1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 5 节直线、平面垂直的判定及其性质 知 识 梳 理 1直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线 l 与平面内的任意直线都垂直，就说直线 l 与平面互相垂直 (2)判定定理与性质定理 文字语言图形表示符号表示 判定 定理 一条直线与一个平面 内的两条相交直线都 垂直，则该直线与此 平面垂直 la lb abO a b l 性质 定理 两直线垂直于同一个 平面，那么这两条直 线平行 a b ab 2.直线
2、和平面所成的角 (1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成 的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在 平面内，则它们所成的角是 0的角 (2)范围： 0， 2 . 3二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； (2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内 分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角 (3)二面角的范围：0， 4平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直 本资料分享自新人
3、教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)判定定理与性质定理 文字语言图形表示符号表示 判定 定理 一个平面经过另一个 平面的一条垂线， 则这 两个平面互相垂直 l l 性质 定理 如果两个平面互相垂 直， 则在一个平面内垂 直于它们交线的直线 垂直于另一个平面 a la l l 1垂直关系的转化 2直线与平面垂直的五个结论 (1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线 (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面 (3)垂直
4、于同一条直线的两个平面平行 (4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 (5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 (1)直线 l 与平面内的无数条直线都垂直，则 l.() (2)垂直于同一个平面的两平面平行() (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面() (4)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)直线 l 与平面内的无数条直线都垂直，则有 l或 l 与斜交或 l或 l，故(1)错误 (2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误 本资料分享自新人教版高中数学资
5、源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另 一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误 (4)若平面内的一条直线垂直于平面内的所有直线，则，故(4)错误 2(2021温州适应性测试)设 m，n 为直线，为平面，则 m的一个充分条 件可以是() A，n，mnB，m C，mDn，mn 答案B 解析对于 A，直线 m 与平面可能平行、相交或直线 m 在平面内，A 错误；对 于 B，由直线垂直于两平行平
6、面中的一个，得该直线垂直于另一个平面，B 正确， 对于 C，直线 m 与平面可能平行、相交或直线 m 在平面内，C 错误；对于 D， 直线 m 与平面可能平行、相交或直线 m 在平面内，D 错误综上所述，故选 B. 3已知互相垂直的平面，交于直线 l，若直线 m，n 满足 m，n，则() AmlBmnCnlDmn 答案C 解析因为l，所以 l，又 n，所以 nl，故选 C. 4在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 CD 的中点，则() AA1EDC1BA1EBD CA1EBC1DA1EAC 答案C 解析由题设知 A1B1平面 BCC1B1且 BC1平面 BCC1B1，从而 A1B1B
7、C1，又 B1CBC1，且 A1B1B1CB1，所以 BC1平面 A1B1CD，又 A1E平面 A1B1CD， 所以 A1EBC1. 5(2021北京顺义区二模)已知 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面， 则() A若 m，则 m B若 m，n，则 mn C若 m，n，m，n，则 D若 m，n，则 mn 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案B 解析在如图所示的正方体中依次判断各个选项； A 选项， 面 ABCD面 ADD1A1， AA1面 AB
8、CD，此时 AA1面 ADD1A1，可知 A 错误；B 选项，m，则内必存 在直线，使得 ml；又 n，则 nl，可知 nm，可知 B 正确；C 选项，取 AA1 和 DD1中点 E 和 F， 可知 A1D1面 ABCD， EF面 ABCD， A1D1， EF面 ADD1A1， 此时面ADD1A1面ABCD， 可知C错误； D选项， AA1面BCC1B1， AD面BCC1B1， 此时 AA1ADA，可知 D 错误 6(必修 2P67 练习 2 改编)在三棱锥 PABC 中，点 P 在平面 ABC 中的射影为点 O， (1)若 PAPBPC，则点 O 是ABC 的_心 (2)若 PAPB，PBP
9、C，PCPA，则点 O 是ABC 的_心 答案(1)外(2)垂 解析(1)如图 1，连接 OA，OB，OC，OP， 在 RtPOA、RtPOB 和 RtPOC 中，PAPCPB， 所以 OAOBOC，即 O 为ABC 的外心 图 1图 2 (2)如图 2，PCPA，PBPC，PAPBP， PC平面 PAB，AB平面 PAB， PCAB，又 ABPO，POPCP， AB平面 PGC，又 CG平面 PGC， ABCG， 即 CG 为ABC 边 AB 的高 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 4831
10、22854 期待你的加入与分享 同理可证 BD，AH 分别为ABC 边 AC，BC 上的高，即 O 为ABC 的垂心 考点一线面垂直的判定与性质 【例 1】 如图，正三棱柱 ABCA1B1C1的高为 6，其底面边长 为 2.已知点 M，N 分别是棱 A1C1，AC 的中点，点 D 是棱 CC1 上靠近 C 的三等分点 求证：(1)B1M平面 A1BN； (2)AD平面 A1BN. 证明(1)连接 MN，正三棱柱 ABCA1B1C1中，四边形 AA1C1C 是平行四边形， 因为点 M，N 分别是棱 A1C1， AC 的中点， 所以 MNAA1且 MNAA1， 又正三棱柱 ABCA1B1C1 中
11、AA1BB1且 AA1BB1，所以 MNBB1且 MNBB1，所以四边形 MNBB1是平 行四边形，所以 B1MBN，又 B1M平面 A1BN，BN平面 A1BN，所以 B1M平 面 A1BN. (2)在正三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 ABC， BN平面 ABC，所以 BNAA1. 在正ABC 中，N 是 AC 的中点， 所以 BNAC，又 AA1，AC平面 AA1C1C， AA1ACA， 所以 BN平面 AA1C1C， 又 AD平面 AA1C1C， 所以 ADBN. 由题意，AA1 6，AC2，AN1，CD 6 3 ， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031
12、380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以AA1 AC AN CD 6 2 ， 又A1ANACD 2， 所以A1ANACD， 则AA1NCAD， 所以ANA1CADANA1AA1N 2， 则 ADA1N， 又 BNA1NN，且 BN，A1N平面 A1BN， 所以 AD平面 A1BN. 感悟升华(1)证明直线和平面垂直的常用方法有： 判定定理； 垂直于平面的传递性(ab， ab)； 面面平行的性质(a， a)；面面垂直的性质(，a，la，ll) (2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性
13、质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想 【训练 1】 如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD， ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E 是 PC 的中 点证明： (1)CDAE； (2)PD平面 ABE. 证明(1)在四棱锥 PABCD 中， PA底面 ABCD，CD平面 ABCD， PACD， 又ACCD，且 PAACA， CD平面 PAC.又 AE平面 PAC， CDAE. (2)由 PAABBC，ABC60，可得 ACPA. E 是 PC 的中点，AEPC. 由(1)知 AECD，且 PCCDC， AE平面 PCD.又 PD平面 PCD，AEP
14、D. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 PA底面 ABCD，AB平面 ABCD，PAAB. 又ABAD，且 PAADA， AB平面 PAD，又 PD平面 PAD， ABPD. 又ABAEA，PD平面 ABE. 考点二面面垂直的判定与性质 【例 2】 (2020江苏卷)在三棱柱 ABCA1B1C1中， ABAC， B1C平面 ABC，E，F 分别是 AC，B1C 的中点 (1)求证：EF平面 AB1C1； (2)求证：平面 AB1C平面 ABB1. 证明(
15、1)因为 E，F 分别是 AC，B1C 的中点， 所以 EFAB1.又 EF平面 AB1C1，AB1平面 AB1C1， 所以 EF平面 AB1C1. (2)因为 B1C平面 ABC，AB平面 ABC， 所以 B1CAB.又 ABAC，B1C平面 AB1C， AC平面 AB1C，B1CACC，所以 AB平面 AB1C. 又因为 AB平面 ABB1，所以平面 AB1C平面 ABB1. 感悟升华(1)证明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判 定定理 (2)已知两平面垂直时， 一般要用性质定理进行转化， 在一个平面内作交线的垂线， 转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直 【训练 2】如
16、图， 在三棱锥 ABCD 中， ABAD， BCBD， 平面 ABD平面 BCD，点 E，F(E 与 A，D 不重合)分别在 棱 AD，BD 上，且 EFAD. 求证：(1)EF平面 ABC； (2)ADAC. 证明(1)在平面 ABD 内，ABAD，EFAD， 则 ABEF. AB平面 ABC，EF平面 ABC， EF平面 ABC. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)BCBD， 平面ABD平面BCDBD， 平面ABD平面BCD， BC平面BCD，
17、 BC平面 ABD. AD平面 ABD， BCAD. 又 ABAD，BC，AB平面 ABC，BCABB， AD平面 ABC， 又因为 AC平面 ABC， ADAC. 考点三线面角与面面角 【例 31】 (2019浙江卷)如图，已知三棱柱 ABCA1B1C1， 平面 A1ACC1平面 ABC，ABC90，BAC30，A1A A1CAC，E，F 分别是 AC，A1B1的中点 (1)证明：EFBC； (2)求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值 (1)证明如图，连接 A1E. 因为 A1AA1C，E 是 AC 的中点，所以 A1EAC. 又平面 A1ACC1平面 ABC，A1E平面 A1AC
18、C1， 平面 A1ACC1平面 ABCAC， 所以 A1E平面 ABC， 又 BC平面 ABC， 则 A1EBC. 又因为 A1FAB，ABC90，故 BCA1F. 又 A1EA1FA1，A1E，A1F平面 A1EF， 所以 BC平面 A1EF. 又 EF平面 A1EF，因此 EFBC. (2)解如图，取 BC 的中点 G，连接 EG，GF，则四边形 EGFA1是平行四边形 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 由于 A1E平面 ABC，EG平面 ABC，故
19、 A1EEG， 所以平行四边形 EGFA1为矩形 由(1)得 BC平面 EGFA1，又 BC平面 A1BC， 则平面 A1BC平面 EGFA1， 所以 EF 在平面 A1BC 上的射影在直线 A1G 上 连接 A1G 交 EF 于点 O， 则EOG 是直线 EF 与平面 A1BC 所成的角(或其补角) 不妨设 AC4，则在 RtA1EG 中，A1E2 3，EG 3. 由于 O 为 A1G 的中点，故 EOOGA1G 2 15 2 ， 所以 cos EOGEO 2OG2EG2 2EOOG 3 5. 因此，直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值是3 5. 【例 32】 如图， 三角形 PDC
20、 所在的平面与长方形 ABCD 所 在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.点 E 是 CD 边的 中点， 点 F， G 分别在线段 AB， BC 上， 且 AF2FB， CG2GB. (1)证明：PEFG. (2)求二面角 PADC 的正切值 (3)求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值 (1)证明因为 PDPC 且点 E 为 CD 的中点， 所以 PEDC. 又平面 PDC平面 ABCD，且平面 PDC平面 ABCDCD，PE平面 PDC，所 以 PE平面 ABCD， 又 FG平面 ABCD，所以 PEFG. (2)解由(1)知 PE平面 ABCD，PEAD， 又 ADCD，PECD
21、E， AD平面 PDC，又 PD平面 PDC，ADPD， PDC 为二面角 PADC 的平面角， 在 RtPDE 中，PD4，DE3， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 PE 169 7，tanPDCPE DE 7 3 . 故二面角 PADC 的正切值为 7 3 . (3)解如图，连接 AC，AF2FB，CG2GB，ACFG. 直线 PA 与 FG 所成角即直线 PA 与 AC 所成角PAC. 在 RtPDA 中，PA2AD2PD225，PA5. 又 P
22、C4. AC2CD2AD236945，AC3 5. 又 cosPACPA 2AC2PC2 2PAAC 254516 253 5 9 5 25 . 所以直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值为9 5 25 . 感悟升华利用综合法求空间线线角、线面角、二面角一定注意“作角、证明、 计算”是完整统一过程，缺一不可 (1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面 角转化到一个三角形中求解 (2)二面角的大小用它的平面角来度量平面角的作法常见的有：定义法；垂 面法注意利用等腰、等边三角形的性质 【训练 3】 如图， AB 是O 的直径， PA 垂直于O 所在的平面， C 是
23、圆周上不同于 A，B 的一动点 (1)证明：PBC 是直角三角形； (2)若 PAAB2， 且当直线 PC 与平面 ABC 所成角的正切值为 2 时，求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值 (1)证明AB 是O 的直径，C 是圆周上不同于 A，B 的一动点BCAC， PA平面 ABC，BCPA， 又 PAACA，PA，AC平面 PAC， BC平面 PAC，BCPC， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 BPC 是直角三角形 (2)解如图，过 A 作
24、AHPC 于 H， BC平面 PAC， BCAH， 又 PCBCC，PC，BC平面 PBC， AH平面 PBC， ABH 是直线 AB 与平面 PBC 所成的角， PA平面 ABC， PCA 即是 PC 与平面 ABC 所成的角， tan PCAPA AC 2， 又 PA2，AC 2， 在 RtPAC 中，AH PAAC PA2AC2 2 3 3 ， 在 RtABH 中，sinABHAH AB 2 3 3 2 3 3 ， 即直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 3 3 . 基础巩固题组 一、选择题 1已知平面平面，且b，a，则“ab”是“a”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C
25、充要条件D既不充分也不必要条件 答案C 解析平面平面，且b，a，若 ab，则 a，充分性成立；平面 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 平面，因为b，所以 b，若 a，则 ab，必要性成立，所以 “ab”是“a”的充要条件，故选 C. 2下列命题正确的是() A若直线 l 不平行于平面，则内不存在直线平行于直线 l B若直线 l 不垂直于平面，则内不存在直线垂直于直线 l C若平面不平行于平面，则内不存在直线平行于平面 D若平面不垂直于平面，则内不存在直线
26、垂直于平面 答案D 解析A 中，若直线 l 在平面内，则平面内存在直线平行于直线 l；B 中，平面 内存在无数条直线与直线 l 垂直；C 中，平面内与两平面交线平行的直线都与 平面平行；故选 D. 3设，是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且 l，m() A若 l，则B若，则 lm C若 l，则D若，则 lm 答案A 解析由面面垂直的判定定理可知 A 正确；B 中，l 与 m 可能平行、垂直、相交、 异面；C 中，与可能相交、平行；D 中，l 与 m 可能异面、平行 4若平面，满足，l，P，Pl，则下列命题中是假命题的为() A过点 P 垂直于平面的直线平行于平面 B过点 P 垂直于直
27、线 l 的直线在平面内 C过点 P 垂直于平面的直线在平面内 D过点 P 且在平面内垂直于 l 的直线必垂直于平面 答案B 解析由于过点 P 垂直于平面的直线必平行于平面内垂直于交线的直线，因此 也平行于平面，因此 A 正确过点 P 垂直于直线 l 的直线有可能垂直于平面， 不一定在平面内，因此 B 不正确根据面面垂直的性质定理知 C，D 正确 5如图，在正四面体 PABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC， CA 的中点，下面四个结论不成立的是() ABC平面 PDF BDF平面 PAE 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新
28、人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 C平面 PDF平面 PAE D平面 PDE平面 ABC 答案D 解析因为 BCDF，DF平面 PDF， BC平面 PDF， 所以 BC平面 PDF，故选项 A 正确 在正四面体中，AEBC，PEBC，AEPEE， BC平面 PAE，DFBC， 则 DF平面 PAE， 又 DF平面 PDF，从而平面 PDF平面 PAE.因此 B，C 均正确 6(2021北京门头沟区一模)如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个 顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不垂直的是() 答案D
29、 解析对于 A，AB 为体对角线，M、N、Q 分别为棱的中点，由中位线定理可得 MN，MQ，NQ 平行于所对应的面对角线，连接另一条面对角线，由线面垂直的 判定可得 AB 垂直于 MN，MQ，NQ，可得 AB 垂直于平面 MNQ；对于 B，AB 为 上底面的对角线，显然 AB 垂直于 MN，与 AB 相对的下底面的面对角线平行，且 与直线 NQ 垂直，可得 AB 垂直于平面 MNQ；对于 C，AB 为前面的面对角线，显 然 AB 垂直于 MN，QN 在下底面且与棱平行，此棱垂直于 AB 所在的面，即有 AB 垂直于 QN，可得 AB 垂直于平面 MNQ；对于 D，AB 为上底面的对角线，MN
30、平 行于前面的一条面对角线，此对角线与 AB 所成角为 60，则 AB 不垂直于平面 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 MNQ. 二、填空题 7如图，已知 PA平面 ABC，BCAC，则图中直角三角形的个 数为_ 答案4 解析PA平面 ABC，AB，AC，BC平面 ABC， PAAB，PAAC，PABC，则PAB，PAC 为直角三角形 由 BCAC，且 ACPAA， BC平面 PAC，从而 BCPC，因此ABC，PBC 也是直角三角形 8(2019北京卷
31、)已知 l，m 是平面外的两条不同直线给出下列三个论断： lm；m；l. 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： _ 答案若 m，l，则 lm(或若 lm，l，则 m，答案不唯一) 解析已知l， m是平面外的两条不同直线， 由lm与m， 不能推出l， 因为 l 可以与平行，也可以相交不垂直；由lm 与l能推出m；由 m与l可以推出lm.故正确的命题是或. 9.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，且底面 各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足_时， 平面 MBD平面 PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可) 答案DMPC(或 B
32、MPC 等) 解析由题意可知，BDPC. 当 DMPC(或 BMPC)时，有 PC平面 MBD. 又 PC平面 PCD，平面 MBD平面 PCD. 10已知，是两个平面，m，n 是两条直线 (1)如果 m，n，那么 m，n 的位置关系是_； (2)如果mn， ， 那么m与所成的角和n与所成的角的大小关系是_ 答案(1)垂直(2)相等 解析(1)由线面平行的性质定理知存在直线 l，nl，m，所以 ml，所 以 mn. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2
33、)因为 mn，所以 m 与所成的角和 n 与所成的角相等因为，所以 n 与 所成的角和 n 与所成的角相等，所以 m 与所成的角和 n 与所成的角相等 三、解答题 11 如图所示， 在直三棱柱 ABCA1B1C1中， ABACAA13， BC2， D 是 BC 的中点， F 是 CC1上一点 当 CF2 时， 证明： B1F平面 ADF. 证明因为 ABAC，D 是 BC 的中点，所以 ADBC. 在直三棱柱 ABCA1B1C1中， 因为 BB1底面 ABC，AD底面 ABC， 所以 ADB1B. 因为 BCB1BB，BC，B1B平面 B1BCC1， 所以 AD平面 B1BCC1. 因为 B1
34、F平面 B1BCC1， 所以 ADB1F. 法一在矩形 B1BCC1中， 因为 C1FCD1，B1C1CF2， 所以 RtDCFRtFC1B1， 所以CFDC1B1F， 所以B1FD90，所以 B1FFD. 因为 ADFDD，AD，FD平面 ADF， 所以 B1F平面 ADF. 法二在 RtB1BD 中，BDCD1，BB13， 所以 B1D BD2BB21 10. 在 RtB1C1F 中，B1C12，C1F1， 所以 B1F B1C21C1F2 5. 在 RtDCF 中，CF2，CD1， 所以 DF CD2CF2 5. 显然 DF2B1F2B1D2， 所以B1FD90.所以 B1FFD. 本资
35、料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 因为 ADFDD，AD，FD平面 ADF， 所以 B1F平面 ADF. 12如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，PAABBC 3，AD CD1，ADC120，点 M 是 AC 与 BD 的交点，点 N 在线段 PB 上，且 PN 1 4PB. (1)证明：MN平面 PDC； (2)求直线 MN 与平面 PAC 所成角的正弦值 (1)证明因为 ABBC，ADCD， 所以 BD 垂直平分线段 AC. 又ADC12
36、0，所以 MD1 2AD 1 2，AM 3 2 . 所以 AC 3. 又 ABBC 3，所以ABC 是等边三角形， 所以 BM3 2，所以 BM MD3， 又因为 PN1 4PB，所以 BM MD BN NP3， 所以 MNPD. 又 MN平面 PDC，PD平面 PDC， 所以 MN平面 PDC. (2)解因为 PA平面 ABCD，BD平面 ABCD， 所以 BDPA， 又 BDAC，PAACA，PA，AC平面 PAC， 所以 BD平面 PAC. 由(1)知 MNPD， 所以直线 MN 与平面 PAC 所成的角即直线 PD 与平面 PAC 所成的角，故DPM 即为所求的角 本资料分享自新人教版
37、高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 在 RtPAD 中，PD2， 所以 sinDPMDM DP 1 2 2 1 4， 所以直线 MN 与平面 PAC 所成角的正弦值为1 4. 能力提升题组 13(2019全国卷)如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形， 平面 ECD平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则() ABMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 BBMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 CBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 DBMEN
38、，且直线 BM，EN 是异面直线 答案B 解析取 CD 的中点 O，连接 ON，EO，因为ECD 为正三角形，所以 EOCD， 又平面 ECD平面 ABCD，平面 ECD平面 ABCDCD，所以 EO平面 ABCD. 设正方形 ABCD 的边长为 2，则 EO 3，ON1，所以 EN2EO2ON24，得 EN2.过 M 作 CD 的垂线，垂足为 P，连接 BP，则 MP 3 2 ，CP3 2，所以 BM 2 MP2BP2 3 2 2 3 2 2 227，得 BM 7，所以 BMEN.连接 BD，BE， 因为四边形 ABCD 为正方形，所以 N 为 BD 的中点，即 EN，MB 均在平面 BDE
39、 内，所以直线 BM，EN 是相交直线，故选 B. 14(2021浙江教育绿色评价联盟适考)已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面垂 直，体积为9 4，底面是边长为 3的正三角形，若 P 为底面 A 1B1C1的中心，则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为() A.5 12 B. 3 C. 4 D. 6 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案B 解析如图，取正三角形 ABC 的中心 O，连接 OP，则PAO 是 PA 与平面 ABC 所成的角因为底
40、面边长为 3， 所以 AD 3 3 2 3 2， AO2 3AD 2 3 3 21. 三棱柱的体积为 3 4 ( 3)2AA19 4， 解得 AA1 3，即 OPAA1 3， 所以 tan PAOOP OA 3， 因为直线与平面所成角的范围是 0， 2 ， 所以PAO 3. 15.如图， 已知六棱锥 PABCDEF 的底面是正六边形， PA平面 ABC， PA2AB， 则下列结论中：PBAE；平面 ABC平面 PBC；直线 BC平面 PAE； PDA45. 其中正确的有_(把所有正确的序号都填上) 答案 解析由 PA平面 ABC，AE平面 ABC，得 PAAE， 又由正六边形的性质得 AEAB
41、， PAABA， 得 AE平面 PAB， 又 PB平面 PAB， AEPB，正确；又平面 PAD平面 ABC，平面 ABC平面 PBC 不成立， 错误； 由正六边形的性质得 BCAD， 又 AD平面 PAD， BC平面 PAD， BC 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 平面 PAD，直线 BC平面 PAE 也不成立，错误；在 RtPAD 中，PAAD 2AB，PDA45，正确 16.如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1底面 ABC，底面是以
42、ABC 为直 角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，点 D 是 A1C1的中点，点 F 在线段 AA1 上，当 AF_时，CF平面 B1DF. 答案a 或 2a 解析由题意易知 B1D平面 ACC1A1， 所以 B1DCF. 要使 CF平面 B1DF，只需 CFDF 即可 令 CFDF，设 AFx，则 A1F3ax. 易知 RtCAFRtFA1D， 得 AC A1F AF A1D，即 2a 3ax x a， 整理得 x23ax2a20， 解得 xa 或 x2a. 17 (2020全国卷)如图， 在长方体 ABCDA1B1C1D1中， 点 E， F 分别在棱 DD1， BB1上，且 2DEE
43、D1，BF2FB1.证明： (1)当 ABBC 时，EFAC； (2)点 C1在平面 AEF 内 证明(1)如图，连接 BD，B1D1.因为 ABBC，所以 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 四边形 ABCD 为正方形，故 ACBD.又因为 BB1平面 ABCD，于是 ACBB1. 又 BDBB1B，所以 AC平面 BB1D1D. 由于 EF平面 BB1D1D， 所以 EFAC. (2)如图，在棱 AA1上取点 G，使得 AG2GA1，连接 GD1，FC
44、1，FG. 因为 ED12 3DD 1，AG2 3AA 1，DD1綊 AA1，所以 ED1綊 AG，于是四边形 ED1GA 为平行四边形，故 AEGD1. 因为 B1F1 3BB 1，A1G1 3AA 1，BB1綊 AA1，所以 B1FGA1是平行四边形，所以 FG 綊 A1B1，所以 FG 綊 C1D1，四边形 FGD1C1为平行四边形，故 GD1FC1. 于是 AEFC1.所以 A，E，F，C1四点共面，即点 C1在平面 AEF 内 18 (2016浙江卷)如图， 在三棱台 ABCDEF 中， 平面 BCFE平面 ABC， ACB 90，BEEFFC1，BC2，AC3. (1)求证：BF平
45、面 ACFD； (2)求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值 (1)证明延长 AD，BE，CF 相交于一点 K，如图所示，因为平面 BCFE平面 ABC，且 ACBC，所以 AC平面 BCK， 因此 BFAC. 又因为 EFBC，BEEFFC1，BC2， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以BCK 为等边三角形，且 F 为 CK 的中点， 则 BFCK. 所以 BF平面 ACFD. (2)解因为 BF平面 ACK，所以BDF 是直线 BD 与平面 ACFD 所成的角 在 RtBFD 中，BF 3，DF3 2， 得 cos BDF 21 7 . 所以直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值为 21 7 .
