1、3.2.1 3.2.1 单调性与最大（小）单调性与最大（小） 值值 第三章第三章 函数概念与性质函数概念与性质 一、观察这些函数图像，你能说说他们分别反映了相应函 能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势吗？ x y o x y o x y o 在某一区间内， 图像在该区间内逐渐上升y随着x 的增大而增大； 图像在该区间内逐渐下降y随着x的增大而减小。 函数的这种性质称为函数的单调性 局部上升或下降 下 降 上升 xy xy 初步感知 x-4 -3 -2 -10 1 234 f（x） 169410 1 4916 2 )(xxf 对区间 x1，x2 ， 当x1x2时， 有f
2、(x1)f(x2)都 任意 在 内随着x的增大，y也 增大 图象在区间 逐渐上 升 1、思考：如何利用函数解 析式 描述“随着x 的增大，相应的f(x)随着增 大？” 2 )(xxf ），（0 ），（0 x y o 2 yx ），（0 2、你能类似地描述 在区间 上是减函数 吗？ 2 )(xxf ），（0- 在区间 上，任取两个 ，得到(- ,0) 12 x ,x 22 1122 f(x ) = x ,f(x ) = x，当 12 x f(x ) 这时，我们就说函数 在区间 上是这减函 数. 2 f(x) = x(,0) 思考：函数 各有怎样的单调性 2 )(|,|)(xxfxxf Ox y
3、2 xy ）上单调递增。，上单调递减，区间（在区间（0)0 ,|)(xxf 递减。 ）上单调，上单调递增，在区间（在区间（0)0 ,)( 2 xxf ( )yf x 单调性概念：单调性概念： x y 01 x )( 1 xf 2 x )( 2 xf ( )yf x x y 01 x 2 x )( 1 xf )( 2 xf 对于定义域对于定义域I内某个区间内某个区间D上的上的任意任意两个自变量的值两个自变量的值 , 21 xx 12 xx )()( 21 xfxf 当当 时时, , 都有都有 就说函数就说函数 在区间在区间 D上是上是增函数增函数. .这个给定的这个给定的 区间就为单调增区间。区
4、间就为单调增区间。 )(xf )()( 21 xfxf都有都有 12 xx 当当 时时, , 就说函数就说函数 在区间在区间 D上是上是减函数减函数. .这个给定的这个给定的 区间就为单调减区间。区间就为单调减区间。 )(xf 如果函数 y =f(x)在区间D是增函数或减函数，那么就 说函数 y =f(x)在区间D上具有(严格的)单调性,区间D叫 做y =f(x)的单调区间。 增函数吗？ 在该区间上一定是那么函数 且满足 在定义域的某区间上函数 )( ),()(,存在 )( 212121 xfy xfxfxxxx xfy 思考：思考： ( )yf x x y 0 1 x 2 x )( 1 xf
5、 )( 2 xf 思考：思考： 函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是 单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间单调递增但在另 一些区间上单调递减的函数例子吗？ 1 2 345-1-2-3-4 -2 -3 2 3 o 42)( xxf 如图是定义在闭区间-5,5上的函数y=f(x)的图象， 根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一个单 调区间上,f(x)是增函数还是减函数。 牛刀小试：牛刀小试： 例1 根据定义，研究函数 的单调性。)0()(kbkxxf 2121 ,xxRxx且解：设 则)()()()()( 212121 xxkbkxbkxxfxf
6、0 2121 xxxx 当k0时，0)( 21 xxk 于是)()(0)()( 2121 xfxfxfxf即 上为增函数。在这时，R)(bkxxf 当k0时，0)( 21 xxk 于是)()(0)()( 2121 xfxfxfxf即 上为减函数。在这时，R)(bkxxf 用定义证明函数的单调性的步骤用定义证明函数的单调性的步骤: : 1.1.取数取数: :任取任取x x1 1，x x2 2DD，且，且x x1 1x x2 2； 2.2.作差作差:f(x:f(x1 1) )f(xf(x2 2) )； 3.3.变形变形: :通常是因式分解和配方；通常是因式分解和配方； 4.4.定号定号: :判断差
7、判断差f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )的正负；的正负； 5.5.结论结论: :指出函数指出函数f(x)f(x)在给定的区间在给定的区间D D上的单调性上的单调性. . 例2 物理学中的玻意耳定律 告 诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时， 压强p将增大,试用函数单调性证明之. k p =(k) V 为为正正常常数数 分析：按题意就是证明函数 在区间 上是减函数. k p = v (0,+ ) 证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域 (0，+)上的任意两个实数，且V1V2，则 21 12 1212 V -Vkk p(V )-p(V ) =-= k VVV V 由V1，
8、V2 (0，+)且V10, V2- V1 0 又k0,于是 12 p(V )-p(V ) 0 21 p(V ) p(V )即即 所以，函数 是减函数.也就 是说，当体积V减少时，压强p将增大. k p =, V(0, +) V 取值 定号 作差变形 结论 例3 根据定义证明函数 在区间 上单调递增。 x xy 1 ), 1 ( 证明：有且,), 1 (, 2121 xxxx ) 1()() 11 ()() 1 () 1 ( 21 21 21 21 12 21 21 21 2 2 1 121 xx xx xx xx xx xx xx xx x x x xyy 01, 1. 1, 1), 1 (,
9、 21212121 xxxxxxxx所以得由 0) 1(, 0, 21 21 21 2121 xx xx xx xxxx于是得又由 . 21 yy 即 所以，函数 在区间 上单调递增。 x xy 1 ), 1 ( 下列两个函数的图象： 图1 ox0 x M yy xo x0 图2 M 观 察 观察这两个函数图象，图中有个最高点，那 么这个最高点的纵坐标叫什么呢？ 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M， 则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小 关系如何？ f(x) M 2 f x = -x +1 xR数数例例如如函函 (0)=1 O 1 2 2、存在0，使得(0)=1. 1、对任
10、意的 都有(x)1.xR 1是此函数的最大值 M是函数y= f (x)的最大值（maximum value）： 0 xI 一般地，设函数y= f (x)的定义域为I，如果存在 实数M满足： （1）对于任意的x I，都有f (x) M; （2）存在 ，使得 . 0 f(x ) = M 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果实数 M满足： （1）对于任意的的xI，都有f(x) M; （2）存在 ，使得 ， 那么我们称M是函数y=f(x)的最小值（minimun value）. 0 xI 0 f(x ) = M 能否仿照函数的最大值的定义，给出函数 y=f(x)的最小值的定义呢？ 2 4 .
11、. ht h t = -4.9t +14.7t+18, ? 1? 例例菊菊花花 烟烟花花是是最最壮壮观观的的烟烟花花之之一一制制造造时时一一般般是是 期期望望在在它它达达到到最最高高点点时时爆爆裂裂 如如果果烟烟花花距距地地面面的的高高度度 米米与与时时间间 秒秒之之间间的的关关系系为为: : 那那么么烟烟花花冲冲出出后后什什么么时时候候是是 它它爆爆裂裂的的最最佳佳时时刻刻 这这时时距距地地面面的的高高度度是是多多少少 精精确确到到 米米 解：做出函数 的图像。显然， 函数图像的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横 坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距 地面的高度. 2 h(t) =
12、-4.9t +14.7t+18 ot h 4321 5 10 15 20 由二次函数的知识，对于函数 2 h(t) = -4.9t +14.7t+18，我们有 当 时，函 数有最大值 14.7 t = -=1.5 2 (-4.9) 2 4 (-4.9) 18-14.7 h =29 4 (-4.9) 所以，烟花冲出1.5s是它爆裂的最佳时刻，此 时距离地面的高度约为29m. 例5 已知函数 ，求函数的最大 值与最小. 1 f(x) =(x2,6) x-1 分析：由函数的图象可知道，此函数在2，6上 递减。所以在区间2，6的两个端点上分别取得最大 值与最小值. 解：设 是区间2，6上的任意两个实数， 且 ，则 12 x ,x 12 x 0,(x -1)(x -1) 0, 于是 12 f(x )-f(x ) 0 即 12 f(x ) f(x ) 所以，此函数在区间2,6的两个端点上分别取得 最大值与最小值即在x=2时取得最大值是2，在 x=6时取得最小值为0.4. 达标检测 课堂小结 2、函数单调性的定义； 3、证明函数单调性的步骤； 1、单调函数的图象特征； 4、函数的最值： 最大值 最小值 5、函数的最值的求法 （1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最值; （2）利用图象求函数的最值; （3）利用函数单调性求函数的最值 .
