1、【学而思高中数学讲义】 知识内容 1利用导数判断函数的单调性的方法： 如果函数( )yf x在x的某个开区间内，总有( )0fx，则( )f x在这个区间上是增函数；如果函数 ( )yf x在x的某个开区间内，总有( )0fx，则( )f x在这个区间上是减函数 2利用导数研究函数的极值： 已知函数( )yf x，设 0 x是定义域内任一点，如果对 0 x附近的所有点x，都有 0 ( )()f xf x，则称 函数( )f x在点 0 x处取极大值，记作 0 ()yf x 极大 并把 0 x称为函数( )f x的一个极大值点 如果在 0 x附近都有 0 ( )()f xf x，则称函数( )f
2、 x在点 0 x处取极小值，记作 0 ()yf x 极小 并把 0 x称 为函数( )f x的一个极小值点 极大值与极小值统称为极值极大值点与极小值点统称为极值点 3求函数( )yf x的极值的方法： 第 1 步 求导数( )fx； 第 2 步 求方程( )0fx的所有实数根； 第3步 考察在每个根 0 x附近，从左到右，导函数( )fx的符号如何变化如果( )fx的符号由正变 负，则 0 ()f x是极大值；如果由负变正，则 0 ()f x是极小值如果在( )0fx的根 0 xx的 左右侧，( )fx的符号不变，则 0 ()f x不是极值 4函数( )f x的最大（小）值是函数在指定区间的最
3、大（小）的值 求函数最大（小）值的方法： 第 1 步 求( )f x在指定区间内所有使( )0fx的点； 第 2 步 计算函数( )f x在区间内使( )0fx的所有点和区间端点的函数值，其中最大的为最大值， 最小的为最小值 典例分析 题型一：原函数与导函数的图象 【例 1】函数( )f x的导函数图象如下图所示，则函数( )f x在图示区间上（） A无极大值点，有四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点 板块三.导数的应用 【学而思高中数学讲义】 C有两个极大值点，两个极小值点D有四个极大值点，无极小值点 【例 2】函数( )f x的定义域为开区间()a b，导函数( )fx在()a b，
4、内的图象如图所示，则函数( )f x在 开区间()a b，内有极小值点（） A1 个B2 个C3 个D4 个 【例 3】若函数 2 ( )f xxbxc的图象的顶点在第四象限，则函数( )fx的图象不过第几象限? 【例 4】若函数 2 ( )f xxbxc的图象的顶点在第四象限，则函数( )fx的图象可能为（） 【例 5】汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 s看作时间t的函数，其图象可能是（） 【例 6】设( )fx是函数( )f x的导函数，( )yfx的图象如下图所示，则( )yf x的图象可能是（） 【学而思高中数学讲义】 【例 7】已知函数
5、 f x的导函数 fx的图象如右图所示， 那么函数 f x的图象最有可能的是 （） 【例 8】已知函数( )yxfx的图象如右图所示（其中( )fx是函数( )f x的导函数） ，下面四个图象中 ( )yf x的图象大致是（） 【例 9】( )fx是( )f x的导函数，( )fx的图象如图所示，则( )f x的图象只可能是（） 【学而思高中数学讲义】 【例 10】如果函数 yf x的图象如图，那么导函数( )yfx的图象可能是（） 【例 11】设( )fx是函数( )f x的导函数，将( )yf x和( )yfx的图象画在同一个直角坐标系中， 不可能正确的是（） 【例 12】如图所示是函数(
6、 )yf x的导函数( )yfx图象， 则下列哪一个判断可能是正确的 （） 【学而思高中数学讲义】 A在区间( 2 0) ，内( )yf x为增函数 B在区间(0 3)，内( )yf x为减函数 C在区间(4) ，内( )yf x为增函数 D当2x 时( )yf x有极小值 【例 13】如果函数( )yf x的导函数的图象如图所示，给出下列判断： 函数( )yf x在区间 1 3 , 2 内单调递增； 函数( )yf x在区间 1 , 3 2 内单调递减； 函数( )yf x在区间(4 , 5)内单调递增； 当2x 时，函数( )yf x有极小值； 当 1 2 x 时，函数( )yf x有极大
7、值； 则上述判断中正确的是_ 【例 14】函数 32 1 ( ) 2 f xxx的图象大致是（） 【学而思高中数学讲义】 【例 15】已知函数的图像如下图所示，则其函数解析式可能是（） A 2 lnf xxxB 2 lnf xxx C lnf xxxD lnf xxx 【例 16】函数 2 ( )(2 )exf xxx的图象大致是（） 【例 17】如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露 出水面部分的图形面积为 00S tS，则导函数 yS t的图像大致为（） 【学而思高中数学讲义】 【例 18】函数 2 2xyx的图像大致是（） 【例 19】已知函数( )
8、f x的导函数( )fx的图象如图所示，那么函数( )f x的图象最有可能的是 （） 【例 20】已知 R 上可导函数)(xf的图象如图所示，则不等式0)()32( 2 xfxx的解集为 （） A(,2)(1,) B(,2)(1, 2) C(,1)( 1, 0)(2 ,) D(,1)( 1,1)(3 ,) 【例 21】己知函数 32 f xaxbxc，其导数( )fx的图象如图所示， 则函数 f x的极小值是（） 【学而思高中数学讲义】 AabcB84abcC3 2abDc 题型二：函数的单调性 【例 22】函数 2 1 4yx x 的单调增区间为（） A(0) ，B 1 2 ，C(1) ，D
9、 1 2 ， 【例 23】下列函数中，在区间(1) ，上为增函数的是（） A21 x y B 1 x y x C 2 (1)yx D 1 2 log (1)yx 【例 24】函数( )ln (0)f xxx x的单调递增区间是 【例 25】三次函数 3 ( )1yf xax在() ，内是减函数，则（） A1a B2a C 0aD0a 【例 26】函数 2 ( )(1)f xxx的单调递减区间是_ 【例 27】函数 32 ( )31f xxx是减函数的区间为（） A(2) ，B(2)， C(0)，D(0 2)， 【例 28】函数cossinyxxx在下面哪个区间内是增函数（） A 3 22 ，B
10、( 2)，C 35 22 ，D(2 3)， 【例 29】若yax与 b y x 在0 ，上都是减函数，对函数 3 yaxbx的单调性描述正确的是 （） A在 ，上是增函数B在0 ，上是增函数 C在 ，上是减函数D在0，上是增函数，在0 ，上是减函数 【例 30】函数 32 1483f xaxaxbxb的图象关于原点中心对称，则 f x（） A在4 34 3 ，上为增函数 B在4 34 3 ，上为减函数 C在 4 3 ，上为增函数，在4 3 ，上为减函数 【学而思高中数学讲义】 D在4 3 ，上为增函数，在 4 3 ，上为减函数 【例 31】若 32 ( )(0)f xaxbxcxd a在R上是
11、增函数，则（） A 2 40bacB 2 40bac C 2 30bacD 2 30bac 【例 32】若 2 1 ( )ln(2) 2 f xxbx 在( 1) ，上是减函数，则b的取值范围是（） A 1) ，B( 1) ， C(1 ，D(1) ， 【例 33】函数 2 1 x f x x （） A在02，上单调递减B在0，和 2，上单调递增 C在02，上单调递增D在0，和2，上单调递减 【例 34】若函数 2 2 1 x f x x ，则 f x（） A在() ，单调增加B在() ，单调减少 C在( 1 1) ，单调减少，在(1) ，与(1) ，上单调增加 D在( 1 1) ，单调增加，在
12、(1) ，与(1) ，上单调减少 【例 35】已知函数 32 1 ( )5 3 f xxxax， 若( )f x的单调递减区间是( 3 1) ， 则a的值是 【例 36】已知函数 32 1 ( )5 3 f xxxax，若( )f x在1) ，上是单调增函数，则a的取值范围 是 【例 37】已知 32 1 (2)3 3 yxbxbx是R上的单调增函数，则b的取值范围是（） A1b 或2b B 1b或2b C12b D12b 【例 38】若函数( )2 3 kk h xx x 在(1,) 上是增函数，则实数k的取值范围是（） A 2,) B2,) C(,2 D(, 2 【例 39】已知( )2
13、3 kk h xx x ，( )( )lng xh xx，且( )g x在(1,) 上是增函数，则此时实数k的 取值范围是_ 【例 40】若函数 32 ( )1f xxax在(0 2)，内单调递减，则实数a的取值范围是（） A3aB3a C3aD03a 【例 41】若函数 32 ( )1f xxax的单调递区间为(0 2)，则实数a的取值范围是（） A3aB3a C3aD03a 【学而思高中数学讲义】 【例 42】已知函数 23 2 ( )4 3 f xxaxx在区间1 1 ，上是增函数，则实数a的取值范围为_ 【例 43】若函数 23 2 ( )4 3 f xxaxx在区间(2) ，与(2)
14、 ，上都是减函数， 则实数a的取值范 围为_ 【例 44】函数 2 1 4yx x 的单调增区间为（） A(0 ,) B 1 , 2 C(,1)D 1 , 2 【例 45】对于R上可导的函数( )f x，若满足(1)( )0 xfx，则必有（） A(0)(2)2 (1)fffB(0) (2)2 (1)fff C(0)(2)2 (1)fffD(0)(2)2 (1)fff 【例 46】已知函数 f x是偶函数，在0 , 上导数 fx0恒成立，则下列不等式成立的是 （） 312fffB 123fff C 231fffD 213fff 【例 47】)(xf是定义在(0 ,)上的非负可导函数，且满足(
15、)( )0 xfxf x，对任意正数 ,a b，若ab，则必有（） A( )( )af abf bB( )( )bf baf a C( )( )af bbf aD( ) ( )bf aaf b 【例 48】设 f x、 g x是R上的可导函数， fx、 gx分别是 f x、 g x的导函数，且 0fx g xf x gx ，则当axb时，有（） A f x g xf b g bB f x g af a g x C f x g bf b g xD f x g xf a g a 【例 49】函数 ln1f xxax在12，上单调递增，则实数a的取值范围是 【例 50】已知函数 32 1f xxax
16、x 在，上是单调函数， 则实数a的取值范围是 （） A 33，B33 ， C 33，D 33， 【例 51】若函数 32 ( )1f xxxmx是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（） A 1 (,) 3 B 1 (,) 3 C 1 ,) 3 D 1 (, 3 【例 52】已知对任意实数x有()( )fxf x ，()( )gxg x，且0 x 时，( )0fx，( )0g x，则 0 x 时（） 【学而思高中数学讲义】 A( )0fx，( )0g xB ( )0fx，( )0g x C( )0fx，( )0g x D( )0fx，( )0g x 【例 53】已知函数 2 1 ( )ln20
17、 2 f xxaxx a存在单调递减区间，求a的取值范围 【例 54】设函数 2 ( )ln(1)f xxbx，其中 1 2 b ，判断函数( )f x在定义域上的单调性 【例 55】已知函数 32 ( )(1)(2)f xxa xa axb()a bR， 若函数( )f x在区间( 1 1) ，上不单调 ，求a的取值范围 【例 56】函数 32 5yaxxx在区间() ，上单调递增，求a的取值范围 【例 57】已知函数 2 1 ( )2(0 2f xaxx x ，若( )f x在(0 1x，上是增函数，求a的取值范围 【例 58】设a为实数，函数 322 1f xxaxax在0，和1 ，都是
18、增函数，求a的取值 范围 【例 59】已知函数 2 6 ( ) ax f x xb 的图象在点( 1( 1)Mf，处的切线方程为250 xy 求函数( )yf x的解析式；求函数( )yf x的单调区间 【例 60】已知函数 2lnf xxx 写出函数 f x的定义域，并求其单调区间； 已知曲线 yf x在点 00 xf x，处的切线是2ykx，求k的值 【例 61】已知函数 2 2 ( )ln ax f xx e ，(,aeR为自然对数的底数） 求函数( )f x的递增区间； 当1a 时 ， 过 点0,Ptt R作 曲 线( )yf x的 两 条 切 线 ， 设 两 切 点 为 111222
19、12 ,() ,()P xf xP xf xxx，求证： 12 0 xx 【例 62】已知函数xaxxxfln1)( 2 当3a 时，求函数 f x的单调递增区间； 【学而思高中数学讲义】 若)(xf在区间 1 0, 2 上是减函数，求实数a的取值范围 【例 63】已知函数 ln x f x x 判断函数 f x的单调性； 若 1 yxf x x 的图像总在直线ya的上方，求实数a的取值范围； 若函数 f x与 12 63 m g xx x 的图像有公共点，且在公共点处的切线相同， 求实数m的值 【例 64】已知函数 2 ( )ln(1) 2 k f xxxx（0k） 当2k 时，求曲线( )
20、yf x在点 1 ,1f处的切线方程； 求( )f x的单调区间 【例 65】设函数 32 ( )91(0)f xxaxxa， 若曲线( )yf x的斜率最小的切线与直线126xy平 行， 求：a的值；函数( )f x的单调区间 【例 66】设aR，函数 2 121 ln1f xxax 若函数 f x在点 00f，处的切线方程为41yx，求a的值； 当1a 时，讨论函数 f x的单调性 【例 67】已知函数 32 1 ( ) 32 aa f xxxxb ，其中a，bR 若曲线( )yf x在点(2(2)Pf，处的切线方程为54yx，求函数( )f x的解析式； 当0a 时，讨论函数( )f x
21、的单调性 【例 68】设函数 e0 kx f xxk 求曲线 yf x在点 00f，处的切线方程； 求函数 f x的单调区间； 若函数 f x在区间1 1 ，内单调递增，求k的取值范围 【学而思高中数学讲义】 【例 69】已知 32 ( )f xaxbxcxd是定义在R上的函数，其图象交x轴于A，B，C三点，若 点B的坐标为(2 0)，且( )f x在 1 0 ，和4 5，上有相同的单调性，在0 2，和4 5，上有相 反的单调性 求c的值； 在函数( )f x的图象上是否存在一点 00 ()M xy，使得( )f x在点M处的切线的斜率为3b?若 存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由 【例 70】已知函数 2 2 ( ) (1) xb f x x ，求导函数( )fx，并确定( )f x的单调区间
