1、第七章第七章随机变量及其分布随机变量及其分布 7.1条件概率与全概率公式条件概率与全概率公式 7.1.17.1.1条件概率条件概率 基础过关练基础过关练 题组一题组一利用定义求条件概率利用定义求条件概率 1.(2020 山东日照第一中学高三上期中)根据历年气象统计资料,某地四月份吹东 风的概率为 7 30,既吹东风又下雨的概率为 1 10.则该地四月份在吹东风的条件下,下雨 的概率为() A. 3 11 B.3 7 C. 7 11 D. 1 10 2.(2020 广东顺德高三第三次教学质量检测)已知一种元件的使用寿命超过 1 年的 概率为 0.8,超过 2 年的概率为 0.6,若一个这种元件使
2、用到 1 年时还未失效,则这 个元件使用寿命超过 2 年的概率为() A.0.75B.0.6C.0.52D.0.48 3.(2020 辽宁沈阳实验中学高三上月考)每场足球比赛的时间为 90 分钟,若比赛过 程中体力消耗过大,则运动员腿部会发生抽筋现象,无法继续投入到比赛之中.某 足球运动员在比赛前 70 分钟抽筋的概率为 20%,比赛结束前 20 分钟抽筋的概率为 50%.若某场比赛中该运动员已经顺利完成了前 70 分钟的比赛,那么他能顺利完成 90 分钟比赛的概率为() A.4 5 B. 3 10 C.5 8 D.2 5 4.(2020 东北三省哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三
3、校高三第 一次联合模拟考试)近年来,新能源汽车技术不断推陈出新,新产品不断涌现,在汽 车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术,它的不断 成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上,车 载动力蓄电池充放电循环次数达到 2 000 次的概率为 85%,充放电循环次数达到 2 500 次的概率为 35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了 2 000 次充电,那么 该用户的车能够充电 2 500 次的概率为. 题组二题组二由样本点数求条件概率由样本点数求条件概率 5.已知 6 个高尔夫球中有 2 个不合格,每次任取 1 个,不放回地取两次.在第一次
4、取到合格高尔夫球的条件下,第二次取到不合格高尔夫球的概率为() A.3 5 B.2 5 C.2 3 D. 3 10 6.(2020 福建南平高级中学高二下期中)同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子,观察 向上的点数,记“红骰子向上的点数小于 4”为事件 A,“两颗骰子的点数之和等 于 7”为事件 B,则 P(B|A)=() A.1 2 B.1 3 C.1 4 D.1 6 7.(2020 山东烟台高二下期中)甲、乙、丙 3 位大学毕业生去 4 个工厂实习,每位 毕业生只能选择其中的一个工厂实习,设“3 位大学毕业生去的工厂各不相同”为 事件 A,“甲独自去一个工厂实习”为事件 B,则 P(A|B)=(
5、) A.2 3 B.1 3 C.3 4 D.5 8 8.(2020 山东济宁高三二模)已知 n 是一个三位数,若 n 的十位数字大于个位数字, 百位数字大于十位数字,则称 n 为递增数.已知 a,b,c0,1,2,3,4,设事件 A 为 “由 a,b,c 组成一个三位数”,事件 B 为“由 a,b,c 组成的三位数为递增数”,则 P(B|A)=() A.3 5 B. 1 10 C. 2 25 D.12 25 9.某班组织甲、乙、丙等 5 名同学参加演讲比赛,现采用抽签法决定演讲顺序,在 学生甲不是第一个出场,学生乙不是最后一个出场的前提下,学生丙第一个出场的 概率为() A. 3 13 B.
6、4 13 C.1 4 D.1 5 10.甲、乙等 4 人参加 4100 米接力赛,在甲不跑第一棒的条件下,乙不跑第二棒 的概率是. 题组三题组三条件概率的综合应用条件概率的综合应用 11.(2020 东北三省四市教研联合体高考模拟)从集合-3,-2,-1,1,2,3,4中随机 选取一个数记为 m,从集合-2,-1,2,3,4中随机选取一个数记为 n,则在方程 ?2 ?+ ?2 ? =1 表示双曲线的条件下,方程? 2 ?+ ?2 ? =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线的概率为 () A. 9 17 B. 8 17 C.17 35 D. 9 35 12.(2020 河南南阳高二下期中)某校从学生
7、文艺部 6 名成员(4 男 2 女)中挑选 2 人参加学校举办的文艺汇演活动. (1)求男生甲被选中的概率; (2)求在已知男生甲被选中的条件下,女生乙被选中的概率; (3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下,求女生乙被选中的概率. 13.某险种的基本保费为 a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保 人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下: 上年度 出险次数 012345 保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下: 一年内 出险次 数 012345 概率0.3 0.15 0.2 0.2 0.1 0.05 (1)求该续
8、保人本年度的保费高于基本保费的概率; (2)已知该续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出 60%的概 率. 14.(2020 湖北荆门高三下模拟)某学校为进一步规范校园管理,强化饮食安全,提 出了“远离外卖,健康饮食”的口号.当然,也需要学校食堂能提供安全丰富的菜 品来满足同学们的需求.在某学期期末,校学生会为了调研学生对本校食堂的用餐 满意度,从用餐的学生中随机抽取了 200 人,每人分别对其评分,满分为 100 分.随 后整理评分数据,将得分分成 6 组:第 1 组40,50),第 2 组50,60),第 3 组 60,70),第 4 组70,80),第 5 组80,90)
9、,第 6 组90,100,得到频率分布直方图 如图. (1)求得分的中位数(精确到小数点后一位); (2)为进一步改善经营,从得分在 80 分以下的四组中,采用分层随机抽样的方法抽 取 8 人进行座谈,再从这 8 人中随机抽取 3 人参与“端午节包粽子”实践活动,求 在第 3 组仅抽到 1 人的情况下,第 4 组抽到 2 人的概率. 答案全解全析答案全解全析 第七章随机变量及其分布 7.1条件概率与全概率公式 7.1.1条件概率 基础过关练 1.B设事件 A 表示该地四月份吹东风,事件 B 表示该地四月份下雨, 则 P(A)= 7 30,P(AB)= 1 10, 根据条件概率计算公式可得,该地
10、四月份在吹东风的条件下,下雨的概率 P(B|A)=?(?体) ?(?) = 1 10 7 30 =3 7.故选 B. 2.A记事件 A 表示该元件使用寿命超过 1 年,事件 B 表示该元件使用寿命超过 2 年, 则 P(A)=0.8,P(AB)=0.6, 因此,若一个这种元件使用到 1 年时还未失效,则这个元件使用寿命超过 2 年的概 率为 P(B|A)=?(?体) ?(?) =0.6 0.8=0.75,故选 A. 3.C设事件 A 表示该足球运动员在比赛前 70 分钟不抽筋,事件 B 表示该足球运 动员在比赛结束前 20 分钟不抽筋, 则 P(A)=0.8,P(AB)=0.5, 所以他能顺利
11、完成 90 分钟比赛的概率为 P(B|A)=?(?体) ?(?) =0.5 0.8= 5 8. 故选 C. 4.答案 7 17 解析记“该用户的自用新能源汽车已经经过了 2 000 次充电”为事件 A,“该用 户的车能够充电 2 500 次”为事件 B, 则 P(A)=0.85,P(AB)=0.35, 由条件概率计算公式可得 P(B|A)=?(?体) ?(?) =0.35 0.85= 7 17. 5.B记事件 A 表示第一次取到的是合格高尔夫球,事件 B 表示第二次取到的是不 合格高尔夫球,则“第一次取到合格高尔夫球的条件下,第二次取到不合格高尔夫 球”为事件 AB. 由题意可得,事件 AB
12、发生所包含的样本点数 n(AB)=42=8, 事件 A 发生所包含的样本点数 n(A)=45=20, 所以 P(B|A)=?(?体) ?(?) = 8 20= 2 5. 故选 B. 6.D由题意得,n(A)=36=18,n(AB)=3, 则 P(B|A)=?(?体) ?(?) = 3 18= 1 6. 故选 D. 7.A由题意得,n(B)=C4 132=36, n(AB)=A4 3=24, 则 P(A|B)=?(?体) ?(体) =24 36= 2 3. 故选 A. 8.B因为 a,b,c0,1,2,3,4, 所以由 a,b,c 组成的三位数有 455=100 个,即 n(A)=100. 其中
13、满足递增数的有以下三类: 当百位为 2 时,有 1 个; 当百位为 3 时,有C3 2=3 个; 当百位为 4 时,有C4 2=6 个, 所以 n(AB)=1+3+6=10. 因此 P(B|A)=?(?体) ?(?) = 10 100= 1 10. 故选 B. 9.A设事件 A 为“学生甲不是第一个出场,学生乙不是最后一个出场”,事件 B 为“学生丙第一个出场”, 则 n(A)=A4 4+C 3 1C 3 1A 3 3=78, n(AB)=C3 1A 3 3=18, 则 P(B|A)=?(?体) ?(?) =18 78= 3 13. 10.答案 7 9 解析由题意得,甲不跑第一棒的总的样本点数
14、为C3 1A 3 3=18, 甲不跑第一棒,乙跑第二棒的样本点数为C2 1A 2 2=4, 所以甲不跑第一棒,乙不跑第二棒的样本点数为 18-4=14, 所以在甲不跑第一棒的条件下,乙不跑第二棒的概率 P=14 18= 7 9. 11.A设事件 A 为“方程? 2 ?+ ?2 ? =1 表示双曲线”,事件 B 为“方程? 2 ?+ ?2 ? =1 表示焦点 在 y 轴上的双曲线”, 由题意得,P(A)=33+42 75 =17 35, P(AB)=33 75= 9 35, 则 P(B|A)=?(?体) ?(?) = 9 17.故选 A. 12.解析(1)从 6 名成员中挑选 2 名成员,有C6
15、 2=15 种情况, 记“男生甲被选中”为事件 M,若男生甲被选中,则只需再从另外 5 人中选 1 人,有 C5 1=5 种选法, 故 P(M)= 5 15= 1 3. (2)记“男生甲被选中”为事件 M,“女生乙被选中”为事件 N, 则 P(MN)= 1 15,又由(1)知 P(M)= 1 3,所以 P(N|M)= ?(?t) ?(?) =1 5. (3)记“被选中的两人为一男一女”为事件 S, 则 P(S)= C4 1C 2 1 C6 2 = 8 15, “女生乙被选中”为事件 N, 则 P(SN)= C4 1 C6 2= 4 15, 故 P(N|S)=?(?t) ?(?) =1 2. 1
16、3.解析(1)设 A 表示事件“该续保人本年度的保费高于基本保费”, 则事件 A 发生即一年内出险次数大于 1, 故 P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55. (2)设 B 表示事件“该续保人本年度的保费比基本保费高出 60%”, 则事件 B 发生即一年内出险次数大于 3, 故 P(B)=0.1+0.05=0.15. 易知 P(AB)=P(B), 故 P(B|A)=?(?体) ?(?) =?(体) ?(?)= 0.15 0.55= 3 11. 14.解析(1)由 0.05+0.05+0.10+0.15+0.45+10a=1,得 a=0.020. 设得分的中位数为 x,易知 80
17、x90, 则 0.05+0.05+0.10+0.20+(x-80)0.045=0.5,得 x82.2. 所以得分的中位数约为 82.2. (2)第 1,2,3,4 组的人数分别为 10,10,20,40, 从第 1,2,3,4 组采用分层随机抽样的方法抽取 8 人, 则从第 1,2,3,4 组应分别抽取的人数为 1,1,2,4. 从 8 人中抽取 3 人,记第 3 组仅抽到 1 人为事件 A,第 4 组抽到 2 人为事件 B, 则 P(B|A)= C2 1C 4 2 C8 3 C2 1C 6 2 C8 3 =2 5. 即在第 3 组仅抽到 1 人的情况下,第 4 组抽到 2 人的概率为2 5.
