1、【学而思高中数学讲义】 知识内容 1二项式定理 二项式定理 011222 . n nnnnn nnnn abC aC abC abC bn N 这个公式表示的定理叫做二项式定理 二项式系数、二项式的通项 011222 . nnnnn nnnn C aC abC abC b 叫做 n ab的二项展开式，其中的系数 0, 1, 2, ., r n Crn叫做二项式系数，式中的 rn rr n C ab 叫做二项展开式的通项，用 1r T 表示， 即通项为展开式的第1r 项： 1 rn rr rn TC ab 二项式展开式的各项幂指数 二项式 n ab的展开式项数为1n 项，各项的幂指数状况是 各项
2、的次数都等于二项式的幂指数n 字母a的按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减 1 直到零，字母b按升幂排列，从 第一项起，次数由零逐项增 1 直到n 几点注意 通项 1 rn rr rn TC ab 是 n ab的展开式的第1r 项，这里0, 1, 2, .,rn 二项式 n ab的1r 项和 n ba的展开式的第1r 项 rn rr n C ba 是有区别的， 应用二项式 定理时，其中的a和b是不能随便交换的 注意二项式系数（ r n C）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而 项的系数有时可为负 其他 【学而思高中数学讲义】 通项公式是 n ab这个标准形式下而言的，如
3、 n ab的二项展开式的通项公式是 1 1 r rn rr rn TC ab （只须把b看成b代入二项式定理）这与 1 rn rr rn TC ab 是不同的，在这 里对应项的二项式系数是相等的都是 r n C，但项的系数一个是1 r r n C，一个是 r n C，可看出， 二项式系数与项的系数是不同的概念 设1,abx，则得公式： 122 11. n rrn nnn xC xC xC xx 通项是 1r T rn rr n C ab 0, 1, 2, .,rn中含有 1, , r Ta b n r 五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素 当n不是很大，x比较小时可以用展开式的前几项求
4、(1)nx的近似值 2二项式系数的性质 杨辉三角形： 对于n是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可 以直接用杨辉三角计算 杨辉三角有如下规律： “左、 右两边斜行各数都是 1 其余各数都等于它肩上两个数字的和 ” 二项式系数的性质： n ab展开式的二项式系数是： 012 , ., n nnnn CCCC，从函数的角度看 r n C可以看成是r为自 变量的函数 f r，其定义域是：0, 1, 2, 3, ., n 当6n 时， f r的图象为下图： 这样我们利用 “杨辉三角” 和6n 时 f r的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质 对称性：与首末两端“
5、等距离”的两个二项式系数相等 【学而思高中数学讲义】 事实上，这一性质可直接由公式 mn m nn CC 得到 增减性与最大值 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大 由于展开式各项的二项式系数顺次是 012 1 1, 11 2 nnn n nn CCC ， 3 12 1 2 3 n n nn C ， 1 12 .2 1 2 3 .1 k n n nnnk C k ， 12 .21 1 2 3.1 k n n nnnknk C kk ， 1 n n C 其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小 1
6、 的数（如 ,1,2, .n nn），分母是乘以逐次增大的数（如 1，2，3，）因为，一个自然数乘以 一个大于 1 的数则变大，而乘以一个小于 1 的数则变小，从而当k依次取 1，2，3，等值 时， r n C的值转化为不递增而递减了又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等， 所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间 当n是偶数时，1n 是奇数，展开式共有1n 项，所以展开式有中间一项，并且这一项的 二项式系数最大，最大为 2 n n C 当n是奇数时，1n 是偶数，展开式共有1n 项，所以有中间两项 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为 11 22 nn n
7、n CC 二项式系数的和为2n，即 012 .2 rnn nnnnn CCCCC 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 0241351 .2n nnnnnn CCCCCC 常见题型有： 求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题 典例分析 【例 1】 对于二项式 3 1 () n xn x N，四位同学作出了四种判断： 存在n N，展开式中有常数项；对任意n N，展开式中没有常数项； 【学而思高中数学讲义】 对任意n N，展开式中没有x的一次项；存在n N，展开式中有x的一次 项上述判断中正确的是（） ABCD 【例 2】 由等式 432 4
8、32 12341234 1111xa xa xa xaxb xbxbxb ，定义映射 12341234 :(,)( ,)faa a ab b b b，则4, 3, 2, 1f等于（） A 1, 2, 3, 4B0, 3, 4, 0C1, 0, 2,2D0,3, 4,1 【例 3】 求证： 02122 2 ()()()CCCC nn nnnn 【例 4】 证明： m m k 0 CC2 C n mkm n knn 【例 5】 设2n，nN， 11 23 23 nn xx 2 012 n n aa xa xa x，将(0) k akn 的最小值记为 n T，则 2 0T ， 3 33 11 23 T ， 4 0T ， 5 55 11 23 T ， n T，其中 n T
