1、第六章第六章数列数列 第二节第二节 等差数列及其前等差数列及其前 n 项和项和 考点考点 1 等差数列的基本运算等差数列的基本运算 （2018北京卷（理） ）设an是等差数列，且 a13，a2a536，则an的通项公式为_ 【解析】方法一设公差为 Da2a536，（a1d）（a14d）36，2a15d36.a13， d6，通项公式 ana1（n1）d6n3（nN*） 方法二设公差为 d，a2a5a1a636，a13， a633，d? ? 6.a13，通项公式 an6n3（nN*） 【答案】an6n3（nN*） （2018天津卷（理） ）设an是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 Sn（n
2、N*） ，bn是等差数列已知 a11，a3a22，a4b3b5，a5b42b6. （1）求an和bn的通项公式； （2）设数列Sn的前 n 项和为 Tn（nN*） ， 求 Tn； 证明： ? ? t ? ? (?)(?) ? ? 2（nN*） 【解析】 （1）设等比数列an的公比为 q.由 a11，a3a22，可得 q2q20.由 q0，可得 q2，故 an2n 1. 设等差数列bn的公差为 D 由 a4b3b5，可得 b13d4. 由 a5b42b6，可得 3b113d16，从而 b11，d1， 故 bnn. 所以数列an的通项公式为 an2n 1（nN*） ，数列bn的通项公式为 bnn（
3、nN*） （2）由（1）得 Sn? ? ? 2n1，故 Tn ? ? t ? （2k1） ? ? t ? kn?(? ?) ? n 2n1n2（nN*） 证明因为 ? (?)(?) ? ? (?)(?) ? (?)(?) ? ? ? ?， 所以 ? ? t ? ? (?)(?) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2（nN *） 【答案】见解析 （2018全国卷（理） ）记 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 3S3S2S4，a12，则 a5等于（） A12B10 C10D12 【解析】设等差数列an的公差为 d，由 3S3S2S4， 得 3 ? ? ? ? ? 2a1
4、? ? d4a1? ? d，将 a12 代入上式，解得 d3， 故 a5a1（51）d24（3）10. 故选 B 【答案】B （2018江苏卷）设an是首项为 a1，公差为 d 的等差数列，bn是首项为 b1，公比为 q 的等比数列 （1）设 a10，b11，q2，若|anbn|b1对 n1,2,3,4 均成立，求 d 的取值范围； （2）若 a1b10，mN*，q（1， ? ，证明：存在 dR，使得|anbn|b1对 n2,3，m1 均成 立，并求 d 的取值范围（用 b1，m，q 表示） 【解析】 （1）由条件知 an（n1）d，bn2n 1， 因为|anbn|b1对 n1,2,3,4 均
5、成立， 即|（n1）d2n 1|1 对 n1,2,3,4 均成立， 即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 7 ? ?d ? 9? 得7 ?d ? . 因此，d 的取值范围为 7 ? ? . （2）由条件知 anb1（n1）d，bnb1qn 1. 若存在 d，使得|anbn|b1（n2,3，m1）成立， 即|b1（n1）db1qn 1|b1（n2,3，m1） ， 即当 n2,3，m1 时，d 满足? ? ? b1d? ? ?b1. 因为 q（1， ? ，则 1qn 1qm2， 从而? ? ? b10，? ? ?b10 对 n2,3，m1 均成立 因此，取 d0 时，|anbn|
6、b1对 n2,3，m1 均成立 下面讨论数列 ? ? 的最大值和数列 ? ? 的最小值（n2,3，m1） 令 tn1，则 1tm， ? ? ? ? ? ? ? ?(?) ? ? ? ? ?(?) ， 当 1q2? ?时，有 q tqm2， 从而 t（qtqt 1）qt20. 因此，当 2nm1 时，数列 ? ? 单调递增， 故数列 ? ? 的最大值为? ? ? . 设 f（x）2x（1x） ， 当 x0 时，f（x）（ln 21xln 2）2x0， 所以 f（x）单调递减，从而 f（x）f（0）1. 令 tn1，则 1tm，则 ? ? ? ? ?(?) ? 2? ? ? ? ? ? f ? ? 1， 因此，当 2nm1 时，数列 ? ? 单调递减， 故数列 ? ? 的最小值为? ? ?. 因此，d 的取值范围为 ? ? ? ? ? . 【答案】见解析
