1、第第 7 讲讲离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列 一、选择题 1.某射手射击所得环数 X 的分布列为 X45678910 P0.020.040.060.090.280.290.22 则此射手“射击一次命中环数大于 7”的概率为() A.0.28B.0.88C.0.79D.0.51 解析P(X7)P(X8)P(X9)P(X10) 0.280.290.220.79. 答案C 2.设 X 是一个离散型随机变量，其分布列为： X101 P 1 3 23qq2 则 q 的值为() A.1B.3 2 33 6 C.3 2 33 6 D.3 2 33 6 解析由分布列的性质知 23q0， q2
2、0， 1 323qq 21， 解得 q3 2 33 6 . 答案C 3.设某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功 次数，则 P(X0)等于() A.0B.1 2 C.1 3 D.2 3 解析由已知得 X 的所有可能取值为 0，1， 且 P(X1)2P(X0)，由 P(X1)P(X0)1， 得 P(X0)1 3. 答案C 4.袋中装有 10 个红球、5 个黑球.每次随机抽取 1 个球后，若取得黑球则另换 1 个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为，则表示“放回 5 个红 球”事件的是() A.4B.5 C.6D.5 解析“放回五个红球”表示前五次摸
3、到黑球，第六次摸到红球，故6. 答案C 5.从装有 3 个白球、4 个红球的箱子中，随机取出了 3 个球，恰好是 2 个白球、 1 个红球的概率是() A. 4 35 B. 6 35 C.12 35 D. 36 343 解析如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问 题，故所求概率为 PC 2 3C14 C37 12 35. 答案C 二、填空题 6.设离散型随机变量 X 的分布列为 X01234 P0.20.10.10.3M 若随机变量 Y|X2|，则 P(Y2)_. 解析由分布列的性质，知 0.20.10.10.3m1，m0.3. 由 Y2，即|X2|2，得 X4 或 X
4、0， P(Y2)P(X4 或 X0) P(X4)P(X0) 0.30.20.5. 答案0.5 7.袋中有 4 只红球 3 只黑球，从袋中任取 4 只球，取到 1 只红球得 1 分，取到 1 只黑球得 3 分，设得分为随机变量 X，则 P(X6)_. 解析P(X6)P(取到 3 只红球 1 只黑球)P(取到 4 只红球)C 3 4C13 C47 C 4 4 C47 13 35. 答案 13 35 8.在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放 回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数的分布列为 _. 解析的所有可能值为 0，1，2. P(0)C 1 1C11 C
5、12C12 1 4， P(1)C 1 1C112 C12C12 1 2， P(2)C 1 1C11 C12C12 1 4. 的分布列为 012 P 1 4 1 2 1 4 答案 012 P 1 4 1 2 1 4 三、解答题 9.(2017成都诊断)某高校一专业在一次自主招生中， 对 20 名已经选拔入围的学 生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表： 由于部分数据丢失，只知道从这 20 名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到 语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为2 5. (1)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取 2 名， 求其中至少有一名 逻辑思维能力优秀的学生的
6、概率； (2)从参加测试的 20 名学生中任意抽取 2 名，设语言表达能力优秀或逻辑思维 能力优秀的学生人数为 X，求随机变量 X 的分布列. 解(1)用 A 表示“从这 20 名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达 能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”， 语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有(6n)名， P(A)6n 20 2 5，解得 n2，m4， 用 B 表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取 2 名， 其中至少 有一名逻辑思维能力优秀的学生”， P(B)1C 2 6 C29 7 12. (2)随机变量 X 的可能取值为 0，1，2. 20 名学生中，语言表达能力
7、优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数共有 8 名， P(X0)C 2 12 C220 33 95， P(X1)C 1 8C112 C220 48 95， P(X2) C28 C220 14 95， X 的分布列为 X012 P 33 95 48 95 14 95 10.某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满 300 元的顾客，将获得 一次摸奖机会，规则如下： 奖盒中放有除颜色外完全相同的 1 个红球，1 个黄球，1 个白球和 1 个黑球.顾 客不放回地每次摸出 1 个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球 全部摸出才停止.规定摸到红球奖励 10 元，摸到白球或黄球奖励 5 元，摸到
8、黑 球不奖励. (1)求 1 名顾客摸球 3 次停止摸奖的概率； (2)记 X 为 1 名顾客摸奖获得的奖金数额，随机变量 X 的分布列. 解(1)设“1 名顾客摸球 3 次停止摸奖”为事件 A， 则 P(A)A 2 3 A34 1 4， 故 1 名顾客摸球 3 次停止摸球的概率为1 4. (2)随机变量 X 的所有取值为 0，5，10，15，20. P(X0)1 4，P(X5) 2 A24 1 6，P(X10) 1 A24 A22 A34 1 6，P(X15) C12A22 A34 1 6， P(X20)A 3 3 A44 1 4. 所以，随机变量 X 的分布列为 X05101520 P 1
9、 4 1 6 1 6 1 6 1 4 11.随机变量 X 的分布列如下： X101 Pabc 其中 a，b，c 成等差数列，则 P(|X|1)等于() A.1 6 B.1 3 C.1 2 D.2 3 解析a，b，c 成等差数列，2bac.又 abc1，b1 3，P(|X| 1)ac2 3. 答案D 12.若随机变量 X 的分布列为 X210123 P0.10.20.20.30.10.1 则当 P(Xa)0.8 时，实数 a 的取值范围是() A.(，2B.1，2 C.(1，2D.(1，2) 解析由随机变量 X 的分布列知：P(X1)0.1，P(X0)0.3，P(X1)0.5， P(X2)0.8
10、，则当 P(Xa)0.8 时，实数 a 的取值范围是(1，2. 答案C 13.(2017石家庄调研)为检测某产品的质量，现抽取 5 件产品，测量产品中微量 元素 x，y 的含量(单位：毫克)，测量数据如下： 编号12345 x169178166175180 y7580777081 如果产品中的微量元素 x，y 满足 x175 且 y75 时，该产品为优等品. 现从上述 5 件产品中，随机抽取 2 件，则抽取的 2 件产品中优等品数 X 的分布 列为_. 解析5 件抽测品中有 2 件优等品，则 X 的可能取值为 0，1，2.P(X0)C 2 3 C25 0.3， P(X1)C 1 3C12 C2
11、5 0.6， P(X2)C 2 2 C250.1. 优等品数 X 的分布列为 X012 P0.30.60.1 答案 X012 P0.30.60.1 14.盒内有大小相同的 9 个球，其中 2 个红色球，3 个白色球，4 个黑色球.规定 取出 1 个红色球得 1 分，取出 1 个白色球得 0 分，取出 1 个黑色球得1 分. 现从盒内任取 3 个球. (1)求取出的 3 个球中至少有 1 个红球的概率； (2)求取出的 3 个球得分之和恰为 1 分的概率； (3)设 X 为取出的 3 个球中白色球的个数，求 X 的分布列. 解(1)P1C 3 7 C39 7 12. (2)记“取出 1 个红色球，2 个白色球”为事件 B， “取出 2 个红色球，1 个黑色 球”为事件 C，则 P(BC)P(B)P(C)C 1 2C23 C39 C 2 2C14 C39 5 42. (3)X 可能的取值为 0，1，2，3，X 服从超几何分布，所以 P(Xk)C k 3C3 k 6 C39 ，k0，1，2，3. 故 P(X0)C 3 6 C39 5 21，P(X1) C13C26 C39 15 28， P(X2)C 2 3C16 C39 3 14，P(X3) C33 C39 1 84. 所以 X 的分布列为 X0123 P 5 21 15 28 3 14 1 84
