1、5.2.2导数的四则运算法则导数的四则运算法则 课标要求素养要求 能利用给出的基本初等函数的导数公式 和导数的四则运算法则，求简单函数的 导数. 在利用导数的运算法则求函数的导数的 过程中，发展学生的数学运算素养. 新知探究 已知 f(x)x，g(x)1 x. Q(x)f(x)g(x)，H(x)f(x)g(x) 问题 1f(x)，g(x)的导数分别是什么？ 提示f(x)1，g(x) 1 x2. 问题 2试求 yQ(x)，yH(x)的导数.并观察 Q(x)，H(x)与 f(x)，g(x)的关系. 提示y(xx) 1 xx x1 x x x x（xx）， y x1 1 x（xx）. Q(x) 0
2、lim x y x 0 lim x 1 1 x（xx） 11 x2. 同理，H(x)1 1 x2. 显然 Q(x)的导数等于 f(x)，g(x)的导数的和.H(x)的导数等于 f(x)，g(x)的导数的差. 导数运算法则注意两函数商的导数中分式的分子上是“” 法则语言叙述 f(x)g(x)f(x)g(x) 两个函数和(或差)的导数，等于这两个 函数的导数的和(或差) f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)两个函数积的导数，等于第一个函数的 导数乘以第二个函数，加上第一个函数 乘以第二个函数的导数 f（x） g（x） f（x）g（x）f（x）g（x） g（x）2 (g(x)0) 两个函
3、数商的导数，等于分子的导数乘 以分母积，减去分子乘以分母的导数， 再除以分母的平方 拓展深化 微判断 1.函数 f(x)xex的导数是 f(x)ex(x1).() 2.当 g(x)0 时， 1 g（x） g（x） g2（x） .() 3.函数 f(x)xln x 的导数是 f(x)x.() 提示f(x)(x)ln xx(ln x)ln x1. 微训练 1.(多选题)下列求导运算正确的是() A. x1 x 1 1 x2 B.(sin xcos x)cos xsin x C. ln x x1ln x x2 D.(x2cos x)2xsin x 解析A 中 x1 x 1 1 x2，A 不正确； D
4、 中，(x2cos x)2xcos xx2sin x，D 不正确；BC 正确. 答案BC 2.设 f(x)x3ax22xb，若 f(1)4，则 a 的值是() A.9 4 B.3 2 C.1D.5 2 解析f(x)3x22ax2，故 f(1)32a24，解得 a3 2. 答案B 3.设 f(x) x ex，则 f(0)_. 解析f(x)e xxex （ex）2 1x ex ，故 f(0)1. 答案1 微思考 1.设 f(x)tan x，如何求 f(x)? 提示f(x)tan xsin x cos x，所以 f(x) cos2xsin2x cos2x 1 cos2x. 2.设 f(x)x 42x
5、33x21 x2 ，如何求 f(x)? 提示f(x)x 42x33x21 x2 x22x3x 2， 故 f(x)2x22x 3. 题型一利用运算法则求函数的导数 【例 1】求下列函数的导数. (1)y(2x21)(3x1)； (2)yx 2x1 x2x1； (3)y3xex2xe； (4)y ln x x21. 解(1)法一可以先展开后再求导： y(2x21)(3x1)6x32x23x1， y(6x32x23x1)18x24x3. 法二可以利用乘法的求导法则进行求导： y(2x21)(3x1)(2x21)(3x1)4x(3x1)3(2x21)12x24x6x23 18x24x3. (2)把函数
6、的解析式整理变形可得： yx 2x1 x2x1 x2x12x x2x1 1 2x x2x1， y2（x 2x1）2x（2x1） （x2x1）2 2x22 （x2x1）2. (3)根据求导法则进行求导可得： y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x) 3xln 3ex3xex2xln 2(3e)xln 3e2xln 2. (4)利用除法的求导法则进行求导可得： y（ln x）（x 21）ln x（x21） （x21）2 1 x（x 21）ln x2x （x21）2 x 2（12ln x）1 x（x21）2 . 规律方法利用导数运算法则的策略 (1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每
7、一部分式子是由哪种基本初等函数组合 成的，确定求导法则，基本公式. (2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开 变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等. (3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求 导的，尽量少用积、商的求导法则求导. 【训练 1】求下列函数的导数. (1)y(x21)(x1)； (2)y3xlg x； (3)yx2tan x； (4)y ex x1. 解(1)y(x21)(x1)x3x2x1， y3x22x1. (2)y(3x)(lg x)3xln 3 1 xln 10. (3)因为 yx2si
8、n x cos x， 所以 y(x2) sin x cos x 2xcos 2xsin x（sin x） cos2x 2x 1 cos2x. (4)y（e x）（x1）（x1）ex （x1）2 e x（x1）ex （x1）2 xex （x1）2. 题型二求导法则的应用 角度 1求导法则的逆向应用 【例 21】 已知 f(x)是一次函数， x2f(x)(2x1)f(x)1 对一切 xR 恒成立， 求 f(x)的解析式. 解由 f(x)为一次函数可知，f(x)为二次函数，设 f(x)ax2bxc(a0)，则 f(x) 2axb， 把 f(x)， f(x)代入关于 x 的方程得 x2(2axb)(2
9、x1)(ax2bxc)1， 即(ab)x2(b2c)xc10，又该方程对一切 xR 恒成立， 所以 ab0， b2c0， c10， 解得 a2， b2， c1， 所以 f(x)2x22x1. 规律方法待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题，然后利用已 知条件解出所设未知数，进而将问题解决.待定系数法常用来求函数解析式，特别 是已知具有某些特征的函数. 【训练 2】设 yf(x)是二次函数，方程 f(x)0 有两个相等的实根，且 f(x)2x 1.求 yf(x)的函数表达式. 解f(x)2x1， f(x)x2xc(c 为常数)， 又方程 f(x)0 有两个相等的实根，即 x2xc0 有
10、两个相等的实根，12 4c0，即 c1 4， f(x)x2x1 4. 角度 2求导法则在导数几何意义中的应用 【例 22】已知函数 f(x)ax3x2xb(a，bR，a0)，g(x)3 e 4 ex，f(x) 的图象在 x1 2处的切线方程为 y 3 4x 9 8. (1)求 a，b 的值. (2)直线 y3 4x 9 8是否与函数 g(x)的图象相切？若相切，求出切点的坐标；若不相 切，请说明理由. 解(1)f(x)3ax22x1. f(x)的图象在 x1 2处的切线方程为 y 3 4x 9 8， f 1 2 3 4，即 3a 1 2 2 113 4，解得 a1，又 f(x)的图象过点 1
11、2， 3 4 ， 1 2 3 1 2 2 1 2 b3 4，解得 b 5 8. 综上，a1，b5 8. (2)设直线 y3 4x 9 8与函数 g(x)的图象相切于点 A(x 0，y0). g(x)3 e 4 ex，g(x0)3 e 4 ex03 4，解得 x 01 2， 将 x01 2代入 g(x) 3 e 4 ex，得点 A 的坐标是 1 2， 3 4 ，切线方程为 y3 4 3 4 x1 2 ，化简得 y3 4x 9 8，故直线 y 3 4x 9 8与函数 g(x)的图象相切，切点坐标是 1 2， 3 4 . 规律方法(1)此类问题主要涉及切点，切点处的导数、切线方程三个主要元素， 解题
12、方法为把其它题设条件转化为这三个要素间的关系，构建方程(组)求解.(2)准 确利用求导法则求出函数的导数是解此类问题的第一步，也是解题的关键，务必 做到准确. 【训练 3】(1)已知函数 f(x) ax x2b，且 f(x)的图象在 x1 处与直线 y2 相切. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)若 P(x0，y0)为 f(x)图象上的任意一点，直线 l 与 f(x)的图象切于 P 点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 解(1)由题意得 f(x)（ax）（x 2b）ax（x2b） （x2b）2 a（x 2b）2ax2 （x2b）2 ax2ab （x2b）2， 因为 f(x)的图象在
13、x1 处与直线 y2 相切， 所以 f（1） aab （1b）20， f（1） a 1b2， 解得 a4， b1， 则 f(x) 4x x21； (2)由(1)可得，f(x) 4x24 （x21）2， 所以直线 l 的斜率 kf(x0) 4x204 （x201）2 4（x 2 01）8 （x201）2 4 1 x201 8 （x201）2 设 t 1 x201，则 t(0，1， 所以 k4(2t2t)8 t1 4 2 1 2， 则在对称轴 t1 4处取到最小值 1 2，在 t1 处取到最大值 4， 所以直线 l 的斜率 k 的取值范围是 1 2，4. 一、素养落地 1.通过利用导数的运算法则求
14、导数提升数学运算素养. 2.导数的求法 对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求 导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.首先，在化简时，要 注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数 时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数. 3.和与差的运算法则可以推广 f(x1)f(x2)f(xn)f(x1)f(x2)f(xn). 4.积、商的求导法则 (1)若 c 为常数，则cf(x)cf(x)； (2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)， f（x） g（x） f（x）g（x）f（x）g（x） g
15、（x）2 (g(x)0)； (3)当 f(x)1 时，有 1 g（x） g（x） g（x）2(g(x)0). 二、素养训练 1.函数 y( x1)( x1)的导数等于() A.1B. 1 2 x C. 1 2x D. 1 4x 解析因为 y( x1)( x1)x1， 所以 yx11. 答案A 2.已知函数 f(x)xexax，若 f(0)2，则实数 a 的值为() A.1B.0 C.1D.2 解析f(x)ex(x1)a，故 f(0)1a2，所以 a1. 答案C 3.函数 ycos x 1x的导数是( ) A.sin xxsin x （1x）2 B.xsin xsin xcos x （1x）2
16、C.cos xsin xxsin x （1x）2 D.cos xsin xxsin x 1x 解析y cos x 1x （sin x） （1x）cos x（1） （1x）2 cos xsin xxsin x （1x）2 . 答案C 4.曲线 f(x)xln x 在点(1，f(1)处的切线的方程为_. 解析f(x)1ln x，则在点(1，f(1)处切线的斜率 kf(1)1，又 f(1)0，故所 求的切线方程为 y01(x1)，即 xy10. 答案xy10 5.已知 f(x)1 3x 33xf(0)，则 f(1)_. 解析由于 f(0)是常数， 所以 f(x)x23f(0)， 令 x0，则 f(0
17、)0， f(1)123f(0)1. 答案1 基础达标 一、选择题 1.曲线 f(x)1 3x 3x25 在 x1 处的切线的倾斜角为( ) A. 6 B.3 4 C. 4 D. 3 解析因为 f(x)x22x，kf(1)1，所以在 x1 处的切线的倾斜角为3 4 . 答案B 2.函数 y x2 x3的导数是( ) A. x26x （x3）2 B.x 26x x3 C. 2x （x3）2 D. 3x26x （x3）2 解析y x2 x3 （x 2）（x3）x2（x3） （x3）2 2x（x3）x 2 （x3）2 x26x （x3）2. 答案A 3.下列运算中正确的是() A.(ax2bxc)a(
18、x2)b(x)(c) B.(sin x2x2)(sin x)2(x2) C. sin x x2（sin x）（x 2） x2 D.(cos xsin x)(sin x)cos x(cos x)cos x 解析A 项中，(ax2bxc)a(x2)b(x)(c)正确； B 项中，(sin x2x2)(sin x)2(x2)错误； C 项中， sin x x2（sin x）x 2sin x（x2） （x2）2 错误； D 项中，(cos xsin x)(cos x)sin xcos x(sin x)错误. 答案A 4.若函数 f(x)ax4bx2c 满足 f(1)2，则 f(1)等于() A.1B.
19、2 C.2D.0 解析f(x)4ax32bx，f(x)是奇函数， 故 f(1)f(1)2. 答案B 5.已知 f(x)1 4x 2sin 2x，f(x)为 f(x)的导函数，则 f(x)的大致图象是() 解析f(x)1 4x 2sin 2x1 4x 2cos x，f(x)1 2xsin x.易知 f(x) 1 2xsin x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除 B，D.由 f 6 12 1 20，排除 C，故选 A. 答案A 二、填空题 6.函数 f(x)exsin x 的图象在点(0，f(0)处切线的倾斜角为_. 解析由题意得，f(x)exsin xexcos xex(sin xcos x
20、)，函数 f(x)的图象在点 (0，f(0)处切线的斜率 kf(0)1，则所求的倾斜角为 4. 答案 4 7.已知函数 f(x) 1 3x 34x，x0， 1 xln x，0 x1， 若 f(a)12，则实数 a 的值为_. 解析f(x) x24，x0， 1 x2 1 x，0 x1， 若 f(a)12， 则 0a1， 1 a2 1 a12 或 a0)存在公共切线，则实数 a 的取值范围为 () A.(0，1)B. 1，e 2 4 C. e2 4 ，2 D. e2 4 ， 解析yx2在点(m，m2)处的切线斜率为 2m，ye x a (a0)在点 n，1 ae n 处的切线斜 率为 1 ae n
21、，如果两个曲线存在公共切线，那么 2m1 ae n.又由斜率公式可得 2m m21 ae n mn ，由此得到 m2n2，则 4n41 ae n有解，所以函数 y4x4 与 y1 ae x 的图象有交点即可.当直线 y4x4 与函数 y1 ae x的图象相切时， 设切点为(s， t)， 则 1 ae s4，且 t4s41 ae s，即有切点(2，4)，ae2 4 ，故实数 a 的取值范围是 e2 4 ， .故选 D. 答案D 12.设函数 f(x)axb x，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 7x4y120. (1)求 f(x)的解析式； (2)证明：曲线 yf(x)上任一点处
22、的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三角形 的面积为定值，并求此定值. (1)解由 7x4y120 得 y7 4x3. 当 x2 时，y1 2，f(2) 1 2， 又 f(x)a b x2， f(2)7 4， 由得 2ab 2 1 2， ab 4 7 4. 解得 a1， b3. 故 f(x)x3 x. (2)证明设 P(x0，y0)为曲线上任一点，由 y1 3 x2知 曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程为 yy0 13 x20(xx0)， 即 y x03 x0 13 x20(xx0). 令 x0 得 y 6 x0，从而得切线与直线 x0 的交点坐标为 0，6 x0. 令 yx 得 y
23、x2x0，从而得切线与直线 yx 的交点坐标为(2x0，2x0). 所以点 P(x0， y0)处的切线与直线 x0， yx 所围成的三角形面积为1 2| 6 x0|2x0| 6. 故曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形的面积为定 值，此定值为 6. 创新猜想 13.(多选题)过点 P(2，6)作曲线 f(x)x33x 的切线，则切线方程为() A.3xy0B.24xy540 C.3xy0D.24xy540 解析设切点为(m，m33m)， f(x)x33x 的导数为 f(x)3x23， 则切线斜率 k3m23， 由点斜式方程可得切线方程为 ym33m(3m23)(x
24、m)， 将点 P(2，6)代入可得6m33m(3m23)(2m)， 解得 m0 或 m3. 当 m0 时，切线方程为 3xy0； 当 m3 时，切线方程为 24xy540. 答案AB 14.(多空题)如图所示的图象中，有一个是函数 f(x)1 3x 3ax2(a21)x1(aR， a0)的导函数 f(x)的图象，则这个图象的序号是_，f(1)_. 解析f(x)x22axa21， f(x)的图象开口向上，排除图象； 又 a0，f(x)不是偶函数，其图象不关于 y 轴对称， 故 f(x)的图象的序号为. 由图象特征可知，f(0)0， a210，且对称轴 xa0， a1，f(x)1 3x 3x21， 则 f(1)1 3. 答案1 3
