1、8.7抛物线抛物线 考试要求1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.2.通过圆 锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想 1抛物线的概念 (1)定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等的点的轨迹 (2)焦点：点 F 叫做抛物线的焦点 (3)准线：直线 l 叫做抛物线的准线 2抛物线的标准方程和简单几何性质 标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0) 图形 范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR 焦点 p 2，0 p 2，0 0，p 2 0，p 2 准线方程xp 2 xp 2 yp 2 y
2、p 2 对称轴x 轴y 轴 顶点(0,0) 离心率e1 微思考 1抛物线定义中，若 l 经过点 F，则点的轨迹会怎样？ 提示若 l 经过点 F，则到 F 与到 l 距离相等的点的轨迹是过点 F 且与 l 垂直的直线 2怎样计算抛物线的焦半径(抛物线上的点到焦点的距离)？抛物线的焦点弦的最小值是多 少？ 提示抛物线 y22px(p0)上一点 P(x0，y0)到焦点的距离(焦半径)为 x0p 2；抛物线的焦点弦 的最小值是 2p(通径的长度) 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线() (2)
3、方程 yax2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是 a 4，0，准线方 程是 xa 4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形() (4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切() 题组二教材改编 2过抛物线 y24x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果 x1x26， 则|PQ|等于() A9B8C7D6 答案B 解析抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x1.根据题意可得，|PQ|PF|QF| x11x21x1x228. 3抛物线 y28x 上到其焦点 F 距离为 5 的点的个数为_ 答
4、案2 解析设 P(x1，y1)，则|PF|x125，得 x13，y12 6.故满足条件的点的个数为 2. 4已知 A(2,0)，B 为抛物线 y2x 上一点，则|AB|的最小值为_ 答案 7 2 解析设点 B(x，y)，则 xy20， 所以|AB| x22y2 x22x x23x4 x3 2 27 4. 所以当 x3 2时，|AB|取得最小值，且|AB| min 7 2 . 题组三易错自纠 5(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点 P(2,3)的抛物线的标准方程是() Ay29 2x Bx24 3y Cy29 2x Dx24 3y 答案BC 解析设抛物线的标准方程是 y2kx 或 x2my，
5、代入点 P(2，3)，解得 k9 2，m 4 3， 所以 y29 2x 或 x 24 3y. 6设抛物线 y28x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是_ 答案1,1 解析Q(2,0)，当直线 l 的斜率不存在时，不满足题意，故设直线 l 的方程为 yk(x2)， 代入抛物线方程，消去 y 整理得 k2x2(4k28)x4k20， 由(4k28)24k24k264(1k2)0， 解得1k1. 题型一 抛物线的定义和标准方程 1(2020全国)已知 A 为抛物线 C：y22px(p0)上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到
6、 y 轴的距离为 9，则 p 等于() A2B3C6D9 答案C 解析设 A(x，y)，由抛物线的定义知，点 A 到准线的距离为 12，即 xp 212. 又因为点 A 到 y 轴的距离为 9，即 x9， 所以 9p 212， 解得 p6. 2设抛物线 y22px 的焦点在直线 2x3y80 上，则该抛物线的准线方程为() Ax4Bx3 Cx2Dx1 答案A 解析直线 2x3y80 与 x 轴的交点为(4,0)，抛物线 y22px 的焦点为(4,0)，准线方 程为 x4. 3动圆过点(1,0)，且与直线 x1 相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_ 答案y24x 解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则
7、圆心到点(1,0)的距离与到直线 x1 的距离相等，根 据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 y24x. 4(2020佛山模拟)已知抛物线 x22py(p0)的焦点为 F，准线为 l，点 P(4，y0)在抛物线上， K 为 l 与 y 轴的交点，且|PK| 2|PF|，则 y0_，p_. 答案24 解析作 PMl，垂足为 M，由抛物线定义知|PM|PF|，又知|PK| 2|PF|， 在 RtPKM 中，sinPKM|PM| |PK| |PF| |PK| 2 2 ， PKM45，PMK 为等腰直角三角形，|PM|MK|4，又知点 P 在抛物线 x2 2py(p0)上， py08， y0p 2
8、4， 解得 p4， y02. 思维升华 (1)应用抛物线定义的两个关键点 由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化抛物线焦点到准线的 距离为 p. (2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程 的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 p，只需一个条件就可以确定抛物线 的标准方程 题型二 抛物线的几何性质及应用 命题点 1焦半径和焦点弦 例 1 (1)已知抛物线 y22px(p0)上横坐标为 4 的点到此抛物线焦点的距离为 9，则该抛物线 的焦点到准线的距离为() A4B9 C10D18 答案C 解析抛物线 y22px 的焦点为
9、p 2，0，准线方程为 xp 2. 由题意可得 4p 29，解得 p10， 所以该抛物线的焦点到准线的距离为 10. (2)设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A，B 两点，O 为坐 标原点，则OAB 的面积为() A.3 3 4 B.9 3 8 C.63 32 D.9 4 答案D 解析由已知得焦点坐标为 F 3 4，0， 因此直线 AB 的方程为 y 3 3 x3 4 ，即 4x4 3y30. 方法一联立直线方程与抛物线方程化简得 4y212 3y90，0 显然成立， 则 yAyB3 3，yAyB9 4， 故|yAyB| yAyB24yAyB6.
10、 因此 SOAB1 2|OF|y AyB|1 2 3 46 9 4. 方法二联立直线方程与抛物线方程得 x221 2 x 9 160， 0 显然成立，故 xAxB21 2 . 根据抛物线的定义有|AB|xAxBp21 2 3 212， 同时原点到直线 AB 的距离为 d |3| 424 32 3 8， 因此 SOAB1 2|AB|d 9 4. 命题点 2与抛物线有关的最值问题 例 2 (1)已知抛物线 y24x，过焦点 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 y 轴 的垂线，垂足分别为 C，D，则|AC|BD|的最小值为_ 答案2 解析由题意知 F(1,0)， |AC|BD|
11、AF|FB|2|AB|2， 即|AC|BD|取得最小值时当且 仅当|AB|取得最小值 依据抛物线定义知， 当|AB|为通径， 即|AB|2p4 时为最小值， 所以|AC| |BD|的最小值为 2. (2)设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点，则点 P 到点 A(1，1)的距离与点 P 到直线 x1 的距离之和的最小值为_ 答案5 解析如图，易知抛物线的焦点为 F(1,0)，准线是 x1， 由抛物线的定义知点 P 到直线 x1 的距离等于点 P 到 F 的距离 于是，问题转化为在抛物线上求一点 P，使点 P 到点 A(1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离 之和最小， 显然，连接 A
12、F 与抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为 112012 5. 思维升华 (1)由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离， 从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程 (2)与抛物线有关的最值问题的两个转化策略 转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线 段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决 转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的 连线中垂线段最短”原理解决 跟踪训练 1 (1)已知抛物线 x24y 上有一条长为 6 的动弦 AB，则 AB 的中点到 x 轴的最短距
13、 离为() A.3 4 B.3 2 C1D2 答案D 解析由题意知，抛物线的准线 l：y1，过点 A 作 AA1l 交 l 于点 A1，过点 B 作 BB1l 交 l 于点 B1，设弦 AB 的中点为 M，过点 M 作 MM1l 交 l 于点 M1，则|MM1|AA1|BB1| 2 . 因为|AB|AF|BF|(F 为抛物线的焦点)，即|AF|BF|6，所以|AA1|BB1|6，2|MM1|6， |MM1|3，故点 M 到 x 轴的距离 d2，故选 D. (2)若抛物线 y24x 的准线为 l，P 是抛物线上任意一点，则 P 到准线 l 的距离与 P 到直线 3x 4y70 的距离之和的最小值
14、是() A2B.13 5 C.14 5 D3 答案A 解析由抛物线定义可知点 P 到准线 l 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离，由抛物线 y24x 及 直线方程 3x4y70 可得直线与抛物线相离点 P 到准线 l 的距离与点 P 到直线 3x4y 70 的距离之和的最小值为点 F(1,0)到直线 3x4y70 的距离，即 |37| 32422.故选 A. 题型三 直线与抛物线 例 3 (2021湖州模拟)如图，已知抛物线 x2y，点 A 1 2， 1 4 ，B 3 2， 9 4 ，抛物线上的点 P(x， y) 1 2x 3 2 .过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q. (1)求直线
15、 AP 斜率的取值范围； (2)求|PA|PQ|的最大值 解(1)设直线 AP 的斜率为 k， k x21 4 x1 2 x1 2， 因为1 2x0)的焦点是椭圆x 2 3p y2 p 1 的一个焦点，则 p 等于() A2B3C4D8 答案D 解析由题意知，抛物线的焦点坐标为 p 2，0，椭圆的焦点坐标为( 2p，0)，所以p 2 2p， 解得 p8，故选 D. 2(2020全国)设 O 为坐标原点，直线 x2 与抛物线 C：y22px(p0)交于 D，E 两点，若 ODOE，则 C 的焦点坐标为() A. 1 4，0B. 1 2，0C(1,0)D(2,0) 答案B 解析方法一抛物线 C 关
16、于 x 轴对称， D，E 两点关于 x 轴对称 可得出直线 x2 与抛物线的两交点的坐标分别为(2,2 p)，(2，2 p) 不妨设 D(2,2 p)，E(2，2 p)， 则OD (2,2 p)，OE (2，2 p) 又ODOE， OD OE 44p0，解得 p1， C 的焦点坐标为 1 2，0. 方法二抛物线 C 关于 x 轴对称， D，E 两点关于 x 轴对称 ODOE，D，E 两点横、纵坐标的绝对值均相等 不妨设点 D(2,2)，将点 D 的坐标代入 C：y22px， 得 44p，解得 p1，故 C 的焦点坐标为 1 2，0. 3.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分
17、显示了中国劳动人民的非 凡智慧一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶 2 m 时，水面宽 8 m若水面下降 1 m，则水面 宽度为() A2 6 mB4 6 mC4 2 mD12 m 答案B 解析由题意，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为 x22py(p0)， 由题意知，抛物线经过点 A(4，2)和点 B(4，2)， 代入抛物线方程解得 p4， 所以抛物线方程为 x28y， 水面下降 1 米，即 y3，解得 x12 6，x22 6， 所以此时水面宽度 d2x14 6. 4(2020北京)设抛物线的顶点为 O，焦点为 F，准线为 l.P 是抛物线上异于 O 的一点，过 P 作 PQl
18、 于 Q，则线段 FQ 的垂直平分线() A经过点 OB经过点 P C平行于直线 OPD垂直于直线 OP 答案B 解析如图所示，P 为抛物线上异于 O 的一点， 则|PF|PQ|， QF 的垂直平分线经过点 P. 5(多选)设抛物线 yax2(a0)的准线与对称轴交于点 P，过点 P 作抛物线的两条切线，切点 分别为 A 和 B，则() A点 P 的坐标为 0， 1 4a B直线 AB 的方程为 y 1 4a CPAPB D|AB| 1 2a 答案ABC 解析由 yax2得，x21 ay，则焦点 F 0， 1 4a . a0，2p1 a，p 1 2a， 其准线方程为 y 1 4a，P 0， 1
19、 4a ，A 正确； 设切线方程为 ykx 1 4a(k0)，由 yax2， ykx 1 4a， 得 ax2kx 1 4a0， 令k24a 1 4a0，解得 k1. 设切点 A 1 2a， 1 4a ，B 1 2a， 1 4a ， 因此直线 AB 的方程为 y 1 4a，B 正确； 又PA 1 2a， 1 2a ，PB 1 2a， 1 2a ， PA PB1 4a2 1 4a20. 从而PA PB，即 PAPB，C 正确； |AB| 1 2a 1 2a|1 a，D 错误 6(多选)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，斜率为 3且经过点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两
20、点(点 A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点 D，若|AF|4，则以下结论正确 的是() Ap2BF 为 AD 的中点 C|BD|2|BF|D|BF|2 答案ABC 解析如图 F p 2，0，直线 l 的斜率为 3， 则直线 l 的方程为 y 3 xp 2 ， 联立 y22px， y 3 xp 2 ， 得 12x220px3p20. 解得 xA3 2p，x B1 6p， 由|AF|3 2p p 22p4，得 p2. 抛物线方程为 y24x. xB1 6p 1 3， 则|BF|1 31 4 3； |BD| |BF| cos 60 4 3 1 2 8 3， |BD|2|BF|， |BD|BF|8
21、 3 4 34，则 F 为 AD 的中点 故选 ABC. 7 (2020新高考全国)斜率为 3的直线过抛物线 C： y24x 的焦点， 且与 C 交于 A， B 两点， 则|AB|_. 答案 16 3 解析如图，由题意得，抛物线焦点为 F(1,0)， 设直线 AB 的方程为 y 3(x1) 由 y 3x1， y24x， 得 3x210 x30. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x210 3 ，所以|AB|x1x2216 3 . 8已知直线 l 是抛物线 y22px(p0)的准线，半径为 3 的圆过抛物线顶点 O 和焦点 F 与 l 相 切，则抛物线的方程为_ 答案y28x 解
22、析半径为 3 的圆与抛物线的准线 l 相切， 圆心到准线的距离等于 3， 又圆心在 OF 的垂直平分线上，|OF|p 2， p 2 p 43，p4，故抛物线的方程为 y 28x. 9 直线 l 过抛物线 C： y22px (p 0)的焦点 F(1,0)， 且与 C 交于 A， B 两点， 则 p_， 1 |AF| 1 |BF|_. 答案21 解析由题意知p 21，从而 p2， 所以抛物线方程为 y24x. 当直线 AB 的斜率不存在时，将 x1 代入抛物线方程，解得|AF|BF|2， 从而 1 |AF| 1 |BF|1. 当直线 AB 的斜率存在时，设 AB 的方程为 yk(x1)， 联立 y
23、kx1， y24x， 整理，得 k2x2(2k24)xk20， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x22k 24 k2 ， x1x21， 从而 1 |AF| 1 |BF| 1 x11 1 x21 x1x22 x1x2x1x21 x1x22 x1x221. 综上， 1 |AF| 1 |BF|1. 10点 P 为抛物线 y24x 上的动点，点 A(2,1)为平面内定点，F 为抛物线焦点，则： (1)|PA|PF|的最小值为_； (2)|PA|PF|的最小值为_，最大值为_ 答案(1)3(2) 22 解析(1)如图 1，由抛物线定义可知，|PF|PH|，|PA|PF|PA|PH|，从
24、而最小值为 A 到准线的距离为 3. (2)如图 2， 当 P， A， F 三点共线， 且 P 在 FA 延长线上时， |PA|PF|有最小值为|AF| 2. 当 P，A，F 三点共线，且 P 在 AF 延长线上时，|PA|PF|有最大值为|AF| 2.故|PA|PF| 的最小值为 2，最大值为 2. 11定长为 3 的线段 AB 的端点 A，B 在抛物线 y2x 上移动，求 AB 的中点到 y 轴距离的最 小值，并求出此时 AB 中点的坐标 解如图所示，F 是抛物线 y2x 的焦点， 过 A，B 两点作准线的垂线，垂足分别为 C，D， 过 AB 的中点 M 作准线的垂线 MN，垂足为 N，
25、则|MN|1 2(|AC|BD|) 连接 AF，BF，由抛物线的定义知|AC|AF|，|BD|BF|， 所以|MN|1 2(|AF|BF|) 1 2|AB| 3 2. 设点 M 的横坐标为 x，则|MN|x1 4， 所以 x3 2 1 4 5 4. 当弦 AB 过点 F 时等号成立， 此时，点 M 到 y 轴的距离最短，最短距离为5 4. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x22x. 当 x5 4时，易知 y 1y2p21 4， 所以(y1y2)2y21y222y1y22x1 22. 所以 y1y2 2，得 y 2 2 ，即 M 5 4， 2 2 . 12(2021沈阳模拟)已知
26、抛物线 C：x22py(p0)，其焦点到准线的距离为 2，直线 l 与抛物 线 C 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作抛物线 C 的切线 l1，l2，且 l1与 l2交于点 M. (1)求 p 的值； (2)若 l1l2，求MAB 面积的最小值 解(1)由题意知，抛物线焦点为 0，p 2 ， 准线方程为 yp 2， 焦点到准线的距离为 2，即 p2. (2)由(1)知抛物线的方程为 x24y， 即 y1 4x 2，所以 y1 2x， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， l1：yx 2 1 4 x1 2 (xx1)， l2：yx 2 2 4 x2 2 (xx2)， 由于 l1l2，所以
27、x1 2 x2 2 1， 即 x1x24. 设直线 l 的方程为 ykxm，与抛物线方程联立， 得 ykxm， x24y， 所以 x24kx4m0，16k216m0， x1x24k，x1x24m4，所以 m1，即 l：ykx1. 联立方程 yx1 2 xx 2 1 4 ， yx2 2 xx 2 2 4 ， 得 x2k， y1， 即 M(2k，1) M 点到直线 l 的距离 d|k2k11| 1k2 2|k 21| 1k2， |AB| 1k2x1x224x1x24(1k2)， 所以 S1 24(1k 2)2|k 21| 1k2 3 2 2 4(1)k+4， 当 k0 时，MAB 的面积取得最小值
28、 4. 13抛物线 x24y 的焦点为 F，过点 F 作斜率为 3 3 的直线 l 与抛物线在 y 轴右侧的部分相交 于点 A，过点 A 作抛物线准线的垂线，垂足为 H，则AHF 的面积是() A4B3 3C4 3D8 答案C 解析由抛物线的定义可得|AF|AH|， AF 的斜率为 3 3 ，直线 AF 的倾斜角为 30， AH 垂直于准线，FAH60， 故AHF 为等边三角形 设 A m，m 2 4 ，m0， 过 F 作 FMAH 于 M，则在 RtFAM 中， |AM|1 2|AF|， m2 4 11 2 m2 4 1 ， 解得 m2 3，故等边三角形 AHF 的边长|AH|4， AHF
29、的面积是1 244sin 604 3.故选 C. 14过抛物线 C：x24y 的焦点 F 作直线 l 交 C 于 A，B 两点，设 D(0,3)若(DA DB )AB 0，则弦 AB 的长为_ 答案4 解析若(DA DB )AB 0， 则线段 AB 的垂直平分线过点 D. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x214y1，x224y2， 两式相减得 x1x24y1y2 x1x2 4kAB， 即 kABx1x2 4 ， 则弦 AB 的中点与点 D(0,3)的连线的斜率 k y1y2 2 3 x1x2 2 4 x1x2， 所以 y1y22， 所以|AB|y1y224. 15(2020湖南
30、名校大联考)已知 P 为抛物线 C：yx2上一动点，直线 l：y2x4 与 x 轴、 y 轴交于 M，N 两点，点 A(2，4)且AP AM AN ，则的最小值为_ 答案 7 4 解析由题意得 M(2,0)，N(0，4)， 设 P(x，y)，由AP AM AN 得(x2，y4)(0,4)(2,0)， x22，y44. 因此y4 4 x2 2 x 2 4 x 22 x 2 1 2 27 4 7 4，故的最小值为 7 4. 16过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 作一条倾斜角为 4的直线与抛物线相交于 A，B 两点 (1)用 p 表示 A，B 之间的距离； (2)证明：AOB 的大小是与 p
31、无关的定值，并求出这个值 解(1)焦点 F p 2，0，过点 F 且倾斜角为 4的直线方程是 yx p 2. 由 y22px， yxp 2， 得 x23pxp 2 4 0. 设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，则 xAxB3p，xAxBp 2 4 ， 故|AB|xAxBp4p 或|AB| 2p sin2 4 4p . (2)在AOB 中，由余弦定理可知， cosAOB|AO| 2|BO|2|AB|2 2|AO|BO| x 2 Ay2Ax2By2BxAxB2yAyB2 2 x2Ay2Ax2By2B xAxByAyB x2Ay2Ax2By2B 2xAxBp 2x AxBp 2 4 xAxBxAxB2pxAxB4p2 3 41 41 . 即AOB 的大小是与 p 无关的定值， 且 cosAOB3 41 41 .
