1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 加强练(九)数列、数学归纳法 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的) 1(2021湖州期末质检)已知等差数列an的公差为 2，若 a1，a3，a4成等比数列， 则 a2() A4B6C8D10 答案B 解析由题意得 a1a22，a3a22，a4a24.又因为 a1，a3，a4成等比数列， 所以 a23a1a4，即(a22)2(a22)(a24)
2、，解得 a26，故选 B. 2已知等比数列an满足 a11 4，a 3a54(a41)，则 a2() A2B1C.1 2 D.1 8 答案C 解析由an为等比数列，得 a3a5a24，所以 a244(a41)，解得 a42，设等比 数列an的公比为 q，则 a4a1q3，得 21 4q 3，解得 q2，所以 a2a1q1 2.选 C. 3(2021鄞州中学检测)已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，则“a10”是“S990” 的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案C 解析当等比数列an的公比 q1 时，S9999a1，则 S99与 a1同号；当等比数
3、列 an的公比 q1 时，S99a1（1q 99） 1q ，因为 1q99与 1q 同号，所以 S99与 a1 同号综上所述，“a10”是“S990”的充要条件，故选 C. 4已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，S1122，a412，如果当 nm 时，Sn 最小，那么 m 的值为() A10B9C5D4 答案C 解析设等差数列an的公差为 d，则 S1111a155d22，a4a13d12， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解得 a133，d7，由
4、 an7n400 得 n5，即该数列的前 5 项是负数，从 第 6 项开始是正数，则前 5 项的和最小，即 m5. 5(2021台州评估测试)已知数列an满足：an1(1)n 1ann2(nN*)，若 a6 5，则 a1() A26B0C5D26 答案B 解析根据题意中递推关系式，且 a65 得 a520，同理可得 a420424，a3 5，a21，a10，故选 B. 6(2021浙江“超级全能生”联考)在数列an中，a11，a23，且an 2 an 2 (1)n(nN*)，Sn为数列an的前 n 项和，则 S100() A.3 501 2 50B.3（13 50） 2 50 C.3（3 50
5、1） 2 50D.3（3 1001） 2 50 答案C 解析由题意可得，当 n 为奇数时，an 2 an 1；当 n 为偶数时，an 2 an 3，所以数列 an的奇数项相等且为 1，偶数项为首项为 3，公比为 3 的等比数列，所以 S100 1503（13 50） 13 503（3 501） 2 ，故选 C. 7(2021镇海中学模拟)一条直线把平面分成两部分，两条直线把平面最多分成 4 部分，若 n 条直线把平面分成最多 f(n)部分，则 n1 条直线把平面分成最多 f(n 1)为() Af(n)n2Bf(n)n1 Cf(n)nDf(n)n1 答案D 解析第 n1 条直线与前 n 条直线的
6、交点个数最多是 n，这 n 个交点把第 n1 条直线分成 n1 个部分(有两条射线，其余都是线段)，每个部分把它所在原来的 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 区域分成两部分，因此共多了 n1 个部分，即 f(n1)f(n)n1. 8已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且S4 S8 1 3，则 S8 S16( ) A. 3 10 B.3 7 C.1 3 D.1 2 答案A 解析因为 Sn为等差数列an的前 n 项和，所以 S4，S8S4，S12S8，S
7、16S12也 成等差数列，而S4 S8 1 3，所以 S 83S4，则(S8S4)S4S4，则得 S12S83S4，S16 S124S4，故 S1610S4，所以 S8 S16 3 10. 9 (2020北京卷)在等差数列an中， a19， a51.记 Tna1a2an(n1， 2， )， 则数列Tn() A有最大项，有最小项B有最大项，无最小项 C无最大项，有最小项D无最大项，无最小项 答案B 解析由 a19， a51，得 a19， a14d1， 解得 d2. an2n11，Tn(9)(7)(2n11) 当 n5 时，an0；当 n5 时，an0，故 T10，T20， T30，T40，T50
8、，T60，Tn0. 故有最大项 T4，无最小项故选 B. 10(2021金丽衢十校一联)设等差数列 a1，a2，an(n3，nN*)的公差为 d， 满足|a1|a2|an|a11|a21|an1|a12|a22|an 2|m，则下列说法正确的是() A|d|3 Bn 的值可能为奇数 C存在 iN*，满足2ai0. 若 an0，则等式明显不成立，同理 an0 时，也不成立 设an中有 x 项为负，y 项为非负，即 a1，a2，axx 时，|ai1|ai|1， |a11|a21|an1|a1|a2|ax|x|ax1|an|y， 可得 xy0，即 xy. 当 ix 时，|ai2|ai|2；当 ix
9、时，|ai2|ai|2. |a12|a22|an2|a1|a2|ax|2x|ax1|an|2y， 可得 2y2x0，即 yx. 综上，可得 xy，n2x，B 错误； 当 xy 时，由得，当 ix 时，|ai1|ai|1， ai1， 由得，当 ix 时，|ai2|ai|2，ai2， ax2，ax11，d3，故 A 正确，C 错误； 又 n3， n2x， 故 nmin4， (|a1|a2|a3|a4|)min|5|2|1|4|1211， 故 D 错误 二、填空题(本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分) 11(2021上海杨浦区二模)数列an满足 a11，anan
10、13n2 对任意 nN* 恒成立，则 a2 020_ 答案3 031 解析由 anan13n2， an1an23n5，两式相减得 a n2an3. 而 a2514， a2 020a21 009d41 00933 031. 12(2019北京卷)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a23，S510，则 a5_，Sn的最小值为_ 答案010 解析由题意得 a2a1d3，S55a110d10， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解得 a14，d1， 所以
11、 a5a14d0， 故 ana1(n1)dn5. 令 an0，则 n5，即数列an中前 4 项为负，a50，第 6 项及以后项为正 Sn的最小值为 S4S510. 13我们可以利用数列an的递推公式 an错误错误!(nN*)求出这个数列各项的值， 使得这个数列中的每一项都是奇数则 a24a25_；研究发现，该数列 中的奇数都会重复出现，那么第 8 个 5 是该数列的第_项 答案28640 解析因为 a24a12a6a33，a2525，所以 a24a2528. 又a55，a105，a205，a405，即项的值为 5 时， 下角码是首项为 5，公比为 2 的等比数列， 第 8 个 5 是该数列的第
12、 528 1640 项 14若等差数列an的首项为 a1，公差为 d，关于 x 的不等式 d 2x 2 a1d 2 xc0 的解集为0，10，则 c_，使数列an的前 n 项和 Sn最大的正整数 n 的 值是_ 答案05 解析由函数与方程思想可知， 不等式对应的方程 d 2x 2 a1d 2 xc0 的解为 0， 10，d0，所以 c0， a1d 2 d 2 10，解得 a19 2d，所以 S nna1n（n1） 2 d d 2(n 210n)d 2(n5) 225因为 dan，则 a1的取值范围是_ 答案 ，1 2 解析因为对任意nN*， 有an1an， 所以a2a1， 即 1 32a1a
13、1， 解得a11 2或1a 13 2. 当 1a13 2， a k1 1 32ak0， 显然数列an不是递增数列，所以不符合题意； 当 a11 2时，设 a k1 2，则 a k1 1 32ak 1 2，所以对任意 nN *，有 an0，即 an1an成立，符合题意 综上所述，a1的取值范围为 ，1 2 . 三、解答题(本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 18(本小题满分 14 分
14、)已知数列an中，a11 2，a n11a nan1 2 (nN*) (1)求证： 1 an1 是等差数列； (2)求数列an的通项公式 (1)证明因为对于 nN*， an11anan 1 2 ， 所以 an1 1 2an， 所以 1 an11 1 an1 1 1 2an1 1 an1 2an1 an1 1. 所以数列 1 an1 是首项为 1 a112，公差为1 的等差数列 (2)解由(1)知 1 an12(n1)(1)(n1)， 所以 an1 1 n1， 即 an n n1. 19(本小题满分 15 分)(2020全国卷)设数列an满足 a13，an13an4n. (1)计算 a2，a3，
15、猜想an的通项公式并加以证明； (2)求数列2nan的前 n 项和 Sn. (1)证明由 a13，an13an4n， a25，a37.猜想 an2n1.证明如下： 由已知可得 an3an14n4(n2)， 则 an(2n1)3an1(2n1)， 又 a13，知 a130，所以 an2n1. (2)解由(1)得 2nan(2n1)2n， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以 Sn32522723(2n1)2n. 从而 2Sn322523724(2n1)2
16、n 1. 得 Sn3222222322n(2n1)2n 1， 所以 Sn(2n1)2n 12. 20(本小题满分 15 分)(2020温州一模)已知数列an的首项 a13，a37，且对 任意的 nN*，都有 an2an1an20，数列bn满足 bna2n1，nN*. (1)求数列an，bn的通项公式； (2)求使 b1b2bn2 020 成立的最小正整数 n 的值 解(1)令 n1，得 a12a2a30，解得 a25. 由 an2an1an20 知， an2an1an1ana2a12. 故数列an是首项 a13，公差 d2 的等差数列 于是 an2n1. 所以 bna2n12n1. (2)由(
17、1)知 bn2n1，于是数列bn的前 n 项和 Tnb1b2bn(21222n)n 2（12 n） 12 n2n 1n2. 令 f(x)2x 1x2，则 f(x)2x1ln 210， 所以 f(x)是关于 x 的单调递增函数 又 f(9)210921 031，f(10)2111022 056， 故使 b1b2bn2 020 成立的最小正整数 n 的值是 10. 21(本小题满分 15 分)(2020浙江卷)已知数列an， bn，cn满足 a1b1c11， cnan1an，cn1 bn bn2c n，nN*. (1)若bn为等比数列， 公比 q0， 且 b1b26b3， 求 q 的值及数列an的
18、通项公式； (2)若bn为等差数列，公差 d0，证明：c1c2c3cn11 d，nN *. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (1)解由 b1b26b3，得 1q6q2， 解得 q1 2 q1 3舍去.所以 bn 1 2n 1. 由 cn14cn，得 cn4n 1. 由 an1an4n 1，得 ana1144n24n 12 3 . (2)证明由 cn1 bn bn2c n，得 cnb1b2c1 bnbn1 1d d 1 bn 1 bn1， 所以 c1c2
19、c3cn1d d 1 1 bn1. 由 b11，d0，得 bn11，因此 c1c2c3cn11 d，nN *. 22(本小题满分 15 分)(2021浙江名校联盟三联)设数列an的前 n 项和为 Sn，a1 1，an1 2an，n 为奇数， an1，n 为偶数. (1)求 a2，a3的值及数列an的通项公式； (2)是否存在正整数 n，使得Sn anZ.若存在，求所有满足条件的 n；若不存在，请说 明理由 解(1)a22，a33. 当 n 为奇数时， anan112an21，即 an12(an21)， 即数列an1是以 2 为首项， 2为公比的等比数列， 则 an2n1 2 1； 当 n 为偶
20、数时，an2an122 n 222 n2 2 2. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 综上所述 an 2 n1 2 1，n 为奇数， 2 n2 2 2，n 为偶数. (2)当 n2k1(kN*)时，an2k1， 则其前 k 项奇数和 Ak2112212k12k 1k2； 当 n2k(kN*)时，an2k 12， 则其前 k 项偶数和 Bk2222322k 122k22k4. S2k a2k AkBk a2k 32 k13k6 2k 12 3 3k 2k 12， 则当 k1 时， 3k 2k 123 2舍去； 当 k2 时， 3k 2k 121，故S 4 a42，n4，符合条件； 当 k2 时，2k 123k0， 0 3k 2k 123 时，2k13k0，0 3k 2k11， 则不可能为整数 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 综上所述，存在 n1，3，4
