其中近似为样本平均数 x ，2近似为样本方差 s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表). (1)求 P(132.2l144.4). (2)公司规定：当 l115 时，产品为正品；当 l115 时，产品为次品.公司每生产 一件这种产品，若是正品，则盈利 90
38、元；若是次品，则亏损 30 元.记 X 为生产一 件这种产品的利润，求随机变量 X 的分布列和数学期望. 参考数据： 15012.2. 若 XN(，2)，则 P(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5， P(3X3)0.997 3. 解(1)抽取产品质量指标值的样本平均数x 900.021000.091100.22 1200.331300.241400.081500.02120， 抽取产品质量指标值的方差 s29000.024000.091000.2200.33 1000.244000.089000.02150. 所以 lN(120，150)，又 15012.2， 所以 P(l)P(1
39、20l132.2)1 20.682 70.341 4， P(l2)P(120l144.4)1 20.954 50.477 3， 所以 P(132.2l144.4)P(120l144.4)P(120l132.2)0.135 9. (2)由频数分布表得，P(l115)0.020.090.220.33，P(l115)10.33 0.67. 随机变量 X 的取值为 90，30，且 P(X90)0.67， P(X30)0.33. 则随机变量 X 的分布列为 X9030 P0.670.33 所以 E(X)900.67300.3350.4. B 级能力提升 11.从装有除颜色外完全相同的 3 个白球和 m
40、个黑球的布袋中随机摸取一球， 有放 回地摸取 5 次，设摸得白球个数为 X，已知 E(X)3，则 D(X)() A.8 5 B.6 5 C.4 5 D.2 5 解析由题意，XB 5， 3 m3 ， 又 E(X)53 m33，m2， 则 XB 5，3 5 ，故 D(X)53 5 13 5 6 5. 答案B 12.(多选题)(2020青岛质检)已知正态分布密度函数，(x) 1 2e （x）2 22 ，x( ，).以下关于正态曲线的说法正确的是() A.曲线与 x 轴之间的面积为 1 B.曲线在 x处达到峰值 1 2 C.当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿 x 轴平移 D.当一定时，曲线
41、的形状由确定，越小，曲线越“矮胖” 解析由概率之和为 1 可知 A 正确；因为（x） 2 22 0，所以(x) 1 2，当 且仅当 x时取等号，故 B 正确；当一定时，曲线的形状是固定的，曲线关于 直线 x对称，随着的变化沿 x 轴平移，故 C 正确；当一定时，曲线的对称轴 固定，所以越小时，曲线的最大值 1 2越大，故曲线越高瘦，故 D 错误. 答案ABC 13.(多填题)在一次随机试验中，事件 A 发生的概率为 p，事件 A 发生的次数为 X， 则数学期望 E(X)_，方差 D(X)的最大值为_. 解析记事件 A 发生的次数 X 可能的值为 0，1. X01 P1pp 数学期望 E(X)0
42、(1p)1pp， 方差 D(X)(0p)2(1p)(1p)2pp(1p)1 4. 故数学期望 E(X)p，方差 D(X)的最大值为1 4. 答案p 1 4 14.(2019九江二模)某企业打算处理一批产品，这些产品每箱 100 件，以箱为单位 销售.已知这批产品中每箱出现的废品率只有两种可能：10%或者 20%，两种可能 对应的概率均为 0.5.假设该产品正品每件市场价格为 100 元，废品不值钱，现处 理价格为每箱 8 400 元，遇到废品不予更换.以一箱产品中正品的价格期望作为决 策依据. (1)在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买； (2)现允许开箱，有放回地随机从一箱中抽取 2 件产
43、品进行检验. 若此箱出现的废品率为 20%， 记抽到的废品数为 X， 求 X 的分布列和数学期望； 若已发现在抽取检验的 2 件产品中，恰有一件是废品，判断是否可以购买. 解(1)在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望为 100(1 0.2)1000.5100(10.1)1000.58 500， 8 5008 400，在不开箱检验的情况下，可以购买. (2)X 的可能取值为 0，1，2， P(X0)C020.200.820.64， P(X1)C120.210.810.32， P(X2)C220.220.800.04， X 的分布列为 X012 P0.640.320.04 E(X)00.
44、6410.3220.040.4. 设事件 A：发现在抽取检验的 2 件产品中，恰有一件是废品， 则 P(A)C120.20.80.5C120.10.90.50.25， 一箱产品中，设正品的价格期望为元， 则8 000，9 000， 设事件 B1：抽取废品率为 20%的一箱， 则 P(8 000)P(B1|A) P（AB1） P（A） C 1 20.20.80.5 0.25 0.64， 设事件 B2：抽取废品率为 10%的一箱， 则 P(9 000)P(B2|A) P（AB2） P（A） C 1 20.10.90.5 0.25 0.36， E()8 0000.649 0000.368 360，
45、8 3608 400， 已发现在抽取检验的 2 件产品中，恰有一件是废品，则不可以购买. C 级创新猜想 15.(多选题)(2020山东新高考模拟)某学校共有 6 个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四 位同学每人随机地选择一家餐厅就餐(选择每个餐厅的概率相同)，则下列结论正 确的是() A.四人去了四个不同餐厅就餐的概率为 5 18 B.四人去了同一餐厅就餐的概率为 1 1 296 C.四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为 25 216 D.四人中去第一餐厅就餐的人数的均值为2 3 解析四人去餐厅就餐的情况共有 64种， 其中四人去了四个不同餐厅就餐的情况 有 A 4 6种，则四人去了四个不同餐厅就
46、餐的概率为A 4 6 64 5 18，故 A 正确；同理，四 人去了同一餐厅就餐的概率为 6 64 1 216， 故 B 错误； 四人中恰有两人去了第一餐厅 就餐的概率为C 2 452 64 25 216，故 C 正确；设四人中去第一餐厅就餐的人数为，则 0，1，2，3，4.则 P(0)5 4 64，P(1) C1453 64 ，P(2)C 2 452 64 ，P(3)C 3 45 64 ， P(4) 1 64，则四人中去第一餐厅就餐的人数的分布列为 01234 P 54 64 C1453 64 C2452 64 C345 64 1 64 则四人中去第一餐厅就餐的人数的均值 E()05 4 6
47、4 1C 1 453 64 2C 2 452 64 3C 3 45 64 4 1 64 2 3，故 D 正确. 答案ACD 16.(多填题)一个口袋里装有大小相同的 5 个小球，其中红色有 2 个，其余 3 个颜 色各不相同.现从中任意取出 3 个小球，其中恰有 2 个小球颜色相同的概率是 _；若变量 X 为取出的三个小球中红球的个数，则 X 的数学期望 E(X) _. 解析现从 5 个小球中任意取出 3 个小球， 基本事件总数 nC3510， 其中恰有 2 个小球颜色相同包含的基本事件个数 mC22C133， 恰有 2 个小球颜色相同的概率 是 pm n 3 10.X 的所有可能取值为 0，1，2，P(X0) C33 C35 1 10，P(X1) C12C23 C35 6 10，P(X2) C22C13 C35 3 10，所以 E(X)0 1 101 6 102 3 10 6 5. 答案 3 10 6 5
