1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 【例 1】在等比数列 n a中， 2 2a ， 5 128a ，则它的公比q _，前n项和 n S _ 【例 2】等差数列 n a的前n项和为 n S，且 53 655SS，则 4 a 【例 3】设等比数列 n a的前n项和为 n S，若 6 3 3 S S ，则 9 6 S S （） A2B 7 3 C 8 3 D3 【例 4】设 n a是公比为q的等比数列，1q， 令1(12) nn ban， ， 若数列 n b有 连续四项在集合5323 193782，中，则6 q 【例 5】等比数列 n a的首项 1 1a ，前n项和为 n S，公比1q ，若 10 5
2、 S S 31 32 ，则 10 5 a a 等 于 【例 6】等比数列 n a中，1512a ， 公比 1 2 q ， 用 n 表示它前n项的积： 12.nn a aa ， 则 1 ， 2 ， n 中最大的是_ 等比数列的通项公式与求和 【学而思高中数学讲义】 【例 7】已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 (1)() 3 N nn San 求 1 a， 2 a， 3 a的值； 求 n a的通项公式及 10 S 【例 8】在等比数列 n a中， 123 27aaa， 24 30aa 试求： 1 a和公比q；前 6 项的和 6 S. 【例 9】在 等 比 数 列 n a中 ， 已 知 对
3、 任 意 正 整 数n， 有21 n n S ， 则 222 12n aaa_ 【例 10】求和： 2 (1)(2)(),(0) n aaana 【例 11】在等比数列 n a中， 4 2 3 a ， 35 20 9 aa若数列 n a的公比大于1，且 3 log 2 n n a b ，求数列 n b的前n项和 n S 【例 12】在各项均为正数的等比数列 n b中，若 78 3bb，则 3132 loglogbb 314 log b等于（） A5B6C7D8 【学而思高中数学讲义】 【例 13】等比数列 n a中，已知对任意自然数n， n aaaa 321 21 n ， 则 222 12n
4、aaa() A 2 21 n B 1 21 3 n C41 n D 1 41 3 n 【例 14】若 210 lglglg110 xxx，求 210 lglglgxxx的值. 【例 15】在等比数列 n a中， 4 2 3 a ， 35 20 9 aa若数列 n a的公比大于1，且 3 log 2 n n a b ，求数列 n b的前n项和 n S 【例 16】在等比数列 n a的前n项中， 1 a最小，且 121 66,128 nn aaa a ，前n项和 126 n S ，求n和公比q 【例 17】设等比数列 n a前n项和为 n S，若 369 2SSS，求数列的公比q 【例 18】 n
5、 a的相邻两项 1nn aa ，是方程 2 1 ( )0 3 n n xc x的两根， 且 1 2a ， 求数列 n c 的前n项和 n S. 【学而思高中数学讲义】 【例 19】已知数列 n a：1， 1 2() 2 ， 2 1 3() 2 ， 1 1 () 2 n n ，求它的前n项和 【例 20】已知：数列 n a满足 21 123 333, 3 n n n aaaaa N. 求数列 n a的通项； 设, n n n b a 求数列 n b的前n项和 n S 【例 21】已知数列 n a的通项公式为5n n an，求其前n项和公式 【例 22】求数列a， 2 2a， 3 3a， n na
6、， （a为常数）的前n项的和 【例 23】已知等差数列 n a，公差为d，求 3521 123 n nn Sa xa xa xa x (10)xx且 【例 24】设 n a为等比数列， 121 (1)2 nnn Tnanaaa ，已知 1 1T ， 2 4T 求数列 n a的首项和公比; 求数列 n T的通项公式 【学而思高中数学讲义】 【例 25】已 知1a ， 数 列 n a是 首 项 为a， 公 比 为a的 等 比 数 列 ， 令 lg(0,) n nn baaan N， 当2a 时，求数列 n b的前n项和 n S； 若数列 n b中的每一项总小于它后面的项时，求a的取值范围 【例 2
7、6】已知函数 f x是一次函数，且 815f， 2f， 5f，14f成等比数列， 设 n af n， * nN 求 n T； 设2n n b ，求数列 nn a b的前n项和 n S 【例 27】设等比数列 n a的公比为q，前n项和0 n Sn N 求q的取值范围； 设 21 3 2 nnn baa ，记 n b的前n项和为 n T，试比较 n S与 n T的大小 【例 28】设 n a是 由 正 数 组 成 的 等 比 数 列 ， n S是 前n项 和 ， 证 明 0.50.52 0.51 loglog log 2 nn n SS S 【学而思高中数学讲义】 【例 29】设 n a是由正数
8、组成的等比数列， n S是前n项和 证明： 2 1 lglg lg 2 nn n SS S ； 是否存在常数0C 使得 2 1 lglg lg 2 nn n SCSC SC 成立？并证明 你的结论 【例 30】用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以 后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1，若交付150元 后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第十个月该交付多 少钱？全部货款付清后，买这件家电实际花了多少钱？ 【例 31】从盛满a升(1)a 纯酒精的溶液里倒出1升， 然后填满水， 再倒出1升混合溶液 后又用水填满如此继续下去，那么第
9、n次操作后溶液的浓度是多少? 【例 32】某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营能使每年资金平均增 长率为50%，但每年年底都要扣除消费基金x万元，余下基金投入再生产， 为实现经过5年资金达到2000万元（扣除消费基金后） ，那么每年应扣除消费 基金多少万元（精确到万元）？ 【学而思高中数学讲义】 【例 33】小芳同学若将每月省下的零花钱5元在月末存入银行， 月利按复利计算， 月利 率为0.2%， 每够一年就将一年的本利和改存，年利按复利计算，年利率为6%，问三年后取出 本利共多少元(保留到个位)？ 【例 34】用n个不同的实数 12 , n a aa可得到!n个不同的排列，每个
10、排列为一行写成 一个!n行的数阵。对第i行 12 , iiin aaa，记 123 23.( 1)n iiiiin baaana ， 1,2,3, !in。 例如：用1, 2, 3、可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以， 126 122 123 1224bbb ，那么， 在用1, 2, 3, 4, 5形成的数阵中， 12120 bbb=_。 12 3 1 23 123 1 2 3 1 2 3 123 【学而思高中数学讲义】 【例 35】我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项 为1，公比为q的数列 n a依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的
11、 数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其他空格 第1列第2列第3列第n列 第1行 111 1 第2行 q 第3行 2 q 第n行 1n q 设第2行的数依次为 12n BBB，试用nq，表示 12n BBB的值； 设 第3行 的 数 依 次 为 123n cccc， ， ， 求 证 ： 对 于 任 意 非 零 实 数 132 2qccc，； 请在以下两个问题中选择一个进行研究(只能选择一个问题， 如果都选， 被认为 选择了第一问) 能 否 找 到q的 值 ， 使 得 中 的 数 列 123n cccc， ， ，的 前m项 12 3 m cccm， ，成为等比数列？若能找到，m值有
12、多少个？若不能找 到，说明理由 能否找到q的值，使得填表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项 各自依次成等比数列？并说明理由 【学而思高中数学讲义】 【例 36】已知数列 012n aaaa， ，满足关系式 1 3618 nn aa ，且 0 3a ， 则 0 1 n i i a 的值是. 【例 37】在n行n列矩阵 12321 23411 34512 12321 nnn nn n nnnn 中，记位于第i行第j列的数为( ,1 2) ij a i jn， ， ， 当 9n 时， 11223399 aaaa 【例 38】已知数列 n a的前n项和为 n S，且585 nn Sna， *
13、nN 证明：1 n a 是等比数列； 求数列 n S的通项公式，并求出n为何值时， n S取得最小值，并说明理由 【例 39】已知数列 n a的首项 1 0a ， 其前n项的和为 n S， 且 11 2 nn SSa ， 则lim n n n a S A0B 1 2 C 1D2 【例 40】已知 n a是首项为 1 的等比数列， n s是 n a的前n项和，且 36 9ss，则数列 【学而思高中数学讲义】 1 n a 的前 5 项和为 A 15 8 或 5B 31 16 或 5C 31 16 C 15 8 【例 41】设 n S为等比数列 n a的前n项和， 25 80aa，则 5 2 S S
14、 A11B5C8D11 【例 42】在数列 n a中， 1 1a ， 1* 1 21 n nn acacnn N，其中实数0c 求 n a的通项公式； 若对一切 * kN 有 21kzk aa ，求c的取值范围 【例 43】设 n a是由正数组成的等比数列， n S为其前n项和已知 24 1a a ， 3 7S ，则 5 S A 15 2 B 31 4 C 33 4 D 17 2 【例 44】设等比数列 n a的公比为 1 2 q ，前n项和为 n S，则 4 4 S a 【例 45】设 n a是等比数列，若 14 1,8aa，则q ，数列 n a的前6项的和 6 S 【学而思高中数学讲义】
15、【例 46】在数列 n a中， 1 3a ， 1 22 nn aan (2n且 *) nN 求 2 a， 3 a的值； 证明：数列 n an是等比数列，并求 n a的通项公式； 求数列 n a的前n项和 n S 【例 47】在数列 n a中， 1 3a ， 1 21 nn aan (2n且 *) nN 求 2 a， 3 a的值； 证明：数列 n an是等比数列，并求 n a的通项公式； 求数列 n a的前n项和 n S 【例 48】设数列 n a为等比数列，数列 n b满足 121 (1)2 nnn bnanaaa ， n N，已知 1 bm， 2 3 2 m b ，其中0m 求数列 n a的首项和公比； 当1m 时，求 n b； 设 n S为数列 n a的前n项和， 若对于任意的正整数n， 都有1, 3 n S ， 求实数m 的取值范围 【例 49】若, 4,3aa为等差数列的连续三项，则 0129 aaaa的值为（） A1023B1025C1062D2047
