1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 【例 1】 空间四边形OABC中，OBOC， 3 AOBAOC ，则cos，OA BC 的值是 （） A 1 2 B 2 2 C 1 2 D0 【例 2】 已知(21 3)( 1 42)(7 5)abc ， ， ， ，若a b c ， ，三向量共面，则等 于（） A 62 7 B9C 64 7 D 65 7 【例 3】 设( 2 2 5)u ，、(64 4)v ，分别是平面 ，的法向量，则平面, 的位置关 系是（） A平行B垂直 C相交但不垂直D不能确定 【例 4】 设OAa ，OBb ，OCc ，则使A、B、C三点共线的条件是（） Acab B 11 23
2、cab C34cab D43cab 【例 5】 已知(1 1 0)，a ，( 1 0 2)， ，b ，且kab 与2ab 垂直，则k的值为（） A 1 5 B1C 3 5 D 7 5 【例 6】 已知四面体ABCD中，ABACAD，两两互相垂直，给出下列两个命题： AB CDAC BDAD BC ； 2222 |ABACADABACAD 则下列关于以上两个命题的真假性判断正确的为（） A假、假B真、假C 真 、 真 板块二.空间向量的坐标运算 【学而思高中数学讲义】 D假、真 【例 7】 如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，P是侧面 11 BBC C内一动点，若P到直线BC 与直线
3、 11 C D的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（） A 直线B 圆C 双曲线D 抛物线 ? P ? D ? 1 ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? B ? C ? D ? A ? 1 【例 8】 如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧 面PAD 底面ABCDM为底面ABCD内的一个动点， 且满足PMMC 则点M 在正方形ABCD内的轨迹为（） ? D ? C ? B ? A ? M ? M ? M ? M ? D ? C ? B ? A ? D ? C ? B ? A ? A ? B ? C ? D ? D ? C ? B ? A 【例 9】
4、已 知(1 1 0)(0 1 1)(1 0 1)abc ， ， ， ，2pabqabc ， 则 p q _ 【例 10】若向量1, 0, 2a ，0, 2, 1b 确定平面的一个法向量, 2nxy ，则 向量 1,21, 2c 在n 上的射影的长是_ 【例 11】设向量a 与b 互相垂直，向量c 与它们构成的角都是60，且| 5a ，| 3b ， | 8c ，那么(3 ) (32 )acba _，|23 |abc _ 【例 12】已知向量a 和c 不共线，向量0b ，且()()a b cb c a ，dac ，则 db ， 【学而思高中数学讲义】 【例 13】已知点A B，的坐标分别为( 2
5、3 5) (117)， ， ， ，则向量AB 的相反向量的 坐标是_ 【例 14】已知(2 4 5)(3)abxy ， ， ， ，若ab ，则x _，y _ 【例 15】已知向量(1 0 2 )a ， ，(6 21 2)b ，若ab ，则_， 【例 16】若(11 3)A mn，(22 )Bm n mn， ，(33 9)C mn，三点共线，则 mn 【例 17】已 知 向 量(22)amm ， ，(15)bmm ， 若a ，b 垂 直 ， 则 ab _ 【例 18】已知(2 4)ax ， ，(22)by ， ，若| 6a ，且ab ，则xy_ 【例 19】已知| 2a ，| 3b ， 且a 与
6、b 的夹角为 2 ，32cab ，dmab ， 若cd ， 则m _ 【例 20】已知(2 2 1)a ， ，(4 5 3)b ， ，0n an b ，且| 1n ，则n _ 【例 21】已知(1 2 3)OA ， ，(2 1 2)OB ，(1 1 2)OP ，O为坐标原点，点Q在 直线OP上运动，则当QA QB 取得最小值时，点Q的坐标为_ 【例 22】若121A，222B， ，点P在z轴上，且PAPB，则点P的坐标 为 【例 23】已知ABC的三个顶点为(3 3 2)A， ，(43 7)B，(0 5 1)C， ，则BC边上 的中线长为（） A2B3C4D5 【学而思高中数学讲义】 【例 2
7、4】已知空间两个动点(12)(1323 )A mmmBmmm， 则|AB 的最小值 是_ 【例 25】设| 1a ，| 2b ，且a b ，的夹角为120，则() (2 )abab _， |2|ab _ 【例 26】若a b ，均为单位向量，且60a b ，则3ab _； 【例 27】已知| 1a ，| 1b ，|32 | 3ab ，则|3|ab 【例 28】已知向量(0 2 1)a ， ，( 1 12)b ，则a 与b 的夹角为（） A0B45C90D180 【例 29】已知向量(0 3 3)a ， ，( 1 1 0)b ，则a 与b 的夹角为_； 【例 30】已知a b c ， ，是空间中
8、两两垂直的单位向量，mab ，nbc ， 则m 与n 的 夹角为 【例 31】已知向量(0 2 1)( 1 12)ab ， ， ，则a 与b 的夹角为_ 【例 32】若(3 )(75 )abab ，且(4 )(75 )abab ，则a 与b 的夹角为_ 【例 33】若 向 量(12)a ， ，(21 2)b ，a b ，夹 角 的 余 弦 值 为 8 9 ， 则 _ 【例 34】已知向量(23 0)(0 3)abk ， ， ，若a 与b 成120角，则k _ 【例 35】已知向量(1 1 0)a ，( 1 0 2)b ， ，且kab 与2ab 互相垂直，则k的值 是_ 【学而思高中数学讲义】
9、【例 36】已知a b c ， ，是空间中两两垂直的单位向量，mab ，nbc ， 则m 与n 的 夹角为 【例 37】已知(25 1)A，(22 4)B，(14 1)C，则向量AB 与AC 的夹角为 _； 【例 38】设| 1m ，| 2n ，2mn 与3mn 垂直，4amn ，72bmn ，则 |a _，|b _，a b ， 【例 39】已知O为原点，向量(3 0 1)( 1 1 2)OAOBOCOA BCOA ， ， ， ，则 AC _ 【例 40】已 知PD垂 直 正 方 形ABCD所 在 平 面 ，2AB ，E是PB的 中 点 ， 3 cos 3 ，DPAE 以DA、DC、DP所在直
10、线分别为x轴、y轴、z轴建立空 间坐标系，则点E的坐标为； 又在平面PAD内有一点F，当点F是时，EF 平面PCB 【例 41】已知点(0 0)(00)(0 0)A aBbCc， ， ， ， ， ，其中0abc ，求平面ABC的一个 法向量 【例 42】已知空间三点(0 2 3)(2 1 6)(11 5)ABC， ， ， ， 求以向量ABAC ，为一组邻边的平行四边形的面积S； 若向量a 分别与向量ABAC ，垂直，且|3a ，求向量a 的坐标 【例 43】已知(1 16)a ，(2 2 0)b ， ， 求a b ，ab ，a b ，； 求与a b ，同时垂直的单位向量 当实数的值为多少时，a
11、b 的模最小 【例 44】已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，(2,1,4)AB ， 【学而思高中数学讲义】 (4, 2, 0)AD ，( 1, 2,1)AP 求证：AP 是平面ABCD的法向量；求平行四边形ABCD的面积 【例 45】已知(1 0 1)(4 4 6)(2 2 3)(10 14 17)ABCD， ， ， ， ， ， ， ，求证：A B CD， ， ，共 面 【例 46】已知(52 0)a ，( 1 32)b ， ，(0 1 2)c ， 求() (2 )abbc ，|22 |abc ； 问当实数的值为多少时，bc 的模最小； 问是否在实数，使得向量a 垂直于向量bc ；
12、问是否在实数，使得向量a 平行于向量bc 【例 47】设向量(3 54)a ， ，(2 1 8)b ，试确定，的关系，使ab 与z轴 垂直 【例 48】已知( 1 0 1)(4)(1 4 7)AB xyC ， ， ， ， ， ，且A B C， ，三点在同一直线上，求 实数xy，的值 【例 49】在正方体 1111 ABCDABC D中，求二面角 11 ABDC的大小 【例 50】已知(2 2 1)A， ，( 1 2 4)B ， ，( 2 4 3)C ， ，( 1 4 2)D ， ， 求线段AC、BD的长； 求证：这四点A、B、C、D共面； 求证：ABCD，ACBD； 求向量AC 与AB 所成的
13、角 【例 51】已知(0 2 3)A， ，( 2 1 6)B ，(11 5)C， 求平面ABC的一个单位法向量； 证明：向量(34 1)a ，与平面ABC平行 【例 52】已知(1 22)a ， ，(3 4 0)b ， ，( 24 3)c ， 求abc ，32bc ； 【学而思高中数学讲义】 计算：() (32 )abcbc ，|abc ，a abc ，； 写出与向量abc 平行的单位向量； 写出与向量a b ，同时垂直的，且长度为26的向量； 当实数的值为多少时，()abc 【例 53】四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，214，AB ， 4 2 0， ，AD ，1 21， ，AP 求证：PA 平面ABCD 求四棱锥PABCD的体积； 对于向量 111222 ()()， ， ，axyzbxyz ， 333 ()， ，cxyz ，定义一种运算： ()abc 12323 131213221 332 1 x y zx y zx y zx y zx y zx y z， 试计算()ABADAP 的绝对值；说明其与四棱锥PABCD的体积的关系，并由 此猜想向量这一运算()ABADAP 的绝对值的几何意义
