1、应用建模 1函数模型及其应用 对应学生用书第 50 页 1.几类函数模型 函数模型函数解析式 一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数,a0) 反比例函数模 型 f(x)=k x+b(k,b 为常数且k0) 二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0) 指数函数模型f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b0,a0 且a1) 对数函数模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b0,a0 且a1) 幂函数模型f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a0,n0) “对勾”函数 模型 f(x)=x+a x(a0) 对勾函数f(x)=x+a x(a0)在(-,- a和
2、a,+)上单调递增,在-a,0)和(0, a上单调递 减. 当x0时,f(x)在x=a时取最小值,最小值为2 a; 当x1) y=logax(a1 ) y=xn(n0) 在(0,+)上的 增减性 单调递 增 单调递 增 单调递增 增长速度 越来越 快 越来越 慢 相对平稳 图象的变化 随x的增 大,逐渐表 现为与y 轴平行 随x的增 大,逐渐表 现为与x 轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较存在一个x0,当xx0时,有 logaxxn0)可以描述增长幅度不 同的变化,当n值较小(n1)时,增长较慢;当n值 较大(n1)时,增长较快. 【概念辨析】 1.判断下面结论是否正确.(对的打“”,错的
3、打“”) (1)某种商品进价为每件 100 元,按进价增加 10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利. () (2)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.() (3)不存在x0,使?0?0 ?0,b1)增长速度越来越快的形象比喻.() 答案(1)(2)(3)(4) 【对接教材】 2.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2019 年全年投入研发资金 130 万元,在此基础 上,每年投入的研发资金比上一年增长 12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 ().(参考数据:lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30)
4、A.2020 年B.2021 年 C.2022 年D.2023 年 答案D 解析设经过n年研发资金开始超过 200 万元, 即 130(1+12%)n200,则(1+12%)n200 130. 两边取对数,得nlg 1.12lg 2-lg 1.3, nlg2-lg1.3 lg1.12 0.30-0.11 0.05 =19 5 ,n4, 从 2023 年开始,该公司投入的研发资金开始超过 200 万元. 【易错自纠】 3.某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的奖励方案,当销售额x为 8 万元时,奖励 1 万元.当销售额 x为64 万元时,奖励 4 万元.若公司拟定的奖励模型为y=alog4x
5、+b.某业务员要得到 8 万元奖励,则他的销售 额应为万元. 答案1024 解析依题意 ?log48+ b = 1, ?log464+ b = 4,解得 ? = 2, ? = -2, y=2log4x-2,令 2log4x-2=8,得x=45=1024. 【真题演练】 4.(2020 年全国卷)Logistic 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立 了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的 Logistic 模型:I(t)= ? 1+e-0.23(?-53),其中 K为最大确诊病 例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为
6、().(ln 193) A.60 B.63 C.66 D.69 答案C 解析I(t)= ? 1+e-0.23(?-53),I(t *)= ? 1+e-0.23(?*-53)=0.95K,则e 0.23(?*-53)=19, 0.23(t*-53)=ln 193,解得t* 3 0.23+5366.故选 C. 对应学生用书第 50 页 用函数图象刻画变化过程【题组过关】 1.某工厂6年来生产某种产品的情况是前3年年产量的增长速度越来越快,后3年年产量保持不变,则该厂6 年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数图象正确的是(). 答案A 解析前 3 年年产量的增长速度越来越快,说明呈高速增长,只有
7、 A,C 图象符合要求,而后 3 年年产量保 持不变,故选 A. 2.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下 的燃油效率情况.下列叙述中正确的是(). A.消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油量最多 C.甲车以 80 千米/时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油 D.某城市机动车最高限速 80 千米/时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 答案D 解析根据图象所给数据,逐个验证选项. 根据图象知,当行驶速度大于40千米/时时,消耗1升汽油,乙车最多行驶里程大于5千米,故选
8、项A错误; 以相同速度行驶时,甲车燃油效率最高,因此以相同速度行驶相同路程时,甲车消耗汽油最少,故选项 B 错误; 甲车以 80 千米/时的速度行驶时,燃油效率为 10 千米/升,行驶 1 小时,里程为 80 千米,消耗 8 升汽油,故选项 C错误;最高限速80千米/时,丙车的燃油效率比乙车高,因此相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,故选 项 D 正确. 点拨判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法:先建立函数模型,再结合模型选图象. (2)验证法:根据实际问题中变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符 合实际情况的答案. 已知函数模
9、型的实际应用问题【典例迁移】 (2021天津一模)某工厂生产某种产品固定成本为2000万元,并且每生产一单位产品,成本增加10 万元.又知总收入K是产品单位数Q的函数,K(Q)=40Q- 1 20Q 2,则总利润 L(Q)的最大值是万元. 答案2500 解析由已知得L(Q)=K(Q)-10Q-2000=40?- 1 20? 2 -10Q-2000=- 1 20(Q-300) 2+2500, 所以当Q=300 时,L(Q)max=2500(万元). 点拨已知函数模型,解决实际问题的要点 (1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知条件,利用待定系数法,确定模型中的待定系数. (
10、3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验. 【追踪训练 1】(1)某公司在甲、乙两地销售同一种品牌汽车,利润(单位:万元)分别为 L1=5.06x-0.15x2,L2=2x,其中x为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售 15 辆汽车,则能获得的最大利 润为(). A.45.606 万元B.45.6 万元 C.45.56 万元D.45.51 万元 (2)(2021 四川德阳一诊)将甲桶中的aL 水缓慢注入空桶乙中,tmin 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减 曲线y=aent.假设过 5 min 后甲桶和乙桶的水量相等,若再过mmin 甲桶中的水只有? 4 L,则m的
11、值 为. 答案(1)B(2)5 解析(1)依题意可设在甲地销售了x辆汽车,则在乙地销售了(15-x)辆汽车,总利润 S=L1+L2=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30=-0.15(x-10.2)2+45.606(0 x15且xN),所以当 x=10 时,Smax=45.6.故选 B. (2)因为 5 min 后甲桶和乙桶的水量相等,所以函数y=f(t)=aent满足f(5)=ae5n=1 2a,可得 n=1 5ln 1 2,所以 f(t)=a 1 2 ? 5,设 kmin 后甲桶中的水只有? 4 L,则f(k)=a 1 2 ? 5=? 4,所以 1 2
12、? 5=1 4,解得 k=10,所以m=k-5=5. 构建函数模型解决实际问题【典例迁移】 题型 1构建二次函数模型 某村利用当地优势引进经济效益好、养殖密度高的“活水围网”养鱼技术.研究表明:“活水围网” 养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度v(单位:千克/年)是养殖密度x(单位:尾/立方米)的连 续函数.当x不超过 4 尾/立方米时,v的值为 2 千克/年;当 4x20 时,v是x的一次函数;当x达到 20 尾/立 方米时,因缺氧等原因,v的值为 0 千克/年. (1)当 0 x20 时,求函数v关于x的函数解析式; (2)当养殖密度x为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方
13、米)可以达到最大?并求出最大值. 解析(1)由题意得当 0 x4 时,v=2, 当 4x20 时,设v=ax+b(a0), 显然v=ax+b在(4,20内是减函数, 由已知得 20? + ? = 0, 4? + ? = 2, 解得 ? = - 1 8, ? = 5 2, 所以v=-1 8x+ 5 2. 故函数v= 2,0 ? 4, - 1 8x + 5 2,4 x 20. (xN*) (2)设年生长量为f(x)千克/立方米, 依题意,由(1)得f(x)= 2?,0 ? 4, - 1 8? 2+5 2x,4 x 20. (xN*) 当 0 x4 时,f(x)为增函数, 故f(x)max=f(4)
14、=42=8; 当 4x20 时, f(x)=-1 8x 2+5 2x=- 1 8(x 2-20 x)=-1 8(x-10) 2+25 2 ,f(x)max=f(10)=12.5. 所以当 0 x20 时,f(x)的最大值为 12.5. 故当养殖密度为 10 尾/立方米时,鱼的年生长量可以达到最大,最大值为 12.5 千克/立方米. 题型 2构建指数函数、对数函数模型 (2021 杭州一模)某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历了n次涨停 (每次上涨 10%),又经历了n次跌停(每次下跌 10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为 (). A.略有盈利B.略
15、有亏损 C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况 答案B 解析设该股民购买这只股票的价格为a,则经历n次涨停后股票的价格为a(1+10%)n=a1.1n,经历n 次跌停后股票的价格为a1.1n(1-10%)n=a1.1n0.9n=a(1.10.9)n=0.99na0,b0)模型 (1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y(万元) 与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段),则为使其营运年平均利润最大,每辆客车营运年数 为. (2) 某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边夹角为 60(如图),考虑防洪堤坚固性及石块 用料等因素,设计其横断
16、面要求面积为9 3平方米,且高度不低于 3米.记防洪堤横断面的腰长为x米,外周长 (梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长 最小),则防洪堤的腰长x=米. 答案(1)5(2)2 3 解析(1)根据图象求得y=-(x-6)2+11, 年平均利润? ?=12- ? + 25 ? , x+25 ? 10,当且仅当x=5 时等号成立, 要使年平均利润最大,客车营运年数为 5. (2)由题意可得BC=18 ? -? 2(2x6), y=18 ? +3? 2 2 18 ? 3? 2 =6 3, 当且仅当18 ? =3? 2 (2x6),即x=2 3
17、时等号成立. 题型 4构建分段函数模型 已知某公司生产某款手机的年固定成本为 40 万美元,每生产 1 万只还需另投入 16 万美元.设该公 司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完,每万只的销售收入为R(x)万美元,且 R(x)= 400-6?,0 40. (1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式; (2)当年产量为多少万只时,该公司在该款手机的生产中所获得的年利润最大?并求出最大年利润. 解析(1)当 040 时, W=xR(x)-(16x+40)=-40000 ? -16x+7360. 所以W= -6?2+384x-40,0 40. (2)当 040 时,W=-400
18、00 ? -16x+7360, 因为40000 ? +16x2 40000 ? 16x=1600, 当且仅当40000 ? =16x,即x=50 时,取等号, 所以W的最大值为 5760. 综合,当年产量为 32 万只时,年利润最大,最大值为 6104 万美元. 点拨构建数学模型解决实际问题,要正确理解题意,分清条件和结论,理顺数量关系,将文字语言转化成 数学语言,建立适当的函数模型,求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.如实际问题中有些变量间的关 系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,如出租车票价与路程之间的关系,应构建分段函 数模型求解;当涉及增长率等有关问题时应构建指数
19、函数模型求解. 【追踪训练 2】(1)(2021 广西模拟)一个放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年就有3 4的质量发生 衰变,剩余质量为原来的1 4.若该物质余下质量不超过原有的 1%,则至少需要衰变的年数是( ). A.3B.4C.5D.6 (2)已知某服装厂生产某种品牌的衣服,销售量q(x)(单位:百件)关于每件衣服的利润x(单位:元)的函数解 析式为q(x)= 1260 ?+1 ,0 x 20, 90-3 5 ?,20 x 180, 则该服装厂所获得的最大效益是元. 答案(1)B(2)240000 解析(1)设原物质的质量为单位1,一年后剩余质量为原来的1 4,两年后变为原来的 1
20、 4 2,依此类推,n 年后 的质量是原来的 1 4 ? ,只需要 1 4 ? 1 100,故 n4. (2)设该服装厂所获效益为f(x)元, 则f(x)=100 xq(x) = 126000? ?+1 ,0 x 20, 100?(90-3 5 ?),20 x 180. 当0 x20时,f(x)=126000? ?+1 =126000-126000 ?+1 ,f(x)在区间(0,20上单调递增,所以当x=20时,f(x)取得最大 值,最大值为 120000. 当 20 x180 时,f(x)=9000 x-300 5x?, 则f(x)=9000-450 5 ?, 令f(x)=0,解得x=80.
21、 当 20 x0,f(x)单调递增,当 80 x180 时,f(x)0,f(x)单调递减, 所以当x=80 时,f(x)取得极大值,也是最大值,最大值为 240000. 因为 120000240000, 所以该服装厂所获得的最大效益是 240000 元. 对应学生用书第 52 页 函数实际应用中的数学建模问题 数学建模是高考中的热点,主要考查数学建模能力及分析、 解决问题的能力.数学建模是对现实问题进行 数学抽象,用数学语言表达问题,用数学方法构建模型解决问题. (2021 兰州模拟)某厂有一个容量为 300 吨的水塔,每天从早上六点到晚上十点供应生活和生产用 水,已知该厂的生活用水为每小时
22、10 吨,生产用水总量W(吨)与时间t(单位:小时,规定早晨六点时t=0)的函 数关系为W=100 ?,水塔的进水量有 10 级,第一级每小时进水 10 吨,以后每提高一级,进水量增加 10 吨.若 某天水塔原有水 100 吨,在供应用水时同时打开进水管,问该天进水量应选择几级,既能保证该厂用水(即水 塔中水不空),又不会使水溢出? 解析设水塔进水量选择第n级,在t时刻水塔中的水容量y等于水塔中的存水量100吨加进水量10nt 吨,减去生活用水 10t吨,再减去生产用水W=100 ?吨,即y=100+10nt-10t-100 ?(0t16). 若水塔中的水量既能保证该厂用水,又不会使水溢出,则
23、一定有 0y300, 即 0100+10nt-10t-100 ?300, 所以-10 ? +10 ?+1n 20 ? +10 ?+1 对一切 t(0,16恒成立. 因为-10 ? +10 ?+1=-10 1 ?- 1 2 2 +7 2 7 2, 20 ? +10 ?+1 19 4 . 所以7 20)万元.公司决 定从原有员工中分流x(0 x100,xN*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员 工平均每人每年的创造产值在原有的基础上增长了 1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流 的人数是(). A.15 B.16 C.17 D.18 答案B 解析由题意,分
24、流前每年创造的产值为100t(万元),分流x人后,每年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t, 则由 0 ? 100,?N*, (100-?)(1 + 1.2?%)? 100?,解得 0 x 50 3 .因为xN*,所以x的最大值为 16. 5.我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝(dB),对于一 个强度为I的声波,其音量的大小可由如下公式计算:=10lg ? ?0(其中 I0是人耳能听到声音的最低声波强度). 则 70 dB 的声音的声波强度I1是 60 dB 的声音的声波强度I2的(). A.7 6倍 B.107 6倍 C.10 倍D
25、.ln7 6 答案C 解析由=10lg ? ?0得 I=I010 ? 10,所以I1=I0107,I2=I0106,所以?1 ?2=10,所以 70 dB 的声音的声波强度 I1是 60 dB 的声音的声波强度I2的 10 倍. 6.当生物死亡后,其体内原有的碳 14 的含量大约每经过 5730 年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰 期”.当死亡生物体内的碳 14 含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡 生物体内的碳 14 用一般放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是(). A.8B.9C.10 D.11 答案C 解析设该死亡生物体内原有的碳14的
26、含量为1,则经过n个“半衰期”后的含量为 1 2 ? ,由 1 2 ? 1 时,甲走在最前面; 当x1 时,乙走在最前面; 当 0 x1 时,丁走在最后面; 丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面; 如果它们一直运动下去,最终走在最前面的是甲. 其中正确结论的序号为. 答案 解析甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x0)的函数关系式分别为 f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、 一次函数模型、对数型函数模型.当x=2 时,f1(2)=3,f2(2)=4,所以不正确
27、;当x=5 时,f1(5)=31,f2(5)=25,所 以不正确;根据四种函数的变化特点,对数型函数的增长速度是先快后慢,又当x=1 时,甲、乙、丙、丁四个 物体走过的路程相等,从而可知,当 0 x1 时,丁走在最后面,所以正确;指数型函 数的增长速度是先慢后快,当运动的时间足够长时,最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体,即 一定是甲物体,所以正确;结合对数型函数和指数型函数的图象变化情况,可知丙不可能走在最前面,也不可 能走在最后面,所以正确. 9.(2021 南京一模)近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司计 划在甲、乙两座城市共投资 120
28、 万元,根据行业规定,每座城市至少要投资 40 万元,由前期市场调研可知,甲 城市收益P(单位:万元)与投入a(单位:万元)满足P=3 2?-6,乙城市收益Q(单位:万元)与投入A(单位:万元) 满足Q=1 4A+2,则投资两座城市收益的最大值为( ). A.26 万元 B.44 万元 C.48 万元 D.72 万元 答案B 解析设在甲城市投资x万元,在乙城市投资(120-x)万元,所以 总收益 f(x)=3 2?-6+1 4(120-x)+2=- 1 4x+3 2?+26. 由题意知 ? 40, 120-? 40,解得 40 x80. 令t=?,则t2 10,4 5,所以y=-1 4t 2+
29、3 2t+26=-1 4(t-6 2) 2+44,当t=6 2,即x=72时,y取得最大值, 最大值为 44,所以当甲城市投资 72 万元,乙城市投资 48 万元时,总收益最大,且最大收益为 44 万元.故选 B. 10.(本题为多项选择题)某校甲、乙两食堂去年 1 月份的营业额均为a,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月 的增加值也为a;乙食堂的营业额也逐月增加,并且每月增加的百分率为x.已知该年9月份两食堂的营业额又 相等,则(). A.x= 8 9-1 B.x=1 9 C.5 月份甲食堂的营业额较高 D.5 月份乙食堂的营业额较高 答案AC 解析由题意,a+8a=a(1+x)8,所以x= 8
30、 9-1,则 5 月份甲食堂的营业额y1=5a,5 月份乙食堂的营业额 y2=a(1+x)4=3a,所以y1y2,故选 AC. 11.(2021 陕西师大附中月考)某市用 37 辆汽车往灾区运送一批救灾物资,假设以vkm/h 的速度直达灾区, 已知该市到灾区公路线长 400 km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于 ? 20 2 km,那么这批物资全部到 达灾区的最少时间是h.(车身长度不计) 答案12 解析设全部物资到达灾区所需时间为th,由题意可知,t相当于最后一辆车行驶了 36 ? 20 2 +400 km 所用的时间,因此,t= 36 ? 20 2+400 ? =36? 400+ 4
31、00 ? 12,当且仅当36? 400= 400 ? ,即v=200 3 时取 “=”. 故这些汽车以200 3 km/h 的速度匀速行驶时,所需时间最少,最少时间为 12 h. 12.某书商为提高某套丛书的销售量,准备举办一场展销会.据市场调查,当每套丛书售价定为x元时,销售量 可达到(15-0.1x)万套.现出版社为配合该书商的活动,决定进行价格改革,将每套丛书的供货价格分成固定价 格和浮动价格两部分,其中固定价格为 30 元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比例系数为 10. 假设不计其他成本,即销售每套丛书的利润=售价-供货价格,问: (1)每套丛书售价定为 100
32、元时,书商能获得的总利润是多少万元? (2)每套丛书售价定为多少元时,单套丛书的利润最大? 解析(1)每套丛书售价定为 100 元时,销售量为 15-0.1100=5(万套),此时每套供货价格 为 30+10 5 =32(元),书商所获得的总利润为 5(100-32)=340(万元). (2)每套丛书售价定为x元时,由 15-0.1? 0, ? 0, 解得 0 x150. 依题意,单套丛书利润 P=x-30+ 10 15-0.1? =x- 100 150-?-30, 所以P=-150-? + 100 150-? +120. 因为 0 x0, 则 150-x+ 100 150-?2 (150-?
33、) 100 150-?=210=20,当且仅当 150-x= 100 150-?,即 x=140 时等号成立, 此时,Pmax=-20+120=100. 所以每套丛书售价定为 140 元时,单套丛书的利润最大,最大值为 100 元. 13. 如图所示,已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4米,CD=6米.为合理利用这块钢板,在五 边形ABCDE内截取一个矩形BNPM,使点P在边DE上. (1)设MP=x米,PN=y米,将y表示成x的函数,求该函数的解析式及定义域; (2)求矩形BNPM面积的最大值. 解析 (1)作PQAF于点Q, 所以PQ=(8-y) 米,EQ=(x-4) 米
34、. 又EPQEDF, 所以? ?= ? ?t,即 ?-4 8-?= 4 2. 所以y=-1 2x+10,定义域为x|4x8. (2)设矩形BNPM的面积为S平方米, 则S(x)=xy=x10- ? 2 =-1 2(x-10) 2+50, S(x)是关于x的二次函数,且其图象开口向下,对称轴为直线x=10,所以当x4,8时,S(x)单调递增.所以 当x=8 时,矩形BNPM的面积取得最大值,最大值为 48 平方米. 14.医学上为研究传染病传播中含病毒细胞的发展规律及其预防措施,将含病毒的细胞注入一只小白鼠体内 进行实验.经检测,含病毒细胞的增长数与天数的关系如下表.已知该种含病毒的细胞在小白鼠
35、体内的个数超 过 108的时候小白鼠将死亡.但注射某种药物,将杀死其体内含病毒细胞的 98%. 天数t(天)1234567 含病毒细胞 的 总数N(个) 124816 32 64 (1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡,第一次最迟应在何时注射该种药物?(精确到天) (2)在(1)的条件下,第二次最迟应在何时注射该种药物,才能维持小白鼠的生命?(精确到天,已知 lg 20.301) 解析(1)由题意知,含病毒细胞总数N关于时间t的函数为N=2t-1,则 2t-1108. 两边取对数得(t-1)lg 28,解得t27.6,即第一次最迟应在第 27 天注射该种药物. (2)由题意知,第一次注入药物后小
36、白鼠体内剩余的含病毒的细胞个数为 2262%, 再经过x天后,小白鼠体内含病毒的细胞个数为 2262%2x. 由题意得 2262%2x108, 两边取对数得 26lg 2+lg 2-2+xlg 28,解得x6.2. 故再经过 6 天必须注射药物,即第二次最迟应在第 33 天注射药物. 15.2018年9月24日,英国著名数学家阿蒂亚爵士在德国海德堡获奖者论坛上声明证明了黎曼猜想,这一事 件引起了数学界的震动.在 1859 年的时候,德国数学家黎曼向柏林科学院提交了题目为 论小于给定数值的 素数个数的论文并提出了一个命题,也就是著名的黎曼猜想.在此之前,著名数学家欧拉也曾研究过这个问 题,并得到
37、小于数值x的素数的个数可以表示为(x) ? ln?的结论.根据欧拉得出的结论,估计小于 1000 的素数 的个数为().(素数即质数,lg e0.43429,计算结果取整数) A.768B.144C.767D.145 答案D 解析小于 1000 的素数的个数为 1000 ln1000= 1000 lg1000 lge 1000 3 0.43429 =434.29 3 145,故选 D. 16.(2020 年全国新高考卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指 一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用 指数模型
38、:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足 R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为().(ln 20.69) A.1.2 天B.1.8 天C.2.5 天D.3.5 天 答案B 解析因为R0=3.28,T=6,R0=1+rT,所以r=3.28-1 6 =0.38,所以I(t)=ert=e0.38t, 设在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为t1天, 则e0.38(?+ ?1)=2e0.38t,所以e0.38?1=2,所以 0.38t1=ln 2,所以t1=ln2 0.38 0.69 0.381.8 天.故选 B.
